XVI. Calcul différentiel

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1 1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles éfinition 1 On appelle fonction de deux variables x et y à valeurs réelles une fonction f d une partie de R 2 et à valeurs dans R : f : R Exemple 1 La fonction polynomiale f : (x,y x 2 +xy +y 2 est une fonction de deux variables Exercice 1 éterminer puis représenter graphiquement l ensemble de définition de la fonction de deux variables f : (x,y 1 (x 2 +y 2 (on pourra utiliser les coordonnées polaires Remarque 1 On peut représenter graphiquement une fonction de deux variables par une surface de l espace d équation z = f(x,y z = f(x,y y x Exercice 2 éterminer la représentation graphique de la fonction de deux variables f : (x,y 1 (x 2 +y 2 2 Continuité d une fonction de deux variables éfinition 2 On considère une fonction de deux variables f : R définie au voisinage de A R 2, on dit que f tend vers 0 en A si pour tout ǫ > 0 il existe δ > 0 tel que f(m ǫ si M et AM δ Exercice 3 Montrer que la fonction de deux variables f : (x,y e x2 +y 2 1 tend vers 0 en O(0;0 éfinition 3 Une fonction de deux variables f : R est dite continue en A si la fonction f f(a tend vers 0 en A Exemple 2 Les fonctions polynomiales de deux variables sont définies et continues sur R 2 wwwemmanuelmorandnet 1/5 suptsi1112chap16cours

2 3 érivées partielles premières d une fonction de deux variables éfinition 4 On considère une fonction de deux variables f : R et A Si la fonction x f(x,y A est dérivable en x A, son nombre dérivé en x A est appelé dérivée partielle par rapport à la variable x de la fonction f en A et noté (A Si la fonction y f(x A,y est dérivable en y A, son nombre dérivé en y A est appelé dérivée partielle par rapport à la variable y de la fonction f en A et noté (A Exercice 4 Montrer que la fonction de deux variables f : (x,y e x2 +y 2 admet des dérivées partielles par rapport à x et y en tout point de R 2 et les déterminer éfinition 5 Si une fonction de deux variables f : R admet des dérivées partielles par rapport à x et y en A, on appelle gradient de la fonction f en A le vecteur : gradf(a = (A (A Contre-exemple 1 On considère la fonction f : R 2 R { xy (x,y x 2 +y 2 si (x,y (0,0 1 Montrer que la fonction f admet des dérivées partielles par rapport à x et y en O(0,0 et les déterminer 2 Montrer que f n est pas continue en O(0, 0 (on pourra calculer lim f ( 1, 1 n + n n et lim f ( 1, 1 n + n n éfinition 6 Si une fonction de deux variables f : R admet des dérivées partielles par rapport à x et y en tout point de et que celles-ci sont continues sur alors la fonction f est dite de classe C 1 sur Exercice 5 Montrer que la fonction de deux variables f : (x,y arctan(xy est de classe C 1 sur R 2 Propriété 1 Une fonction de deux variables de classe C 1 sur R 2 est continue sur émonstration Hors-programme - On généralise la notion de développement limité d ordre 1 pour les fonctions de deux variables wwwemmanuelmorandnet 2/5 suptsi1112chap16cours

3 Théorème 1 érivée d une fonction composée On considère une fonction f de deux variables x et y de classe C 1 sur et deux fonctions a,b de classe C 1 sur un intervalle I telles que (a(t,b(t pour tous t I, alors la fonction g : t f(a(t,b(t est de classe C 1 sur I et : g (t = a (t (a(t,b(t+b (t (a(t,b(t émonstration Hors-programme Exercice 6 Vérifier le théorème 1 avec les fonctions f : (x,y arctan(xy, a : t t 2 et b : t e t Corollaire 1 érivées partielles d une fonction composée On considère une fonction f de deux variables u et v de classe C 1 sur et deux fonctions a,b de deux variables x et y de classe C 1 sur telles que (a(x,y,b(x,y pour tous (x,y, alors la fonction g : (x,y f(a(x,y,b(x,y est de classe C 1 sur et ses dérivées partielles par rapport à x et y sont respectivement : g a (x,y = (x,y b (a(x,y,b(x,y + u (x,y v (a(x,y,b(x,y g a (x,y = (x,y b (a(x,y,b(x,y + u (x,y v (a(x,y,b(x,y émonstration Exigible Exercice 7 On considère une fonction f C 1 (R 2, exprimer les dérivées partielles de la fonction g : (x,y f(x 2 y,xy 2 en fonction des dérivées partielles de la fonction f Propriété 2 On considère une fonction de deux variables f : R si f admet un extremum local en A alors (A = (A = 0 émonstration Exigible - On considère les fonctions x f(x,y A et y f(x A,y de classe C 1 sur, Exercice 8 éterminer les extrema de la fonction f : (x,y x 2 +y 2 wwwemmanuelmorandnet 3/5 suptsi1112chap16cours

4 4 érivées partielles secondes d une fonction de deux variables éfinition 7 On considère une fonction f : R admettant des dérivées partielles par rapport à x et y en tout point de, si les fonctions et admettent des dérivées partielles par rapport à x et y on définit les dérivées partielles secondes de la fonction f par : 2 = ( = ( Contre-exemple 2 On considère la fonction f : = R 2 R (x,y ( 2 = x 3 y x 2 +y 2 si (x,y (0,0 ( 1 Montrer que la fonction f admet des dérivées partielles par rapport à x et y en tout point de R 2 et les déterminer 2 Montrer que 3 Montrer que 4 Montrer que 2 f (O 2 f (O admet une dérivée partielle par rapport à y en O(0,0 admet une dérivée partielle par rapport à x en O(0,0 éfinition 8 Si une fonction de deux variables f : R admet des dérivées partielles secondes 2 f 2,, et 2 f en tout point de et que celles-ci sont continues sur alors la 2 fonction f est dite de classe C 2 sur Exercice 9 Montrer que la fonction de deux variables f : (x,y arctan(xy est de classe C 2 sur R 2 Théorème 2 Théorème de Schwarz Si une fonction de deux variables f : R = 2 f est de classe C 2 sur alors émonstration Hors-programme - On utilise astucieusement le théorème des accroissements finis Contre-exemple 3 On considère la fonction f : R 2 R (x,y x 3 y x 2 +y 2 si (x,y (0,0 1 Montrer que f admet une dérivée partielle seconde 2 f en tout point de R2 2 Montrer que 2 f n est pas continue en O(0,0 (on pourra calculer lim n + ( 0, 1 et lim n n + ( 1 n,0 wwwemmanuelmorandnet 4/5 suptsi1112chap16cours

5 5 Intégrales doubles éfinition { 9 On considère une fonction } f de deux variables x et y définie et continue sur = (x,y R 2 a x b / avec a b, u,v C([a,b] et u v, on définit l intégrale de la u(x y v(x ( b v(x fonction f sur par f(x,ydxdy = f(x,ydy dx z a u(x y y = v(x y = u(x Remarque 2 l intégrale double le domaine et la surface associée à la fonction f }, représenter graphi- Exercice 10 On considère le domaine du plan = quement puis calculer xy dxdy a b x f(x,ydxdy représente le volume algébrique délimité par le plan xoy, { (x,y R 2 / 1 x 1 x 2 y 1 Propriété 3 Positivité de l intégrale double On considère une fonction f de deux variables x et y définie et continue sur un domaine, si f 0 alors f(x,ydxdy 0 émonstration Exigible Propriété 4 Linéarité de l intégrale double On considère λ,µ R et deux fonctions f,g de deux variables x et y définies et continues sur un domaine alors (λf +µg(x,ydxdy = λ f(x,ydxdy+µ g(x, y dxdy émonstration Exigible Propriété 5 Additivité de l intégrale double par rapport au domaine d intégration On considère une fonction f de deux variables x et y définie et continue sur un domaine réunion disjointe des domaines 1 et 1 alors f(x,ydxdy = f(x,ydxdy+ 1 f(x,ydxdy 2 émonstration Hors-programme Remarque 3 La propriété 5 est l équivalent de la relation de Chasles pour les intégrales simples Exercice 11 Calculer l aire dxdy du disque trigonométrique = { (x,y / x 2 +y 2 1 } wwwemmanuelmorandnet 5/5 suptsi1112chap16cours