DX - FRACTIONS RATIONNELLES

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1 DX - FRACTIONS RATIONNELLES On désigne une fraction rationnelle non nulle irréductible à coefficients réels par fx) = Px) Qx). où P et Q sont des polynômes de degrés respectifs p et q. On note deg f = deg P deg Q. Si α est un pôle de f d ordre n, c est-à-dire une racine de Q d ordre n, on notera Rx) le quotient de Qx) par x α) n. Si de plus α n est pas réel, alors on notera x α)x ᾱ) = x 2 + ux + v qui est un polynôme à coefficients réels, et Sx) sera le quotient de Qx) par x 2 + ux + v) n. I Théorème de décomposition Le théorème de décomposition des fractions rationnelles en éléments simples sur C, dit que fx) s écrit comme somme de différentes parties : ) une partie polynomiale de degré p q, si p q a 0 x p q + a x p q + + a p q 2) pour tout pôle α d ordre n, une partie polaire de la forme cette décomposition étant unique. b 0 x α) n + b x α) n + + b n x α, Dans le cas de la décomposition sur R, on a encore ), on a aussi 2) pour tout pôle réel, auxquelles s ajoutent dans le cas des pôles α non réels des sommes du type 3) c 0 x + d 0 x 2 + ux + v) n + c x + d x 2 + ux + v) n + + c n x + d n x 2 + ux + v. Là encore, la décomposition est unique. Exemple x 9 + x x ) 3 x 2 + ) 2 x + 2)

2 DX 2 On a p = 9 et q = 8. Il y a une partie polynomiale de degré p q =. Il y a un pôle réel d ordre 3 : un pôle réel d ordre : 2 deux pôles non réels conjugués d ordre 2 : i et i. La décomposition sur C sera de la forme ax + b) + c x ) 3 + d x ) 2 + e x ) ) g + + x + 2 Sur R les deux dernières sommes seront remplacées par nx + r x 2 + ) 2 + sx + t x 2 +. h x i) 2 + k x i ) l + x + i) 2 + m ) x + i Les méthodes qui suivent donnent des moyens pour déterminer les coefficients qui apparaissent dans la décomposition. II Méthodes globales A) Par identification On écrit la décomposition cherchée sous forme littérale. On réduit au même dénominateur, et l on identifie les numérateurs, ce qui fournit un système d équations linéaires dont les inconnues sont les coefficients. Exemple 2 Il reste à résoudre le système x 2 3 x ) 2 x + ) et l on obtient a,b,c) =, 3 2, 2 ). = a x ) 2 + b x + c x + = b + c)x2 + a 2c)x + a b + c x ) 2 x + ) b + c = a 2c = 0 a b + c = 3. B) En donnant à x des valeurs numériques La décomposition étant écrite sous forme littérale, on donne à x des valeurs judicieuses, par exemple celles qui annulent le numérateur. Il en faut au moins autant que de coefficients à déterminer. On obtient là encore un système que l on résout. On peut aussi calculer lim x xs fx)

3 DX 3 pour une valeur convenable de s. Exemple 3 On effectue les calculs suivants : On obtient facilement a,b,c) = 4,4, 3) x 2 2x 3 x ) 2 x 2) = a x ) 2 + b x + c x 2. f ) = 0 = a 4 b 2 c 3 f3) = 0 = a 4 + b 2 + c lim xfx) = = b + c x + Remarque : ces méthodes ne sont intéressantes que si le nombre de coefficients à déterminer est petit. III Réduction du nombre de coefficients à déterminer A) Cas des fractions paires ou impaires Pour de telles fractions, si α est un pôle d ordre n, il en est de même de α. Le coefficient de x + α) p est, au signe près, celui de x α) p. La partie polynomiale a même parité que f. Si 0 est un pôle, la partie polaire relative à 0 a même parité que f. En pratique, on écrit la fraction décomposée sous forme littérale. On calcule f x) si f est paire et f x) si f est impaire, et l on identifie le développement obtenu avec celui de fx), ce qui fait apparaître les termes égaux et les termes nuls. Exemple 4 comme f est paire, on calcule f x) x x 2 + )x 2 6) = ax2 + bx + c + d x 4 + e x gx + h x 2 +. fx) = f x) = ax 2 bx + c On en déduit que b = g = 0 et que d = e. Donc fx) = ax 2 + c + d x 4 d x + 4 e x 4 + gx + h x 2 +. d x h x 2 +.

4 DX 4 B) Fractions vérifiant une relation du type fλx) = µfx) Si α est un pôle d ordre n, il en est de même de λα, et les coefficients des décompositions polaires relatives à ces pôles sont liés par des relations qui proviennent de l unicité de la décomposition. La méthode est analogue au III A). Exemple 5 fx) = x6 x 5. Posons z = e 2iπ/5 : c est une racine 5 ième de l unité. On a Si l on pose fx) = ax + b + c x + fz k x) = z k fx). d x z + e x z 2 + g x z 3 + on écrit le début de la décomposition de z k fz k x). Par identification on a fx) = z k fz k x) = ax + z k b + cz 2k x z k +. on en déduit b = 0, et en faisant varier k, sachant que z = z 4, on obtient k = : z k = z 4 donc h = cz 2 = cz 3 k = 2 : z k = z 3 donc g = cz 4 = cz k = 3 : z k = z 2 donc e = cz 6 = cz 4 k = 4 : z k = z donc e = cz 8 = cz 2. h x z 4, C) Fractions vérifiant des relations du type fx λ) = µfx) ou fλ x) = µfx) Les coefficients des décompositions polaires relatives à α et α λ ou λ α sont liés. Même méthode qu en A et B. Exemple 6 Or d où a = c et b = d. x 2 3x + 2) 2 = a x ) 2 + b x + c x 2) 2 + d x 2. f3 x) = fx) = a 2 x) 2 + b 2 x +. D) Cas de la décomposition dans C d une fraction à coefficients réels Les coefficients de la partie polynomiale sont réels.

5 DX 5 Les coefficients de la partie polaire relative à un pôle réel sont réels. Si α est un pôle non réel d ordre p, alors ᾱ en est un aussi. Le coefficient de x α) p est le conjugué de celui de x ᾱ) p. Cela vient du fait que fx) = fx). Exemple 7 x x 2 + = a x i + ā x + i. IV Détermination des coefficients par pôle A) Recherche de la partie polynomiale lorsque p q On effectue la division euclidienne de P par Q : le quotient est la partie polynomiale cherchée. Remarque : le coefficient de x p q est le rapport des termes de plus haut degré. En particulier si p = q, la partie polynomiale se réduit à une constante qui est le rapport des termes de plus haut degré. Si l on a avec degv ) < degq) on obtient donc P = UQ + V P Q = U + V Q. On pourra continuer la décomposition aussi bien en utilisant la fraction P/Q qu en utilisant V/Q. En fait P est en général plus simple que V bien que de degré plus élevé, et il est souvent préférable d utiliser P/Q, ce qui évite d ailleurs de calculer V. On peut déterminer a d une autre manière, en effectuant le développement limité de f à l infini. On met tout d abord x p en facteur dans Px) et x q dans Qx). On a donc Px) Qx) = xp q Hx), où H est une fraction rationnelle. On pose alors x = /u, et l on cherche le développement limité de H/u) à l ordre p q en 0. En multipliant le résultat obtenu par x p q on obtient, en revenant en x, le quotient cherché. Exemple 8 a) En développant le dénominateur fx) = x5 + 2x x ) 3 x + ). Qx) = x ) 3 x + ) = x ) 2 x 2 ) = x 2 2x + )x 2 ) = x 4 2x 3 + 2x,

6 DX 6 puis la division euclidienne de Px) par Qx) donne x + 2 comme quotient. b) En mettant en facteur la plus grosse puissance de x au numérateur et dénominateur fx) = x5 + 2/x 4 /x 5 ) x 4 /x) 3 + /x) = x + 2u4 u 5 u) 3 + u), où u = /x. On effectue le développement limité à l ordre + 2u 4 u 5 = + u) et u) 3 = 3u + u), d où et soit et donc u) 3 + u) = 3u) + u) + u) = 2u + u) H/u) = 2u + u)) = + 2u + u), Hx) = + 2/x + /x), fx) = xhx) = x ). On retrouve bien x + 2. B) Recherche de la partie polaire relative à α ) Cas général On pose Qx) = x α) n Rx), et on fait un développement limité de P/R à l ordre n au voisinage de α. En pratique, cela revient à poser x = α + h et à diviser Pα + h) par Qα + h) suivant les puissances croissantes de h, à l ordre n. On obtient ce qui fournit la partie polaire cherchée : Remarque : a 0 = Pα) Rα). a 0 + a h + + a n h n a 0 x α) n + a x α) n + + a n x α. Remarque 2 : ces calculs sont valables y compris si α n est pas réel.

7 DX 7 Exemple 9 Reprenons l exemple 8. Posons x = h et développons à l ordre 2. Px) Rx) = x5 + 2x x + d où la partie polaire relative à : 2) Cas d un pôle simple a) D après la remarque précédente, si on a = + 5h + 0h2 ) h) + h 2 ) 2 + h = 2 + 7h + 0h2 + h 2 ) 2 + h x ) x ) x ). Qx) = x α)rx) a 0 = Pα) Rα). Cela revient à multiplier fx) par x α et à remplacer x par α. = + 3h + 7h2 2 + h2 ), Exemple 0 Toujours dans l exemple 8, le coefficient de /x + ) est obtenu en remplaçant x par dans Px) Rx) = x5 + 2x x ) 3, ce qui donne /2. b) On peut obtenir autrement le coefficient. En effet, si l on écrit on remarque que d où Rx) = Qx) Qα) x α Qx) Qα) Rα) = lim = Q α), x α x α a 0 = Pα) Q α). Exemple Reprenons l exemple 5. Les racines sont simples et valent z k = e 2ikπ/5. Le coefficient de /x z k ) est la valeur de Px) Q x) = x6 5x 4 en z k, c est-à-dire z 2k /5. Remarque : si Qx) = Q x)q 2 x) et si α est racine simple de Q x) et n est pas racine de Q 2 x), on a Pα) a 0 = Q α)q 2α).

8 DX 8 C) Décomposition dans R dans le cas des pôles non réels On a posé et si α est un pôle d ordre n ) Cas où Sx) = x α)x ᾱ) = x 2 + ux + v, Qx) = x 2 + ux + v) n Sx). On divise Px) par x 2 + ux + v. Soit U le quotient et V le reste. On a alors fx) = où V est de degré plus petit que. Px) x 2 + ux + v) n = V x) x 2 + ux + v) n + Ux) x 2 + ux + v) n, On recommence en divisant Ux) par x 2 +ux+v, et on poursuit l opération autant de fois qu il le faut. De plus le quotient de la dernière division donne la partie polynomiale, qu il n est donc pas besoin de déterminer au départ. Exemple 2 On a les divisions x 5 + x 2 + ) 2. x 5 + = x 2 + )x 3 x) + x + et x 3 x = x 2 + )x 2x, d où la décomposition 2) Cas général x + x 2 + ) 2 2x x x. On part de la décomposition fx) = a n x + b n x 2 + ux + v) n + T n x) x 2 + ux + v) n Sx). En multipliant par x 2 + ux + v) n et en faisant x = α, on obtient Pα) Sα) = a nα + b n. Ce nombre est un nombre complexe. En identifiant les parties réelles et imaginaires par exemple, ou en utilisant le fait que,α) est une base de C comme espace vectoriel sur R), on détermine a n et b n, puis on calcule T n x). On trouve T n x) = Px) a nx + b n )Sx) x 2 + ux + v.

9 DX 9 On doit obtenir un polynôme, ce qui permet de vérifier la justesse de a n et b n. Puis on recommence les opérations avec la fraction T n x) x 2 + ux + v) n Sx). Exemple 3 fx) = x + x 2 + ) 2 x 2 + x + ) 2 = ax + b x 2 + ) 2 + Tx) x 2 + )x 2 + x + ) 2. On commence par la partie en x 2 + plus simple que x 2 + x +. En multipliant par x 2 + ) 2 et en faisant x = i, on trouve ai + b = donc a,b) =, ). On détermine ensuite Tx) : En développant on trouve On cherche alors a et b tels que i + i 2 = i. + i + ) 2 Tx) = x + + x + )x2 + x + ) 2 x 2 + x 2 + ) + x) 2 = x 2 + ) 2 + 2x 2 + )x + x 2 Tx) = x + )x 2 + 2x + 2). Tx) x 2 + )x 2 + x + ) 2 = a x + b x Ux) x 2 + x + ) 2. On multiplie par x 2 + et l on fait x = i, ce qui donne a i + b = donc a,b ) = 3,), et finalement Déterminons Ux). Ti) i 2 = Ti) = 3i +, + i + ) 2 fx) = x x 2 + ) 2 + 3x + x Ux) x 2 + x + ) 2. Ux) = x + )x2 + 2x + 2) 3x + )x 2 + x + ) 2 x 2 + On peut développer le numérateur et effectuer la division par x 2 +. On peut aussi essayer de faire apparaître ce facteur au numérateur x + )x 2 + 2x + 2) = x + )x 2 + ) + 2x + ) = x + )x 2 + ) + 2x 2 + ) + 3x = x + 3)x 2 + ) + 3x,..

10 DX 0 puis 3x )x 2 + x + ) 2 = 3x )x 2 + ) 2 + 2xx 2 + ) + x 2 ) = 3x )x 2 + ) 2 + x 2 + )2x + ) ) = 3x )x 2 + ) 2 + x 2 + )6x 2 + ) + x 7) 3x + = 3x + 5)x 2 + ) 2 + x 7)x 2 + ), d où Ux) = x 2 + )3x + 5) + 2x 4 = 3x 3 + 5x 2 + 5x +. Il ne reste plus qu à décomposer le troisième terme par la méthode du IV C) ). 3) Passage par la décomposition dans C On peut décomposer tout d abord sur C, puis regrouper les termes conjugués. En réduisant au même dénominateur, on trouve a x α) p + ā x ᾱ) p = Tx) x 2 + ux + v) p, que l on décompose par la méthode IV C) ). Exemple 4 fx) = x + xx 2 + ) 2. Les pôles non réels sont i et i. On utilise IV B) ) en posant x = i + h. On a x + xx + i) 2 = = + i + h i + h)2i + h) 2 = + i + h i + h) 4 + 4ih + h)) + i + h 4i 8h + h) = i 4 + i + h 2ih + h) d où la partie polaire relative à i = i 4 + i + h) + 2ih + h)) = i i)h + h)), 4 4 i + x i) i ). x i Celle relative à i s obtient en prenant le conjugué : i + 4 x + i) i ). x + i En regroupant les termes de même degré, on obtient 2 x 2 + 2x x 2 + ) 2 + 2x ) x 2. +

11 DX Le premier terme de cette somme se décompose facilement en écrivant le numérateur sous la forme x x 2), d où la partie polaire cherchée V Procédés divers x + x 2 + ) 2 x x 2 +. A) Fractions paires Si f est paire il existe une fraction rationnelle g telle que fx) = gx 2 ). On décompose gx), puis on remplace X par x 2. On achève la décomposition des termes qui ne le seraient pas encore. Exemple 5 On prend qui se décompose en On a donc Le second terme se décompose lui même fx) = 2x2 x 4. gx) = 2X X 2, gx) = X + + X. fx) = x x 2. x 2 = 2 B) Si f est la dérivée d une fraction g x ). x + On décompose g et l on dérive. Ceci n a d intérêt que si la recherche de g est évidente et si g a une forme simple. En général c est au contraire dans le but de trouver une primitive de f que l on a besoin de la décomposer. Exemple 6 Cette fraction est la dérivée de fx) = gx) = x x 2 ) 2. 2x 2 ),

12 DX 2 qui se décompose en D où C) Si f est le carré d une fraction g 4 x + ). x fx) = ) 4 x ) 2 x + ) 2. On décompose g, on élève au carré, et l on décompose les doubles produits. Exemple 7 On décompose donc fx) = 9 gx) = fx) = x )x + 2) = 3 x ) 2 x + 2) 2. ) x ) 2 + x + 2) 2 2 = x )x + 2) 9 x ), x + 2 x ) 2 + x + 2) 2 2gx) ), et l on termine en remplaçant gx) par son développement. D) Exemple divers On a intérêt, avant de se lancer dans les calculs, à regarder de près la forme du numérateur et du dénominateur, et à en utiliser au maximum toutes leurs particularités. Exemple 8 fx) = x4 + x 3 + 2x 2 x + xx 2 + ) 2. Le numérateur se sépare en un polynôme pair qui est x 2 + ) 2 et un polynôme impair, ce qui permet de décomposer rapidement. Certaines méthodes sont plus rapides que d autres. fx) = x + x2 x 2 + ) 2 = x + 2 x 2 + ) 2 + x 2 +. Exemple 9 Si l on reprend l exemple 4, on peut aller plus rapidement en cherchant d abord la partie polaire relative à 0. On trouve /x, et l on a fx) = x + Tx) x 2 + ) 2.

13 DX 3 En formant fx) /x, on trouve et l on décompose rapidement en écrivant Tx) = x 3 2x + Tx) = xx 2 + ) x +. En général, c est en mélangeant les diverses méthodes que l on parvient au résultat, surtout dans le cas d une fraction compliquée. VI Décomposition des fractions figurant dans le texte Exemple x 9 + x x ) 3 x 2 + ) 2 x + 2) = x + + 6x ) x ) x ) x + 2) 3 + i 28 29i 40x i) 2 200x i) 3 i i 40x + i) 2 200x + i). Pour la décomposition sur R les quatre derniers termes sont remplacés par x + 3 7x + 0x 2 + ) 2 25x 2 + ). Exemple 4 Exemples 5, x x 2 + )x 2 6) = x x 2 + ) x 4) x + 4). x 6 x 5 = x + 5 x + z2 x z + z4 x z 2 + z x z 3 + ) z3 x z 4, où z = e 2iπ/5. Exemple 6 Exemple 7 Exemples 8, 9, 0 x 2 3x + 2) 2 = x ) x + x 2) 2 2 x 2. x x 2 + = + i 2x i) + i 2x + i). Exemple 3 x 5 + 2x x ) 3 x + ) = x x ) x ) x ) + 2x + ). x + x 2 + ) 2 x 2 + x + ) 2 = x + x 2 + ) 2 3x x 2 + x 2 + x + ) 2 + 3x + 2 x 2 + x +.

14 DX 4 Exemples 4,9 x + xx 2 + ) 2 = x x x 2 + ) 2 x x 2 +. VII Exercices sur les fractions rationnelles ) Décomposer en éléments simples les fractions suivantes a) x 3 x + 5 x 2 b) x 6 + x 5 4x + 3 xx )x 2) c) n! xx + )...x + n) 2) Décomposer sur C puis sur R. 3) Décomposer a) x 3 + a) b) 4) Décomposer sur C puis sur R. x 5 + 2x x 4 x 2 + x 2 x ) 3 b) c) x 4 2x 2 + xx + )x 2 + ) x 7 x 2 ) 3 c) d) x n x) n x n 5) Décomposer sur C a) x 6 x 2 + ) 2 x + ) 2 b) fx) = x x + ) n x 2 + x + ) x 6 x 5 + ) 2 en remarquant qu il existe un nombre z tel que fzx) = zfx). 6) Décomposer sur R. a) x 7 + x 2 + x + ) 3 b) 6x 3 x ) 3 x + ) 2 x 2 + ) 2 c) x 3 + x 2 + x + )x 2 + ) 2 d) x 2 x 2 ) x 2 x + ) 2 x 4 + 4x 2 + ) e) x 2 + a 2 )x 2 + b 2 )x 2 + c 2 ) a, b, c, distincts) 7) Soit P un polynôme de C[x] et a une racine simple de P. Calculer en fonction de P a) et de P a) la partie polaire relative à a dans la décomposition de la fraction /P 2 en éléments simples. 8) Soit P n le polynôme vérifiant pour tout x réel P n cos x) = cosnx).

15 DX 5 Décomposer les fractions suivantes en éléments simples : REPONSES ) 2) a) x + b) x + a) P n x) k=0 b) x 2 )P n x) 5 2x ) 5 b) x 3 + 4x 2 + 0x x + ) 2x x + 9 2x 2) n ) n c) ) k k x + k a) si n est pair : n = 2k 3 x + + j ) + j + j2 + j 2 = 3 x + + x + 2 ) x 2 x + 2x ) + x i 4x i) 3 i 4x + i) = x + 2x ) + x + 3x 2x 2 + ) n c) + x i x i + i x + i = + x 2x + 2 x 2 + d) n n p=0 z p x z p x k x + + p= où z = e 2iπ/n 2xcos2pπ/n) 2) x 2 2xcos2pπ/n) + si n est impair : n = 2k + n x + k p= 2xcos2pπ/n) 2 x 2 2xcos2pπ/n) + 3) b) x + 8 a) x 2 3 x + 2 x ) 3 2 x ) x ) 3 + x + ) 3 c) ) + 6 n 2n k k= n k x ) x ) 2 x + ) ) ) x k + )k x ) k x + ) x +

16 DX 6 4) a) + = + 4x + ) 2 x + 4x + ) 2 x + + i 8x i) 2 + i 4 8x i) + i x 2x 2 + ) 2 4x + 4x 2 + ) 3x j 2 ) b) j) n 2 + j 3x j) + j2 ) n 2 + j 2 ) + x + ) n 3 x + ) n 5 les deux premiers termes se regroupent en 8x + i) 2 i + 4 8x + i) x + ) n x + ) n 6 x + ) n 2 ) 5) ) n x x 2 + x + si n = 3k ; ) n+ x + ) x 2 + x + si n = 3k + ; ) n x 2 + x + si n = 3k x + ) 2 2 x + + z 3 x + z) 2 2z2 x + z + z x + z 2 ) 2 2z4 x + z 2 z 4 + x + z 3 ) 2 2z x + z 3 + z 2 ) x + z 4 ) 2 2z3 x + z 4 où z = e 2iπ/5 6) a) x 3 + 3x + 5 x 2 + x + 4x + 2 x 2 + x + ) 2 + x + x 2 + x + ) 3 b) x ) 3 5 4x ) + 2x + ) 2 + 4x + ) + 2x 2 x 2 + ) 2 + x + x 2 + c) 2x x 2 + x + 2x 2 x 2 + x + x 2 + ) 2 7) 8) e) d) x 2 3x 2 x + ) 2 + 4x + 5 9x 2 x + ) + 4x 3 8x ) + 4x + 3 8x ) b 2 a 2 )c 2 a 2 )x 2 + a 2 ) + a 2 b 2 )c 2 b 2 )x 2 + b 2 ) + a 2 c 2 )b 2 c 2 )x 2 + c 2 ) P a)) 2 x a) 2 P a) P a)) 3 x a)

17 DX 7 a) n n ) k sin2k + )π/2n) x cos2k + )π/2n) k=0 b) 2x ) + )n 2x + ) + n n k=0 ) k sin2k + )π/2n)x cos2k + )π/2n) VIII Compléments théoriques Si K est un corps commutatif, on sait construire l anneau K[x] des polynômes à coefficients dans K. C est un anneau commutatif et intègre. On peut construire un corps à partir de cet anneau : c est le corps Kx) des fractions rationnelles sur K. On appelle fraction rationnelle un élément noté P Q numérateur et Q le dénominateur de cet élément. de l ensemble K[x] K[x \ {0}). On appelle P le On commence par munir l ensemble K[x] K[x \ {0}), dont les éléments sont notés P, de deux lois Q internes P Q + R S = PS + QR QS et P Q R S = PR QS. L ensemble K[x] K[x \ {0}) muni de ces lois ne constitue pas un corps. Pour avoir un corps on considère la relation d équivalence dans K[x] K[x \ {0}) définie par P Q R S si et seulement si PS = RQ. Le corps K[x] est obtenu par passage au quotient. Cela signifie que l on ne distinguera pas deux fractions rationnelles P Q et R S telles que PS = QR. On écrit alors, par abus de notation P Q = R S. Ceci n est pas une égalité dans K[x] K[x \ {0}) mais dans l ensemble quotient K[x]). Quelle que soit la fraction non nulle P, il existe deux polynômes R et S premiers entre eux, tels que Q Il suffit de diviser P et Q par un PGCD). P Q = R S.

18 DX 8 On dit que la fraction R S est irréductible, et que l on a réduit la fraction P Q. On appelle pôle de la fraction R S une racine du polynôme S. L ordre du pôle est l ordre de la racine de S. On appelle racine de la fraction R S une racine du polynôme R. L ordre de la racine de R S de la racine de R. étant l ordre On appelle degré de la fraction R S le nombre degp/q) = deg P deg Q = deg R deg S. Remarque : si K est un corps de caractéristique non nulle, on ne peut pas nécessairement associer à une fraction rationnelle une fonction de K dans K. Par exemple, si K = Z/2Z, la fraction x 2 + x est dans Kx), mais on ne peut pas définir de fonction de K dans K puisque le dénominateur est identiquement nul sur K. Sur R ou C, deux fractions équivalentes ne définissent pas nécessairement la même fonction. x Les fractions xx ) et sont égales dans le corps des quotients, mais définissent deux fonctions x différentes puisque le domaine de définition de la première est R \ {0,}, et celui de la seconde est R \ {}, la deuxième fonction s obtenant en prolongeant par continuité la première en 0. Comme pour les polynômes si f et g sont deux fractions rationnelles, on a l égalité ayant lieu si les degrés sont différents. degf + g) maxdeg f,deg g), Pour le montrer, on peut toujours supposer les fractions réduites au même dénominateur : f = P/Q et g = R/Q. Alors degf + g) = degp + R)/Q) = degp + R) deg Q maxdeg P,deg R) deg Q maxdeg P deg Q,deg R deg Q) maxdegp/q), degr/q)) maxdeg f,deg g) et dans le cas où f et g sont de degrés différents, il en est de même de P et R et on a des égalités partout.