COURS MPSI A 7. FRACTIONS RATIONNELLES R. FERRÉOL 13/14

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1 Dans tout ce cours K désigne un corps commutatif. I) DÉFINITIONS ) Corps des fractions rationnelles à coefficients dans un corps. PROP (admise) et DEF : pour tout anneau commutatif intègre, il existe un corps noték(), unique à isomorphisme près, contenantcomme sous anneau et dont tout élément s écrit comme le quotient d un élément depar un élément non nul de: a K() b /a,b,b0 Ce corpsk() s appelle lecorpsdesfractions de. Q est le corps des fractions dez. DEF : le corps des fractions de l anneau des polynômes à coefficients dans K est appelé le corps des fractions rationnelles à coefficients dansk, et noték() : K() /, K[],0 Une fraction rationnelle est donc le quotient de deux polynômes. 2) Écriture sous forme de fraction irréductible. PROP : toute fraction rationnelle F K() s écrit de façon unique sous la forme F avec et polynômes premiers entre eux etunitaire ; est lenumérateur réduit def et sondénominateur réduit. On dit que/ est la forme irréductible de F. D E : forme irréductible de n+ 3( 2 ). 3) Racines et pôles d une fraction rationnelle. DEF : les racines d une fraction rationnelle sont les racines de son numérateur réduit, et ses pôles celles de son dénominateur réduit, avec les ordres de multiplicité correspondants. 4 E2 : racines et pôles de 2, surr, surc. (+) REM : surc, toute fraction rationnelle qui n est pas un polynôme a au moins un pôle. 4) Degré d une fraction rationnelle. PROP et DEF : sif K() s écrit et C, alorsdeg degdegc degd ; par définition, cet entier est ledegré D def. D2 REM : une fraction rationnelle de degré positif n est pas forcément un polynôme! PROP : sif etgsont deux fractions rationnelles, alors D3 deg(f+g)max(degf,degg), deg(fg)degf+degg 5) Substitution d un scalaire à l indéterminée ; fonction rationnelle. DEF : sif est une fraction rationnelle d écriture irréductible/ etxun scalaire non pôle def, on posef(x) (x) (x) ; lafonction rationnelle associée àf, d ensemble de définitionk\{pôles def} est la fonctionx F(x). PROP : si deux fractions rationnelles prennent les mêmes valeurs en tout point d une partie infinie de K, alors elles sont égales. D4 DEF : une fonction f de K dans K est dite rationnelle sur une partie I de son ensemble de définition s il existe une fraction rationnellef K() telle que x I f(x)f(x). REM : d après la prop. ci-dessus, cette fraction rationnelle est unique si I est infini. 6) Partie entière d une fraction rationnelle. PROP et DEF : sif K() s écrit et C, alors le quotient de la division euclidienne depar est le même que D celui de la division euclidienne de C par D ; on appelle ce polynôme la partie entière (ou polynomiale) de F ; notation : E(F) ou F.

2 F E(F) est lapartiefractionnaire def. La fonction polynômiale associée à la partie entière de F est appelée la partie entière de la fonction polynomiale associée àf. D5 E3 PROP : sif est de degré<0,e(f)0, et sinondeg(e(f))deg(f) (et donce(f)0 degf <0). D6 CNS : un polynômeqest la partie entière d une fraction rationnellef si et seulement sif Q est de degré strictement négatif. D7 PPLICTION : la partie entière d une somme est la somme des parties entières : E(F+G)E(F)+E(G) D8 REM : ceci différencie la notion de partie entière dans les entiers et dans les rationnels. PPLICTION : la partie entière d un fonction rationnelle f de degré > 0 est une fonction polynomiale asymptote à f au voisinage de+ et. II) DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES. ) Introduction sur des exemples. E4 2) Partie polaire d une fraction rationnelle. TH : SoitF K(),x 0 un pôle d ordrek def ; alors il existe un unique(a,...,a k ) K k et une uniqueg K() tels que F a a k x 0 ( x 0 ) k +G avecx 0 non pôle deg a a k DEF : x 0 ( x 0 ) k est la partie polaire def relative au pôlex 0 eta q est lerésidud ordre q def relatif au pôlex 0 (eta est lerésidu tout court). Exemple préparatoire: + 2 ( 2 +) ( 2 +) ( 2 +) 2 + ( 2 +) 2 + ( 2 +) ( 2 +) 2 + ( 2 +) D9 par récurrence surk: Pourk0, GF Supposons que le théorème soit vrai à l ordrek, et montrons-le à l ordrek. Soit doncx 0 un pôle d ordrek def; on a donc:f ( x 0 ) k Q oùetqsont des polynômes,q(x 0)0. 2

3 NLYSE a a k si F x 0 ( x 0 ) k +G avec x 0 non pôle de G, en multipliant par ( x 0 ) k, on obtient : a k ( x 0 )a ( x 0 ) k +G( x 0 ) k, donc, en faisant:x 0 a k (x 0) Q(x 0 ) et on en déduit que comme( a k Q)(x 0 )0, a k Q( x 0 ) a k on peut écriref F ( x 0 ) k a kq ( x 0 ) k Q ( x 0 ) k, d où, par l hypothèse de récurrence : Q F a a k x 0 ( x 0 ) k +G Q a k+ a a k or on avait F x 0 ( x 0 ) k +G, donc d après l unicité dans l H.R., on a : a a,...,a k a k etgg ; (a,...,a k ) etgont donc bien été déterminées à partir des données du problème, ce qui termine l analyse, et prouve l unicité demandée. SYNTHESE Posonsa k (x 0) Q(x 0 ), alors par l H.R.,F a k pôle deg, et donc ce qui achève la récurrence. ( x 0 ) k F a x 0 ( x 0 ) k Q a a k x 0 ( x 0 ) k +G avecx 0 non a k ( x 0 ) k +G Remarque : cette démonstration est algorithmique(même si on verra des méthodes plus simples plus loin); on détermine a k (x 0) Q(x 0 ), puisf a k F ( x 0 ) k ; on simplifie par x 0 et on déterminea k. Remarque 2 : si F, alors G polynôme Q ; en effet, ( x 0 ) k G polynôme polynôme Q Q ( x 0 ) k Q G polynôme ( x 0 ) k Q, mais commex 0 n est pas pôle deg, il y a simplification par( x 0 ) k. TH2 : toute fraction rationnelle est somme de ses parties polaires et d une fraction rationnelle sans pôle ; cette écriture s appelle la décomposition de F en éléments simples de première espèce. Plus précisément, sif avecqsans racine dansk, alors ( x ) α...( x p ) αp Q donc D0 F F F p + Q oùf i est la partie polaire def relative àx i COROLLIRE: toute fraction rationnelle de dénominateur scindé est la somme de ses parties polaires et de sa partie entière. D 3) Calcul direct du résidu d ordre maximum. On sait que sif ( x 0 ) k Q a a k x 0 ( x 0 ) k +G alorsa k ; ceci nécessite la connaissance du polynômeq, qui n est parfois pas simple à obtenir ; mais la prop suivant permet de calculera k uniquement à partir de et : (x 0 ) PROP :a k k! (k) (x 0 ), et donc, en particulier six 0 est un pôle simple : a (x 0) (x 0 ) 3

4 D2 PPLICTIONS E5 )( x )...( x n ), G n.../ x k 2) surc, k n... 4) Décomposition en éléments simples de première et deuxième espèce dans R[]. TH : soitf une fraction rationnelle réelle irréductible dont le dénominateur est décomposé en produit de facteurs irréductibles : ( x ) α...( x p ) αp 2 β +u +v... 2 βq +u q +v q. lors on peut écrire, sous une unique forme : F E(F)+ a x b +c + 2 +u +v a α ( x ) α ap b β +c β ( 2 +u +v ) α a pαp x p ( x p ) αp bq +c q 2 +u q +v q b qβq +c qβq ( 2 +u q +v q ) αq Par exemple : ( 2) 3 ( 2 2 s écrit sous la forme : +2+2) III) MÉTHODES PRTIQUES DE DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES. mathematica part[f] N : fonction de décomposition en éléments simples : maple convert(f,parfrac,x). Cas du dénominateur scindé.. Simplifier la fraction. 2. Déterminer la partie entière par division euclidienne. 3. Écrire a priori la décomposition avec des coefficients indéterminés. 4. On peut toujours mettre au même dénominateur et égaler les coefficients des numérateurs (méthode Obélix, risques d erreurs) ; on obtient alors un système d équations linéaires à résoudre. a+d a + b 2 + c 3 + d + e 2a+b d+e 2 aboutit au système a 2b+c0 b 2c0 c Mais on peut souvent avoir plus rapide! 5. S il n y a qu un pôlex 0, tout exprimer en fonction dey x 0 ; la décomposition arrive toute seule. 2 + (Y +2) ( 2) Y 3... Y +... Y Y ( 2) 2 + ( 2) Les résidus d ordre maximum se calculent directement avec la formulea k (x 0) (x 0 ) k!. Q(x 0 ) (k) (x 0 ) (a) Si tous les pôles sont simples, c est fini. Exemples : (+)(+2)...(+n), n n, n+ n. (b) On peut retrancher les fractions obtenues de la fraction de départ, simplifier, et chercher les résidus précédents etc... (c est la méthode utilisée dans la démonstration) 4

5 7. Faire des valeurs particulières (non pôles) donne des relations, mais en général, seuls 0, et ne donnent pas des calculs inextricables. 2 (+) a 4+ :0 donne immédiatementa Si la fraction rationnelle est paire ou impaire, changer en et utiliser l unicité. Exemple E6 : ( 2 ) 2 a + b 2 + c + + d (+) 2 L imparité donne : Calcul deb(d oùd) :0 donne une relation déjà connue. Pour le dernier coeff à calculer, voir Si la fraction rationnelle est réelle et qu il y a des pôles complexes, conjuguer ; les résidus des pôles conjugués sont conjugués. ( 2 +) 2 a i + b ( i) 2 + c +i + d (+i) 2 La conjugaison donne : 0. La méthode qui sauve : s il reste encore q coefficients à calculer, multiplier par q et égaler les parties entières des deux membres. On obtient l égalité de deux polynômes de degréq, d oùq relations, et lesq coefficients restants. Exemples : terminer E6. E7 : a + b 2 + c 3 + d + e 2 (a) multiplier par multiplier par 3. et faire:0 donnec. (b) multiplier par 2 et faire: donnee2. (c) multiplier par 3. et prendre les parties entières des deux membres donne a b++d soit+2a 2 +b++d (+2) 0a+d d où b+d+2 2+d+4 Pour (c) on aurait aussi pu faire d abord: qui donnait une relation, puis multiplier par 2 et prendre les parties entières des deux membres. E8 : 2 (+3) 2 a + b 2 + c +3 + d (+3) 2 Calcul debetd :0 donne : Multiplier par donne : résultat : a...,b...,c...,d.... Un cas particulier à connaître. PROP (application directe des dérivées logarithmiques) : si P est scindé, P P aracine de P ordre(a) a 5