Leçon 5 Les fonctions numériques

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1 Leçon 5 Les fonctions numériques Cette leçon en contient 3 en fait : les généralités, la dérivation et les limites. Il y a beaucoup de théorèmes à apprendre et de méthodes à mémoriser. Voici quelques eercices apportant un plus. Les généralités Eercice Quelques fonctions particulières : a) la valeur absolu : f() = R b) Partie entière : E() = le plus grand entier inférieur ou égal à, R c) g() = tan avec R Eercice bijection et bijection réciproque Soit la fonction f définie par f() = avec [ ; 3] + 3 a) Montrer que f est une application de [ ; 3] dans [ ; ] 9 b (Vous pouvez décomposer f sous la forme f() = a variations.) b) Montrer que cette application est bijective de [ ; 3] dans [ ; ] 9 en cherchant l antécédent d un élément y quelconque de [ ; ]. 9 et étudier son sens de c) En échangeant alors et y, on a la fonction réciproque de f, elle sera notée f. Représenter graphiquement f et sa réciproque dans un repère orthonormal de (P). Que peut-on constater? La dérivation Eercice 3 On donne la fonction suivante : g() = [ 5 ; 5 ] a) Démontrer que la fonction dérivée est : g () = ] 5 ; 5 [. 3 b) Donner le tableau de variations de g. c) Tracer la courbe (Cg). Que peut-on dire de cette fonction? d) Donner une équation de la tangente (T) pour =.

2 Eercice 4 Donner la meilleure approimation affine de f() = Nous pouvons alors écrire que : au voisinage de 0. f() = a + b + ϕ() avec lim ϕ() = 0 quand tend vers 0. Déterminer la fonction ϕ puis donner la meilleure approimation affine de ϕ au voisinage de 0. Qu obtient-on alors pour f? Eercice 5 Nous considérons la fonction f() =. Eiste-t-il un fonction ayant pour dérivée f? Montrer que la solution n est pas unique. Si nous fions maintenant que la fonction cherchée vaut quand vaut 0 alors, montrer qu il eiste une solution est unique. Eercice 6 Soit f() = avec R * a) Calculer f () puis f () puis f (3) (). b) Que peut-on conjecturer? Les limites Eercice 7 (Les formes indéterminées) Chercher lim = 3 ; lim = + + lim = ; lim lim ; = Indiquer les conséquences graphiques sur les courbes représentant ces fonctions.

3 On donne la fonction suivante : Tp Lignes brisées, valeurs absolues a) Représenter cette fonction dans un repère orthonormal du plan (P). b) Démontrer qu'il eiste des réels a, b et m tel que : f() = a + b + m R c) Démontrer que l'on peut employer la même méthode pour la fonction g On donnera aussi une epression réduite de g().

4 Correction Eercice a) f() = R Nous pouvons faire un tableau de signes et d analyse pour étudier f : f() Théorème : Si A 0, A = A et si A < 0, A = A Nous obtenons une fonction affine par morceau : ] ; 5 ] f() = 3 4 f ] 5 ; ] f() = + 6 ] ; + [ f() = Cette fonction est continue en effet, on peut remarquer que sur le deuième intervalle, tend vers 5 alors f() tend vers et on a : f( 5) = 3( 5) + 4 = Même chose quand tend vers. On a inventé une nouvelle écriture pour dire cela : lim f() = lim + 6 = et lim f() = lim = =. 5 5 > 5 > 5 > > Nous allons donc avoir une ligne brisée continue représentant f en effet, elle sera constituée de deu demi-droites et d un segment de droite :

5 b) Partie entière E() = le plus grand entier inférieur ou égal à E(3,5) = 3; E(5) = 5; E( ) = mais attention E(,5) = Pour les raisonnements, on utilise souvent que E() < E() +. Cela va nous donner une fonction en escalier qui est discontinue pour toute les valeurs de appartenant à l ensemble Z c est-à-dire pour tous les entiers relatifs. c) g() = tan. Il s agit d une fonction trigonométrique que certains professeurs voient en π seconde en eercice par eemple. Elle est définie sur R \ + kπ k Z. (à cause de la division par cos).

6 Nous voyons des asymptotes chaque fois que tan n eiste pas, la courbe se présente en plusieurs morceau. O est centre de symétrie (C est donc une fonction impaire sur D tan.) La période est ici π en effet, chaque fois que tan est définie, nous avons tan ( + π) = tan Nous pouvons voir aussi qu il s agit d une fonction croissante entre deu asymptotes. Eercice La notion de bijection a été supprimée du programme mais comme nous rencontrerons cette catégorie de fonction par la suite, j ai gardé cette notion. Donnons quelques définitions : Définition On appelle fonction numérique de la variable réelle, toute relation de R (ou d un sousensemble de R) dans R (ou dans un sous-ensemble de R) dans laquelle chaque élément de l ensemble de départ a une image ou pas d image dans l ensemble d arrivée. (la notion de relation d un ensemble vers un autre ensemble sera étudiée beaucoup plus tard). Définition On appelle application numérique de la variable réelle, toute fonction de R ou d un sousensemble de R dans R ou un sous-ensemble de R dans laquelle chaque élément de l ensemble de départ a une image unique dans l ensemble d arrivée. Définition 3 On appelle bijection de A vers B, toute application de A vers B dans laquelle chaque élément de B a un antécédent unique dans A. a) Sur l intervalle [ ; 3], le dénominateur + 3 ne s annule pas et donc Df = [ ; 3] Décomposons par division cette fonction : (On peut le faire par identification) ( + ) f() = = pour [ ; 3] + 3 5

7 Nous connaissons le sens de variations de la fonction sur [ ; 3] en effet c est une fonction rationnelle (la courbe est une + 3 hyperbole) obtenue en composant deu fonctions l une croissante et l autre décroissante : + 3 et [ ; 3] et en multipliant par en additionnant une constante le sens ne change pas donc : f() sera croissante sur [ ; 3] : f( ) = = et f(3) = 9 Nous avons le tableau de variations suivant : 5 3 f(). Nous avons donc une fonction décroissante sur, nous obtenons une fonction croissante sur [ ; 3], enfin 9 b) Ce tableau nous montre bien que f est une application de [ ; 3] dans ; 9 et que chaque image aura un seul antécédent, prouvons le par le calcul : Soit y quelconque dans l intervalle ; 9, cherchons son antécédent c est-à-dire dans l intervalle [ ; 3] tel que : y = y( + 3) = + 3 y + 3y = (Tirons ) (y ) = 3y 3y 3y + et donc = = si y vrai ici car y y y ; 9. Le tableau de variations ci-dessus montre bien que [ ; 3]. f est donc une bijection de [ ; 3] dans ;. 9 Nous obtenons ici la fonction réciproque de f, nous la noterons f et pour la présenter, nous échangeons et y : f 3 : f + () = c) Il nous reste à représenter ces deu fonctions, le fait d échanger et y dans la deuième fonction va provoquer une symétrie orthogonale par rapport à la droite d équation y = si le repère est orthonormal ; en effet de M( ; y), nous passons à M (y ; ), le milieu de

8 + y y + [MM ] se trouvera sur la droite d équation y =, I ; regarde le vecteur et d autre par si on MM ', il est orthogonal au vecteur directeur de la droite d équation y =, d r ( ; ) car la condition : + yy = 0 est vérifiée : (y ) + ( y) = 0. Cet eercice illustre un théorème que nous verrons souvent en TS. Théorème Si f est une bijection de A vers B, alors il eiste une fonction réciproque f qui est aussi une bijection de B vers A. La courbe représentant f dans un repère orthonormal du plan (P) sera symétrique de celle représentant f (Symétrie orthogonale). Traçons maintenant les deu courbes dans l eemple étudié ici, il faut remarquer aussi que f et f sont toutes les deu des fonctions croissantes. (Cf ) (Cf) Eercice 3 g() = [ 5 ; 5] a) g est une fonction définie sur [ 5 ; 5 ] \{0}(Df = [ 5 ; 0[ ]0 ; 5]). C est une différence de fonctions dérivables sur ] 5 ; 0[ ] 0 ; 5 [. Nous ecluons les bornes de l intervalle où la fonction n est pas dérivable par définition. g () = = + = 4 3 3

9 b) la dérivée s annule pour =. Nous pouvons faire le tableau de variations : g () g() g est discontinue pour = 0, nous avons une asymptote verticale. Ce tableau montre un minimum absolu pour =. 4 5 (T) (Nous avons une tangente horizontale pour = ) c) Déterminons une équation de la tangente (T) en = : y = ( ) + 0 y = + (T) Il faut noter que cette tangente recoupe la courbe pour une valeur négative de, ceci se produit assez souvent et paraît curieu quand on parle de tangente. Chercher par le calcul les coordonnées de l autre point d intersection (Cela se produit pour = ).

10 Eercice 4 f() = est définie et dérivable au voisinage de 0 pour. u ' f () = = = f (0) = ; f(0) = u ( ) ( ) La meilleure approimation affine de f au voisinage de 0 sera : f() ( 0) + + Nous pouvons écrire au voisinage de 0 : f() = + + ϕ() avec lim ϕ() = 0 quand tend vers 0. Déterminons la fonction ϕ : ( + ) ( ) ϕ() = f() ( + ) = ( + ) = = ϕ() = Dérivons cette fonction : ϕ () = ( ) ( )() = ( ) ( ) ϕ (0) = et ϕ(0) = 0 Nous avons donc : ϕ() = ϕ(0) + ϕ (0)( 0) + ϕ () = + ϕ () avec lim ϕ () = 0 quand tend vers 0. En conclusion, nous avons : f() = + + ( + ϕ ()) ; f() = ϕ () Cette epression s appelle le développement limité de f à l ordre. On peut dire aussi qu elle donne une meilleure approimation de f au voisinage de 0 que la meilleure approimation affine vue précédemment. Eercice 5 Nous trouvons F() =. Cette fonction s appelle une primitive de f() =. Nous avons en effet, une infinité de solution F k () = + k k une constante (k R). k disparaît en dérivant. Nous utiliserons beaucoup les primitives en Terminale S. Si nous avons F k (0) = alors = (0) + k donc k =. La solution, est alors unique : F() = +. Eercice 6 f() = avec R * Nous pouvons dériver plusieurs fois cette fonction :

11 f () = Df = R * f () = = Df = R * 4 3 f (3) ()( 3 ) ()(3) () = = 6 4 Df (3) = R * Dérivons encore une fois f (4) () = 3 ()(3)( 4 ) ()(3)(4) = Df (4) = R * 8 5 Nous avons l idée, l intuition d une formule générale. Cela s appelle l induction et permet d émettre une conjecture, nous démontrerons cette formule en terminale avec le raisonnement par récurrence que nous verrons en première avec les suites. Nous pouvons dériver n fois, n N * et f (n) () = n ( ) n! n+ Df (n) = R * n! = (n ) n Ce nombre s appelle factorielle n ( 4! = 4 mais attention 0! = ) Eercice 7 a) f() = Df = R +* \ {} En effet, il faut 0 et 0 soit 0 et eclus. Nous allons transformer f() car pour tendant vers, nous avons une forme indéterminée : f() = ( )( ( )( + ) = + ) = ( )( + ) ( + ) (Nous avons utiliser l epression conjuguée du numérateur.) lim f() = lim ( = + ) (graphiquement, c est une situation nouvelle)

12 La courbe possède un point isolé A. C est-à-dire il y a une coupure dans la courbe, une discontinuité pour =. b) f() = 3 + Df = R +. Quand tend vers +, nous avons encore une forme indéterminée. Il faut factoriser ici pour lever l indétermination. 3 3 f() = = ( + ) + ; lim + = et donc lim f() = Nous avons ici une branche infinie. Il y a deu sortes de branches infinies : celles qui donnent des asymptotes obliques et celles qui donnent des branches paraboliques de direction l ae des abscisses ou celui des ordonnées. c) f() = Df = R*, la forme indéterminée constatée ici quand tend vers 0 peut se résoudre en transformant tout simplement l écriture de f(). f() =, lim = et lim = 0 + et donc lim f() = Nous avons une asymptote verticale = 0. d) f() = que 3 Df = R*, ici aussi, il suffit de transformer l écriture de f(). Nous savons = et donc nous pouvons faire la limite à droite de 0 puis à gauche : Si tend vers 0 + 3, alors f() s écrit f() = = 3 car = ( étant positif). lim f() = Mais si tend vers 0 3, f() s écrit f() = = 3 car = ( 0 ) et donc

13 lim f() = 3. 0 Ceci est à observer graphiquement : + 6 e) f() = Df = R \{ ; }. Quand tend vers, nous avons une forme 4 indéterminée, il faut factoriser alors numérateur et dénominateur. ( )( + 3) f() = = ; lim f() = ( )( + ) + 4 (Nous avons encore un point isolé, attention la calculette ne le montre pas!.)

14 Correction TP On obtient une ligne brisée continue. 0 3 et y 3 5 a) Représentons la courbe (Cf) dans un repère orthonormal du plan (P). On utilise un tableau de valeurs pour tracer les deu parties représentant f. Cette fonction est une fonction affine par morceau, elle est continue pour = car quand tend vers ( < ) + 3 tend vers et à droite de, on a f() =. b) On considère : f() = a + b + m R. analysons la valeur absolue Si < alors nous avons f() = + 3 = a + b + m ( + ) Si alors nous avons f() = 4 7 = a + b + m ( ) Nous procédons par identification et nous obtenons le système suivant :

15 a m = (L) b + m = 3 (L) (Pour le premier morceau) a + m = 4 (L3) b m = 7 (L4) (Pour le deuième morceau) Nous avons un système à trois inconnues et quatre équations : a + m = 4 (Pivot) a = 3 a = 3 (L + L3) b = b + m = 3 (Pivot) 3 5 m = 4 a = 4 = b = 4 (L + L4) b + m = 3 est vérifiée car 5 + = Conclusion f() = + R c) Passons à la fonction g. Dans ce cas aussi, on une ligne brisée continue, même situation pour = et si on étudie ce qui se passe pour = 3, on a : si < 3, g() tend vers 5 et dans l'intervalle suivant : g (3) = 5. g est une fonction continue sur R On veut écrire g() sous la forme: g() = a + b + m + n 3 R Comme précédemment, on va procéder à nouveau par identification :

16 Si < g() = a + b + m( + ) + n ( + 3) = + 3. Si < 3 g() = a + b + m( ) + n( + 3) = 4 7 Si 3 g() = a + b + m( ) + n( 3) = 5 Nous avons le système suivant : a m n = (L) a + m + n = 0 (L5) b + m + 3n = 3 (L) a = (L + L5) a + m n = 4 (L3) b + m + 3n = 3 (L) b m + 3n = 7 (L4) b = 8 (L + L6) a + m + n = 0 (L5) n = 4 (L5 L3) b m 3n = 5 (L6) b m + 3n = 7 (L4) a = b = 4 n = m = a n = + = 5 b + m + 3 n = 3 est vérifiée = 3 b m + 3 n = 7 est aussi vérifiée = 7 5 Conclusion g() = R Evidemment, ceci est généralisable à l'ensemble des fonctions affines par morceau donnant des lignes brisées continues. Elles sont donc eprimables par une seule epression contenant des valeurs absolues dans lesquelles apparaissent les valeurs de où la fonction change de direction. Représentation graphique de g :