Épreuve de Mathématiques

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1 Épreuve de Mathématiques La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l appréciation des copies. L usage d un instrument de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé. BTS Electrotechnique, BTS Electronique et BTS IRIS Exercice On considère la fonction f définie sur R, par : f est paire f est périodique de période 4 ft = si 0 t < 0 points ft = t si t < Tracer une représentation graphique de la fonction f sur l intervalle [ 6 ; 6 ]. Calculer le carré f e de la valeur efficace de f. a Vérifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet. b Montrer que le développement en série de Fourier t St associé à la fonction f est défini, pour tout réel t par : St = 8 + π n cosnπ cosn π cosn π t n= 4 On considère la fonction ϕ définie sur R, par ϕt = 8 + π cosπ t π cosπt a Justifier que la fonction ϕ est paire, et de période 4. b Calculer ϕ t et montrer que : ϕ t = π sin π 4 t cos π 4 t c Établir le tableau de variation de ϕ sur l intervalle [ 0 ; ]. d Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs à 0 près, puis faire une représentation graphique rapide la fonction ϕ. t 0 6 ϕt e Calculer à l aide de la formule de Parseval ϕ e le carré de la valeur efficace de ϕ. f Donner à 0 près, une valeur approchée du rapport ϕ e f e Groupement A / BTSblanc-A-06.tex

2 BTS Electronique et BTS IRIS Exercice 0 points Le nombre n qui intervient dans cet exercice est un entier naturel La suite n en représente l échelon unité discrétisé causal. On considère l équation récurrente : xn + 4 xn xn = n en avec : { x0 = 0 x = On pose yn = n a n en où a est un réel non nul. À l aide du formulaire, montrer que la transformée en Z de y est définie par : Z y = a a Montrer que la transformée en Z de x est définie par : Z x = + + Déterminer les réels A, B et C tels que pour tout C {, } on ait : + = A + + B + C 4 a Déduire des questions précédentes l expression de xn pour tout n N b Montrer que : xk = 5 k k xk + = 0k + 4 k k N k N 5 Représenter n xn sur [ 0 ; 4 ] dans un repère orthogonal. Groupement A / BTSblanc-A-06.tex

3 BTS Electrotechnique Exercice 0 points Une usine produit en grande série des pièces susceptibles de présenter un défaut A dans % des cas et un défaut B dans 7% des cas. L apparition d un défaut est indépendante de l apparition de l autre. Calculer la probabilité qu une pièce choisie au hasard dans la production a présente les deux défauts. b présente au moins l un des deux défauts. c présente un seul défaut. d ne présente aucun défaut. On prélève au hasard 50 pièces dans la production, et on admet que ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise. a Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 50 pièces, le nombre de pièces qui présentent le défaut A. Quelle est la loi de probabilité de X? Calculer P X = 7 à 0 près. b On admet que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson. Calculer alors la probabilité que, parmi un prélèvement de 50 pièces, il y ait au plus pièces présentant le défaut A. Soit la variable aléatoire Y qui associe à chaque chaque prélèvement de 50 pièces, le nombre de pièces qui présentent le défaut B. On admet que l on peut approcher Y par une loi normale Z de moyenne m = 7, 5 et d écart type σ = 4, 0. a Calculer P Z b Calculer P 5 Z 0 Groupement A / BTSblanc-A-06.tex

4 Épreuve de Mathématiques Solution BTS Electrotechnique, BTS Electronique et BTS IRIS Exercice On considère la fonction f définie sur R, par : f est paire f est périodique de période 4 ft = si 0 t < 0 points ft = t si t < Tracer une représentation graphique de la fonction f sur l intervalle [ 6 ; 6 ]. j ft O 6 4 i 4 6 t Calculer le carré f e de la valeur efficace de f. fe = f t dt = 4 4 f t dt = dt + = [ ] 4 + t t + t = t dt + f e = 6 a Vérifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet. Sur l intervalle [ 0 ; 4 ] la fonction f est continue partout et dérivable sauf pour t =, pour t = et pour t =, mais les limites suivantes sont finies : f = 0 f = f = f + = f + = f + = 0 Donc f satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un développement en série de Fourier, et St = ft pour tout t. b Montrer que le développement en série de Fourier t St associé à la fonction f est défini, pour tout réel t par : St = 8 + π n cosnπ cosn π cosn π t n= La période est T = 4 donc : ω = π f est paire donc : b n = 0 Groupement A 4 / 0 BTSblanc-A-06.tex

5 a 0 = 4 = ft dt = 4 ft dt = 0 0 dt + ] = [t t 4 4 t dt On fera une intégration par partie : Donc : a n = 4 a 0 = 8 u = t dv = cosn π tdt ft cosn π t dt = 0 du = dt v = sinn π t nπ ft cosn π t dt = 0 cosnπ t π t dt + cosn t dt = [ sinn π t ] [ t sinn π + t ] + nπ 0 nπ nπ = sinn π sinn π nπ nπ = n cosn π nπ nπ nπ St = 8 π + + nπ a n = n π cosnπ cosn π n= sinn π t dt n cosnπ cosn π cosn π t [ cosn π t nπ ] 4 On considère la fonction ϕ définie sur R, par ϕt = 8 + π cosπ t π cosπt a Justifier que la fonction ϕ est paire, et de période 4. Pour tout t on a : ϕ t = ϕt donc ϕ est paire ϕt + 4 = 8 + π cosπ t + π π cosπt + π = 8 + π cosπ t cosπt = ϕt π Donc ϕ est de période 4 b Calculer ϕ t et montrer que : ϕ t = π sin π 4 t cos π 4 t ϕ t = 0 π π sinπ t + π π sinπt = sinπt sin π π t = π π sin 4 t cos π 4 t c Établir le tableau de variation de ϕ sur l intervalle [ 0 ; ]. t 0 ϕ t ϕt avec : ϕ0 = 8 + π ϕ = 8 + π ϕ = 8 π Groupement A 5 / 0 BTSblanc-A-06.tex

6 d Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs à 0 près, puis faire une représentation graphique rapide la fonction ϕ t ϕt 0, 476 0, 48 0, 500 0, 58 0, 57 0, 55 0, 476 0, 40 0, 4 0, 0, 49 0, 09 0, 07 j ft O i t e Calculer à l aide de la formule de Parseval ϕ e le carré de la valeur efficace de ϕ. ge = π π g e = π 4 f Donner à 0 près, une valeur approchée du rapport ϕ e f e ge fe 0, 998 Groupement A 6 / 0 BTSblanc-A-06.tex

7 BTS Electronique et BTS IRIS Exercice 0 points Le nombre n qui intervient dans cet exercice est un entier naturel La suite n en représente l échelon unité discrétisé causal. On considère l équation récurrente : xn + 4 xn xn = n en avec : On pose yn = n a n en où a est un réel non nul. { x0 = 0 x = À l aide du formulaire, montrer que la transformée en Z de y est définie par : Z y = a a rn = n en Z r = yn = a n rn Z y = Z r = a a a Z y = a a Montrer que la transformée en Z de x est définie par : Z x = On pose : xn Z x ; xn + Z x 0 On applique la transformée en Z à l équation : Z x 4 Z x + 4Z x = Z x = + + Z x = + + ; xn + Z x 0 Z x = Déterminer les réels A, B et C tels que pour tout C {, } on ait : + = A + + B + C A + C = 0 B 4A = 0 4A + B 4C = = A + B + + C + + = A + C + B 4A + 4A + B 4c + C = A B = 4A 4A + 8A + 4A = A = 6 B = 4 C = 6 Groupement A 7 / 0 BTSblanc-A-06.tex

8 4 a Déduire des questions précédentes l expression de xn pour tout n N Z x = xn = n n + 6 n + n n n b Montrer que : xk = 5 k k xk + = 0k + 4 k k N k N xk = k k + k + 4 k k k 6 = k k k k = 5 4 k k xk = 5 k k xk + = k + k+ + 6 = k + k+ + 4k k+ 6 k+ + k + k+ k+ = 4 8 k + k+ + 8 k k+ = 0k + 4 k+ 8 = 0k + 4 k xk + = 0k + 4 k 5 Représenter n xn sur [ 0 ; 4 ] dans un repère orthogonal. 40 xn n Groupement A 8 / 0 BTSblanc-A-06.tex

9 Exercice BTS Electrotechnique 0 points Une usine produit en grande série des pièces susceptibles de présenter un défaut A dans % des cas et un défaut B dans 7% des cas. L apparition d un défaut est indépendante de l apparition de l autre. Définissons les événements avec précision : A = «Le produit présente le défaut A» B = «Le produit présente le défaut B» A B = «Le produit présente les deux défauts A et B» A B = «Le produit présente au moins un es deux défauts A ou B» A B = «Le produit présente le défaut A mais pas le défaut B» A B = «Le produit présente le défaut B mais pas le défaut A» A B = A B = «Le produit ne présente aucun des deux défauts A ou B» Calculer la probabilité qu une pièce choisie au hasard dans la production a présente les deux défauts. P A B = % 7% = 0, % On calcule de même : P A B = % 9% =, 79% P A B = 97% 7% = 6, 79% P A B = 97% 9% = 90, % b présente au moins l un des deux défauts. P A B = P A + P B P A B = % + 7% 0, % = 9.79% c présente un seul défaut. P A B + P A B =, 79% + 6, 79% = 9.58% d ne présente aucun défaut. P A B = P A B = % = 90, % A B = A B 90, % A B 6, 79% B A B 0, % A A B, 79% Groupement A 9 / 0 BTSblanc-A-06.tex

10 On prélève au hasard 50 pièces dans la production, et on admet que ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise. a Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 50 pièces, le nombre de pièces qui présentent le défaut A. Quelle est la loi de probabilité de X? Calculer P X = 7 à 0 près. La variable aléatoire X suit une loi de binomiale B50 ; 0, 0 avec : n = 50 et p = % P X = 7 = C , 0 7 0, , 5 b On admet que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson. Calculer alors la probabilité que, parmi un prélèvement de 50 pièces, il y ait au plus pièces présentant le défaut A. λ = n p = 50 0, 0 = 7, 5 e λ λ k P X = k! k=0 e 7,5 7, 5 k = k! k=0 0, 059 Soit la variable aléatoire Y qui associe à chaque chaque prélèvement de 50 pièces, le nombre de pièces qui présentent le défaut B. On admet que l on peut approcher Y par une loi normale Z de moyenne m = 7, 5 et d écart type σ = 4, 0. Soit la variable aléatoire T = Z m σ = Z 7, 5 4, 0, elle suit une loi normale centrée réduite N 0; a Calculer P Z 7, 5 P Z = P = P T, 6 = Π, 6 0, 9 4, 0 b Calculer P 5 Z 0 P Z 0, 9 P 5 Z 0 = P 0, 6 T 0, 6 = Π0, 6 Π 0, 6 Π0, 6 Π 0, 6 = Π0, 6 Π 0, 6 = Π0, 6 0, 74 P 5 Z 0 = 0, 9 Groupement A 0 / 0 BTSblanc-A-06.tex