ARTICLE Théorème de Pick

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1 ARTICLE Théorème de Pik Énoné On onsidère un polygone onvexe sur un maillage régulier de sorte que haque sommet soit sur un nœud de e maillage omme l illustre le shéma i-dessous. Le théorème de Pik stipule que la superfiie du polygone peut être alulée de façon simple à l aide de la formule : A = i + b exprimée en unités d aire, où «i» représente le nombre de nœuds intérieurs au polygone et «b» elui des nœuds se trouvant sur ses ôtés. Par exemple, sur le er shéma i-ontre, i = 4 et b = 4 ; d où : A = 4 + = 4. Stéphane PASQUET, 0 mars 0 - Doument disponible sur 4 On peut aisément aluler A en alulant d une part l aire du arré bleu (voir i-ontre) et d autre part, l aire des triangles,, et 4 : A = = = 4.. Polygone onvexe : figure géométrique onstituée de plusieurs ôtés retilignes de sorte qu auun sommet ne «rentre» dans la figure.

2 Démonstration. La formule est-elle vraie pour un retangle quelonque? Considérons un retangle omme i-dessous : L l Ii, b = (L + ) + (l ) = L + l et i = (l )(L ) = Ll L l +. Ainsi, i + b (L + l) = Ll L l + + = Ll = aire du retangle. La formule de Pik est don vraie pour un retangle quelonque.. La formule est-elle vraie pour un triangle retangle? Considérons la moitié du retangle préédent : Stéphane PASQUET, 0 mars 0 - Doument disponible sur l L Appelons toujours i le nombre de points (nœuds) intérieurs et b = +d sur le périmètre ( représentant le nombre de points sur les ôtés perpendiulaires et d sur l hypoténuse). Collons à notre triangle un autre triangle identique (rouge) pour former le retangle initial. Appelons i et b les nombres respetifs de points intérieurs au retangle et sur le périmètre. On a alors : i = i + d deux fois le nombre de points intérieurs au triangle, plus eux sur l hypoténuse b = On enlève deux sommets qui sont en ommun Or, nous savons que l aire du triangle est égale à la moitié de elle du retangle, qui est égale (d après la setion préédente) à i + b. Don, l aire du triangle est : A = ( ) i + b = ( i + d + ) = i + }{{} d + = i + b. Le théorème de Pik est don vrai pour le triangle retangle. =b

3 . La formule est-elle vraie pour un triangle quelonque? Considérons maintenant un retangle quelonque omme elui représenté i-dessous : L aire du triangle est la différene entre elle du retangle l enadrant et de la somme de l aire des triangles retangles, et. Appelons : i k le nombre de points à l intérieur du triangle k et b k = k + d k le nombre de points sur ses bords, ave d k le nombre de points sur son hypoténuse (extrémités non omprises) et k le nombre de points sur ses autres ôtés, k =, ou ; i le nombre de points à l intérieur du triangle quelonque et b = d + d + d + le nombre de points sur ses bords ; i le nombre de points à l intérieur du retangle et b le nombre de points sur ses bords ; Notons A l aire du triangle quelonque, A k elle du triangle retangle k et A elle du retangle. Alors, d après les setions préédentes, nous pouvons érire : Stéphane PASQUET, 0 mars 0 - Doument disponible sur A = A (A + A + A ) ( ) ( = i + b i + i + i + ) (b + b + b ) = i + b ( i + i + i + ( d + d + d ) )

4 Or, et Don : i = i + i + i + i + d + d + d b = + + A = i + i + i + i + d + d + d = i + d + d + d + = i + b i i i d + d + d + Nous avons ainsi démontré que le théorème de Pik était vrai pour un triangle quelonque. Et maintenant, le polygone! Un polygone P à n ôtés est formé de n triangles, n 4. Notons (T k ) k n les n triangles qui onstituent le polygone. Je vais ii prendre un hexagone pour avoir un appui visuel : T T T Stéphane PASQUET, 0 mars 0 - Doument disponible sur A Je onviens alors de déouper P à partir d un même point A et en nommant les triangles de gauhe à droite T, T,..., T n. Je note alors : le nombre de points sur les deux ôtés de T qui oïnident ave deux ôtés de P ; n le nombre de points sur les deux ôtés de T n qui oïnident ave deux ôtés de P ; k, k n, le nombre de points sur le seul ôté de T k qui oïnide ave un ôté de P ; d k, k n, le nombre de points sur le ôté de T k intérieur à P qui ne oïnide pas ave un ôté de T k ; i k le nombre de points intérieurs à T k ; i le nombre de points intérieurs à P et b elui sur ses bords. On a alors : n i = i k + et soit : ou enore : T 4 b = + ( ) + ( ) + + ( n ) + ( n ) d k n b = k (n ) n b = k n + 4

5 En notant A l aire de P et A k l aire de T k, on a : Stéphane PASQUET, 0 mars 0 - Doument disponible sur n A = A k = A + A k + A n k= = i + b + A k + i n + b n k= = i + i n + b + b n = i + i n + b + b n = i + i n + b + b n ( + i k + b ) k k= ( + i k + d ) k + k + d k + k= + i k + k= n = i k + + d + n + d n n = i k + n k + d k n n = i k + d k + n k n = i + b + n = i + b. n k + k= k= (d k + d k ) (n 4) + k + (d k + d k ) n Le théorème de Pik est don démontré pour tout polygone onvexe. k= k= 5