MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003

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1 MPSI : DL 03 pour le décembre 003 Problème L objet du problème est de calculer eplicitement la limite de la suite des moyennes arithmétiques-géométriques pour certaines valeurs initiales. On considère dans cet eercice un réel ]0, π [. Q On définit la suite (u n par : { u0 = cos( ( n N, u n+ = u n cos n+ a. Montrer que la suite de terme général v n = u n sin ( est géométrique. n b. En déduire pour tout entier n, l epression de u n en fonction de et de n. c. Montrer que la suite (u n est convergente et donner sa limite. On considère désormais les deu suites (a n et (b n définies par : a 0 = n N, a n+ = a b 0 = n + b n et cos n N, b n+ = a n+ b n Q a. Donner l epression de b comme quotient de deu cosinus. b. Montrer que n N, a n > 0 et b n > 0. Q 3 a. Établir que n N, b n+ a n+ = an+ ( b n + a n+ ( b n a n b. Montrer que n N, a n < b n. c. En déduire les variations des suites (a n et (b n. d. Montrer que n N, 0 < b n a n ( n cos( e. Montrer que les suites (a n et (b n sont convergentes et ont même limite, notée L. ( ( Q 4 a. Vérifier que pour tout entier n N, on a : b. En déduire la valeur de L. a n = u n cos ( n cos ( et b n = u n cos ( (3

2 Q 5 Dans cette question, on considère le cas particulier = π 4. a. Calculer la valeur de L. b. En déduire un encadrement de π en utilisant a n et b n. c. Montrer que pour tout entier n N, 0 < b n+ a n+ 4 (b n a n (4 d. Combien suffit-il de calculer de termes des suites (a n et (b n pour obtenir un encadrement de π à 0 8 près? (On ne demande pas de calculer les valeurs de a n et b n correspondantes. Problème On considère une suite (u n de réels non nuls et on lui associe la suite (p n définie par n, p n = On dit que le produit (p n converge si et seulement si la suite (p n admet une limite finie non nulle. Sinon, on dira que le produit (p n diverge.. Quelques eemples n u Q 6 Montrez si le produit (p n converge, alors la suite (u n est convergente et précisez sa limite. Q 7 On suppose dans cette question uniquement que n N, u n = ( + n. Calculer p n pour n et en déduire la nature du produit (p n. Q 8 On considère un réel a R tel que Z, a π. On considère dans cette question uniquement la suite de terme général u n = cos ( a. Pour un entier n, calculez le réel n pn sin ( a. Montrez ensuite que le produit n (p n converge et précisez la limite de la suite (p n.. Une caractérisation de la convergence d un produit On considère dans cette partie une suite (u n qui converge vers. Q 9 Montrez qu il eiste un entier n 0 tel que n n 0, u n > 0. On définit alors la suite (S n à partir du rang n 0 par S n = ln(u =n 0 Q 0 Montrez que la suite (S n converge si et seulement si le produit (p n converge. Q On considère dans cette question uniquement, la suite (u n de terme général u n = n n et le produit (p n associé. a Montrez que p 3, p+ ln ln p p d p. b En déduire la nature du produit (p n.

3 .3 Un autre critère de convergence d un produit On considère maintenant une suite (ν n telle que n, ν n > 0 et le produit n p n = ( + ν On définit la suite (T n de terme général T n = ν Q Montrez que > 0, ln( +. Q 3 Montrez que si la suite (T n converge, alors le produit (p n converge également. Q 4 Montrer la réciproque : si le produit (p n converge, alors la suite (T n converge également. Q 5 On considère dans cette question la suite (T n de terme général T n = a En utilisant la question 7, que peut-on dire de la limite de la suite (T n? b En encadrant pour, l intégrale + d, trouvez un équivalent de la suite (T n..4 Étude d un produit On considère dans cette partie un réel a > 0 et le produit n ( p n = + a Q 6 Si a, que peut-on dire du produit (p n? On suppose désormais que a ]0,[. Q 7 Montrez que le produit (p n converge. Q 8 Soit un entier n. Calculez ( a p n et en déduire la limite de la suite (p n.

4 Q a. Soit n N. Calculons Corrigé. ( ( ( v n+ = u n+ sin n+ = u n cos n+ sin n+ Mais puisque α R, sin α cos α = sin(α, il vient que v n+ = ( u n sin n = v n Par conséquent, la suite (v n est géométrique de raison / et donc v n = v 0 sin cos = n n = sin( n+. b. Soit n N, v n sin( u n = ( = ( sin n n+ sin n (Remarquons que puisque 0 < < π/, tous les sinus et cosinus considérés sont non nuls c. Utilisons l équivalent usuel du sinus. Comme ( n 0, sin n ( 0. Par produit- n quotient d équivalents, on trouve alors que u n u n sin(. Par conséquent, sin( Q a. On calcule a = + cos puis cos + b = cos Mais puisque cos = cos (/, il vient que cos + = cos (/ et puisque les cosinus sont strictement positifs (0 < < π/, on trouve finalement b = cos (/ cos = cos(/ cos Q 3 b. Par récurrence : P(n : a n > 0 et b n > 0 P(0 est vrai puisque a 0 = > 0 et b 0 = / cos( > 0 (0 < < π/. P(n P(n + : D après P(n, a n > 0 et b n > 0. Alors a n+ = a n + b n > 0 et b n+ est bien défini avec b n+ > 0. a. Soit n N. D après les relations de récurrence et en utilisant les quantités conjuguées (les termes sont > 0 : b n+ a n+ = a n+ b n a n+ = a n+ ( b n a n+ = b n a n+ a n+ bn + a n+ = an+ bn + a n+ ( bn a n b. Par récurrence en utilisant a.

5 c. Soit n N. Calculons en utilisant b, En utilisant les quantités conjuguées, a n+ a n = b n a n > 0 b n+ b n = b n(a n+ b n b n (a n b n = an+ b n + b n ( a n+ b n + b n < 0 Donc (a n et (b n. d. On a déjà montré que n N, b n a n > 0 à la question 3b. Montrons l autre inégalité par récurrence : P(0 : b 0 a 0 = cos = ( 0 cos. P(n P(n + : En utilisant la formule (, b n+ a n+ = P(n : b n a n ( n cos( an+ ( b n + a n+ (b n a n b n a n P(n n+ ( cos Q 4 (On a utilisé la majoration a n+ b n + a n+. e. Notons (d n = (b n a n. La suite géométrique (/ n converge vers 0. D après la question 3d et le théorème des gendarmes, la suite (d n converge vers 0. Comme la suite (a n est croissante et la suite (b n décroissante, les deu suites (a n et (b n sont adjacentes. On sait alors qu elles convergent vers la même limite. a. Par récurrence : P(0 : Calculons P(na n = u n cos(/ n cos et b n = u 0 cos(/ 0 = u 0 cos = = a 0 u 0 cos = cos = b 0 u n cos P(n P(n + Calculons, en utilisant la formule + cos α = cos (α/ : a n+ = a n + b n b n+ = a n+ b n = b. Nous avons vu à la question c, que u n = u n [ cos(/ n cos + ] = u n+ cos cos(/n+ un+ cos(/ n+ u n u n+ cos 4 = cos 4 = u n+ cos b n = sin cos. Par conséquent, u n cos tan et par unicité de la limite, on trouve que L = tan. Q 5 a. Ici, L = 4 π. b. Puisque n N, a n L b n, il vient que n N, 4 b n π 4 a n.

6 c. On a déjà vu que n N, 0 < b n a n. Montrons l autre inégalité en utilisant la formule (. Soit n N. Puisque a n a n+ b n b n+, il vient que an+ ( b n + a n+ an+ ( a n+ + a n+ = 4 et donc 0 < b n+ a n+ b n a n. Par récurrence, on montre alors que n N, 4 (b n a n b 0 a 0 4 n = 4 n d. L encadrement de π précédent sera à la précision ε lorsque 4 4 ε, c est à dire 4(b n a n ε. Mais a n b n a n b n puisque a 0 a n b n, il vient que a n b n a et donc d après Q5c, (b n a n b 0 a 0 a n b n 4 n = 4 n Pour avoir un encadrement à 0 8 près, il suffit que 4 n 0 8, et donc il suffit que 4 n 0 8 (, c est à dire (n log(4 8 + log(. Avec la calculatrice, on touve qu il suffit de prendre n = 4. Q 6 On suppose que la suite (p n converge vers une limite non-nulle l. Soit n. On écrit pour n, u n = p n p n Donc la suite (u n converge vers l/l = d après les théorèmes générau. (Attention, la suite (p n n est pas etraite de (p n, mais converge vers l comme on le voit immédiatement à partir de la définition de la limite. Q 7 Soit n. On calcule en réduisant au même dénominateur p n = 3... n + = n + n Par conséquent, la suite (p n diverge vers + et le produit (p n diverge. Q 8 Soit n. En notant v n = p n sin ( a n, on calcule : v n = cos ( a ( a ( a ( a... cos cos sin n n n En utilisant la formule sin(α = sin(α cos(α avec α = a n, on trouve que v n = v n La suite (v n est donc une suite géométrique de raison (/ et donc v n = v n. Mais puisque v = cos(a/ sin(a/ = sin(a/, on en tire que v n = sin(a, et donc que n p n = sin(a n sin ( a n (car a/ n est différent de π par hypothèse. En utilisant l équivalent classique du sinus, puisque a/ n 0, u n sin(a n a = sin(a a n Donc la suite (p n converge vers sin(a 0 et le produit (p n converge vers cette limite non nulle. a Q 9 Il suffit de poser = / <, et d utiliser un théorème du cours.

7 Q 0 Soit n n 0. En utilisant la propriété fonctionnelle du logarithme, on peut écrire S n = ln ( u n0... u n (5 Q (i (ii : on suppose que la suite (S n converge vers une limite finie l R. En prenant l eponentielle de la relation 5, on trouve que ep(s n = p n p n0 et donc que p n = p n0 ep(s n. La suite (S n converge donc vers p n0 ep(l car la fonction ep est continue au point l. Comme on a supposé que dans tout le problème, n N, u n 0, p n0 0 et donc comme cette limite est non nulle, le produit (p n converge. (ii (i : supposons que la suite (p n converge vers une limite non-nulle l R. Alors la suite de terme général α n = u n0... u n = p n converge vers l l =. Mais puisque p n0 > 0 et l > 0, l 0. p n0 p n0 Comme p n0 0, il vient que l > 0. Donc la suite ( ep(s n converge vers l > 0 et donc la suite (S n converge vers ln(l (car la fonction ln est continue au point l. a Considérons la fonction définie sur ]0, + [ par f( = ln. Elle est dérivable sur ]0, + [ et > 0, f ( = ln (dresser le tableau de variations!. Lorsque e, f ( 0 et donc la fonction f est décroissante sur [3, + [. Soit alors un entier 3. En majorant l intégrale (faire un dessin!, on obtient : + ln d + ln = ln b Soit n. Écrivons u n = e n ln n Comme ln n = o(n, il vient que ln n n On peut donc appliquer le résultat de la question 0 avec n 0 =. Soit n, S n = ln u = = n ln + ln ln + n =3 + =3 ln ln d = n+ ln + ln 3 d = [ (ln ] n+ ln + 3 = ( (ln 3 ln(n + ln + 0 et donc que u n. Nous avons utilisé la minoration de a. Comme la suite ( (ln(n + / diverge vers +, on en déduit par le théorème des gendarmes que la suite (S n diverge vers + et donc que le produit (p n diverge. Q Considérons la fonction g : { ]0, + [ R ln( + Elle est dérivable sur ]0, + [ et > 0, g ( = < 0. Par conséquent, la fonction g est décroissante sur + ]0, + [ (dresser le tableau de variations! et donc si > 0, g( g(0 = 0 ce qui montre l inégalité demandée. Q 3 Remarquons que la suite (p n est croissante : soit n, p n+ = + ν n+. p n Comme la suite (T n converge, elle est bornée. Donc il eiste M > 0 tel que n, T n M. Soit alors n. Majorons p n : ln(p n = ln( + ν ν M Par conséquent, p n e M. La suite (p n étant croissante et majorée, elle converge vers une limite finie l R. Or p, donc par passage à la limite dans les inégalités, puisque n, p n p, on obtient que l. Cette limite étant non nulle, on en déduit que le produit (p n converge.

8 Q 4 En développant pour n, p n = ( + ν... ( + ν n = + ν + + ν n + ν ν + + ν n ν n + + ν... ν n ν + + ν n on en déduit que n, T n p n. Par conséquent, si (p n converge, la suite (T n est majorée. Comme elle est croissante, elle converge également. Q 5 a Montrons par l absurde que la suite (T n est divergente. Si elle convergeait, d après la question 3, le produit p n = n ( + / convergerait aussi, ce qui est fau d après la question 7. Comme d autre part la suite (Tn est croissante et diverge, d après le théorème de la limite monotone, elle diverge vers +. b Soit. Comme la fonction / est décroissante sur ], + [, on encadre (faire un dessin! ce qui donne l encadrement suivant : + d + + On en déduit l encadrement suivant de T n pour n : d n+ + d n+ p= n p ln(n + T n T n + n + ln(n + T n ln(n + T n ln(n + + n + En divisant ces inégalités par ln(n +, on trouve l encadrement suivant de T n : T n Par le théorème des gendarmes, ln(n + ln n. et donc finalement, T n ln n. T n ln(n + + ln(n + et donc T n ln(n+. Mais ln(n+ = ln n+ln(+/n Q 6 Lorsque a >, la suite (u n associée au produit vérifie n, u n = + a n et donc u n +. Comme la suite (u n ne converge pas vers, d après la question 6, le produit (p n diverge. Lorsque a =, la suite (u n converge vers, et là aussi, le produit (p n diverge. (On aurait pu également minorer simplement p n par n. Q 7 Considérons la suite (T n de la question 3 définie ici par n, T n = Il est clair que cette suite (T n est croissante. Comme l intervalle d entiers [, n ] contient tous les entiers pour [,n] et que tous les réels a sont positifs, on majore facilement la suite (T n par une série géométrique : T n = a n p= a a p = an + a a Par conséquent, la suite (T n est croissante et majorée, et d après le théorème de la limite monotone, elle converge. D après la question 3, le produit (p n converge.

9 Q 8 Soit n. Calculons ( a p n = ( a ( + a ( + a... ( + a n = ( a ( + a... ( + a n =... = ( a n ( + a n = a n+ On démontre par récurrence que n, ( a p n = a n+ Il vient alors que n, et comme a n+ 0, p n a. p n = an + a