Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé

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1 Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Métropole Juin 2006 (6 points) 1) Soit la fonction définie sur par. On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé d unité graphique 2cm. a) Déterminer la limite de en. On pose b) Justifier que est dérivable sur et déterminer sa dérivée. est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables sur. Quelque soit,. c) Dresser le tableau de variation de et tracer la courbe. Quelque soit, donc a le même signe que. C est un polynôme de degré 2 qui a deux racines évidentes et. Le coefficient de est. D où le tableau de signe suivant : On en déduit le tableau de variations de :

2 2) Soit un entier naturel non nul. On considère l intégrale définie par. Soit la fonction définie sur pour tout entier naturel non nul par. a) Montrer que.. D où. En déduire. On en déduit que : b) Montrer que pour tout entier naturel non nul,... En déduire que pour tout entier naturel non nul, Par intégration sur l intervalle, on en déduit que : Soit par linéarité de l intégrale. D où Et donc

3 c) Calculer. Donner une interprétation graphique du nombre. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1) c). En utilisant la formule précédente avec, on obtient. Soit. est une fonction positive sur. Donc représente l aire, exprimée en unité d aire, entre la courbe, les axes d équations et l axe des abscisses. 3) a) Démontrer que pour tout nombre réel de et pour tout entier naturel non nul, on a l inégalité suivante :. Sur l intervalle, la fonction est strictement décroissante. En effet,. Donc, pour tout de. De plus, pour tout de, donc on a l inégalité. Autre méthode : exponentielle est strictement croissante sur donc sur. De plus, pour tout de, donc on a l inégalité. car la fonction b) En déduire un encadrement de puis la limite de quand tend vers. En intégrant l inégalité entre 0 et 1 (dans cet ordre), on obtient : 4) On considère l'algorithme suivant : Variables est du type nombre est du type nombre est du type nombre Début algorithme lire n prend la valeur 1 I prend la valeur tant que I début tant que I prend la valeur prend la valeur fin tant que afficher Fin algorithme

4 a) Quel est l'affichage en fin d'algorithme pour? ; ; ; L'algorithme affiche. b) Quel est l'intérêt de cet algorithme? Cet algorithme permet de déterminer la plus petite valeur de pour laquelle, l aire est strictement inférieure à la valeur choisie. Nouvelle-Calédonie Novembre 2007 (4 points) Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte point ; une réponse inexacte enlève point ; l'absence de réponse est comptée point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Les justifications ne sont pas demandées mais sont données ici pour aider à la compréhension des réponses. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine. 1) Une solution de l équation complexe est : a) 3 b) c) Explication : On pose. Alors et par identification des parties réelle et imaginaire. Autre méthode. On remplace par les valeurs données et on constate que seul vérifie l égalité. 2) Soit un nombre complexe ; est égal à : a) b) c) Explication : On sait que car deux nombres complexes conjugués ont le même module. D où car. 3) Soit un nombre complexe non nul d argument. Un argument de est : a) b) c) Explication : On pose avec et réel. On a donc et. 4) Soit un entier naturel. Le complexe est un imaginaire pur si, et seulement si : a) b) avec entier relatif c) avec entier relatif Explication :. Donc.

5 Ce nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si soit 5) Soient et deux points d affixes respectives et. L ensemble des points d affixe vérifiant est : a) La droite b) Le cercle de diamètre c) La droite perpendiculaire à passant par O. Explication : appartient à la médiatrice de, droite perpendiculaire à (AB) et qui pense en O milieu de. 6) Soit le point d affixe. L ensemble des points d affixe vérifiant a pour équation : a) b) c) avec réel Explication :. Donc est sur le cercle de centre et de rayon 5. 7) Soient et les points d affixes et. L affixe du point tel que le triangle soit isocèle avec est : a) b) c) Explication : Un petit graphique suffit à trouver la solution 8) L ensemble solution dans de l équation est : a) b) L ensemble vide c) Explication : On trouve ensuite les deux solutions complexes de la réponse c. La Réunion Juin 2008 (5 points) Tous les résultats seront arrondis à Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1. 1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a) On admet que suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. La variable aléatoire prend toute valeur entière entre 0 et 8 et la probabilité qu un stylo présente un défaut est 0,1. Donc les paramètres de sont et.

6 b) Calculer les probabilités des événements suivants : : «il n'y a aucun stylo avec un défaut» : «il y a au moins deux stylos avec un défaut» : «il y a exactement deux stylos avec un défaut» à à à 2) En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20% des stylos avec défaut. On prend au hasard un stylo dans la production. On note l'événement : «le stylo présente un défaut», et l'événement «le stylo est accepté». a) Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé. b) Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle. D après la formule des probabilités totales : c) Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 à à 3) Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés. Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. On considère la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos avec un défaut dans le prélèvement. Le prélèvement se fait successivement et avec remise. Il y a donc indépendance.

7 Y suit donc la loi binomiale de paramètres avec correspondant à la probabilité qu un stylo est un défaut après contrôle. à Comparer ce résultat avec la probabilité de l'événement calculée à la question 1) b). Quel commentaire peut-on faire? Conclusion : ce contrôle permet de presque doubler les chances d avoir un lot de huit stylos sans défaut. La Réunion Juin 2008 (5 points) On considère la suite définie par et pour tout entier,. 1) a) Calculer. b) Les valeurs de sont respectivement égales à 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621. A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite par. La suite semble être arithmétique de premier terme et de raison. 2) Soit la suite arithmétique de raison et de premier terme Justifier que la somme des premiers termes de cette suite est égale à. On sait que, pour tout entier naturel, La somme des premiers termes est : 3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a Initialisation : donc cette égalité est vérifiée au rang 0. Hérédité : On suppose qu il existe un entier naturel tel que. On sait que. D où Donc, si alors..

8 L hérédité est prouvée. Conclusion : L égalité est vérifiée quelque soit l entier naturel. 4) Valider la conjecture émise à la question 1) b). La suite est arithmétique de premier terme et de raison.