A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52"

Transcription

1 ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, SOLUTIONS CLASSIQUES. DIFFÉRENCES FINIES. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52

2 PLAN DU COURS 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 2 / 52

3 PETIT LEXIQUE. DÉFINITION Une équation aux dérivées partielles (EDP en abrégé) est une équation faisant intervenir une fonction inconnue de plusieurs variables ainsi que certaines de ses dérivées partielles. On appelle ordre d une EDP l ordre de la plus grande dérivée présente dans l équation. Une EDP est linéaire si l équation est linéaire par rapport aux dérivées partielles de la fonction inconnue. EXEMPLE L équation de Black-Scholes v(t, x) t est une EDP linéaire d ordre σ2 x 2 2 v(t, x) v(t, x) x 2 + rx rv(t, x) = 0, x A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 3 / 52

4 CLASSIFICATION SOMMAIRE. EDP d ordre 2, linéaire, à deux variables : DÉFINITION a 2 u x 2 + b 2 u x y + c 2 u y 2 + d u x + e u + fu = g. y L équation est elliptique si b 2 4ac < 0, parabolique si b 2 4ac = 0 et hyperbolique si b 2 4ac > 0. EXEMPLE L EDP de Black-Scholes ou l équation de la chaleur sont paraboliques. L équation de Laplace u = d i=1 2 u x 2 i = 0 sur un ouvert Ω R d, est elliptique. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 4 / 52

5 CONDITIONS AUX LIMITES. DÉFINITION On appelle problème aux limites une équation aux dérivées partielles munie de conditions aux limites sur la totalité de la frontière du domaine sur lequel elle est posée. DÉFINITION Le problème est bien posé si pour toute donnée (second membre, domaine, données au bord, etc.), il admet une solution unique et si cette solution dépend continuement de la donnée. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 5 / 52

6 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 6 / 52

7 NORMALE À UN OUVERT. Soit Ω ouvert de R n de classe C k, avec ρ C k (R d ), Ω = {x R n, ρ(x) < 0}, Ω = {x R n, ρ(x) = 0}, grad ρ(x) = ρ(x) 0 pour x Ω. DÉFINITION 1 La fonction ν : x Ω grad ρ(x) est appelée normale grad ρ(x) unitaire orientée vers l extérieur de Ω. DÉFINITION Si u C 1 ( Ω), on note u ν de Ω. = ν.grad u la dérivée normale de u le long A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 7 / 52

8 THÉORÈME DE GAUSS-GREEN. DONNÉES : Ω ouvert de R d de classe (au moins) C 1 ; ν = (ν 1,..., ν d ) : normale extérieure à Ω ; dσ : mesure superficielle du bord Ω. THÉORÈME DE GAUSS-GREEN Si f C 1 (Ω), alors FORMULE DE STOKES d divu(x)dx = Ω Ω i=1 Ω f (x)dx = (f ν i )(σ)dσ. x i Ω U i (x)dx = (U.ν)(σ)dσ. x i Ω A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 8 / 52

9 FORMULES DE GREEN. INTÉGRATION PAR PARTIES Si f et g sont dans C 1 (Ω), pour tout i {1,..., d} : f (x)g(x)dx = f (x) g (x)dx + f (σ)g(σ)ν i (σ)dσ. x i x i Ω Ω Ω A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 9 / 52

10 FORMULES DE GREEN. FORMULES DE GREEN 1 Si f C 2 (Ω) et g C 1 (Ω), on a : f f (x)g(x)dx = f (x). g(x)dx + Ω Ω Ω ν (σ)g(σ)dσ. 2 Si f et g sont dans C 2 (Ω), alors : f (x)g(x)dx = f (x) g(x)dx Ω Ω [ ] f g + (σ)g(σ) (σ)f (σ) dσ. ν ν Ω A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 9 / 52

11 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 10 / 52

12 DÉFINITIONS. ÉQUATION DE LAPLACE : u(x) = 0 pour tout x Ω R d. ÉQUATION DE POISSON : u(x) = f (x) pour tout x Ω. DÉFINITION Une fonction u de classe C 2 sur Ω satisfaisant l équation de Laplace est dite harmonique. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 11 / 52

13 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 12 / 52

14 SOLUTION INVARIANTE PAR ROTATION. DOMAINE : Ω = R d invariance par rotation, d où u(x) = v(r) avec r = x. LEMME u x i = v (r) x i r, 2 u x 2 i ( = v (r) x i 2 r 2 + v 1 (r) r x i 2 r 3 u = 0 v + d 1 v = 0. r { α ln(r) + β, d = 2; v(r) = α r d 2 + β, d 3; (α, β) R 2. ). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 13 / 52

15 SOLUTION FONDAMENTALE. DÉFINITION La fonction Φ(x) = 1 ln( x ), d = 2; 2π 1 1, d 3; d(d 2)κ(d) x d 2 pour x R d, x 0, est la solution fondamentale de l équation de Laplace. NOTATION κ(d) = πd/2 Γ( d 2 + 1) est le volume de la boule unité de Rd. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 14 / 52

16 ÉQUATION DE POISSON SUR R d. THÉORÈME Soit f Cc 2 (R d ). Alors u = Φ f : 1 ln( x y )f (y)dy, d = 2; 2π R 2 u(x) = 1 f (y) dy, d 3; d(d 2)κ(d) x y d 2 est correctement définie et vérifie : 1 u C 2 (R d ), 2 u = f sur R d. R 3 A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 15 / 52

17 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 16 / 52

18 PRINCIPE DU MAXIMUM, UNICITÉ. THÉORÈME Soit u C 2 (Ω) C(Ω) harmonique sur Ω ouvert borné. 1 Alors max u = max u. Ω Ω 2 De plus si Ω est connexe et s il existe x 0 Ω t.q. u(x 0 ) = max u, alors u est constante sur Ω. REMARQUE Avec u à la place de u, on a les mêmes assertions pour le min. Ω COROLLAIRE Si u C 2 (Ω) C(Ω) est harmonique sur Ω et vérifie u = g sur Ω avec g 0, u est strictement positive partout sur Ω pourvu que g soit strictement positive en au moins un point du bord. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 17 / 52

19 PRINCIPE DU MAXIMUM, UNICITÉ. THÉORÈME (UNICITÉ) Soit g C( Ω), f C(Ω). Alors il existe au plus une solution u C 2 (Ω) C(Ω) au problème suivant : u = f sur Ω, u = g sur Ω. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 17 / 52

20 RÉGULARISATION ET REPRÉSENTATION. THÉORÈME Si u C(Ω) est harmonique, alors u C (Ω). REMARQUE Attention : u n est pas nécessairement régulière, ni même continue sur le bord Ω. THÉORÈME Soit f Cc 2 (R d ) avec d 3. Toute solution bornée de u = f sur R d est de la forme u(x) = Φ(x y)f (y)dy + C, avec C constante. R d A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 18 / 52

21 FONCTION DE GREEN. HYPOTHÈSE : Ω est un ouvert borné de classe C 1. DÉFINITION Pour tout x Ω, Fonction correctrice : φ x solution de Φ x = 0 sur Ω, Fonction de Green de Ω : φ x = Φ(y x) sur Ω. G(x, y) = Φ(y x) φ x (y), (x, y) Ω 2, x y. PROPOSITION Pour tout (x, y) Ω 2, x y, G(x, y) = G(y, x). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 19 / 52

22 FONCTION DE GREEN. HYPOTHÈSE : Ω est un ouvert borné de classe C 1. THÉORÈME Si u C 2 (Ω) est solution de u = f sur Ω, alors pour tout x Ω : u(x) = Ω u = g sur Ω, g(σ) G (x, σ)dσ + f (y)g(x, y)dy. ν Ω A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 19 / 52

23 FONCTION DE GREEN POUR LE DEMI-ESPACE. DOMAINE : Ω = R d + = {x = (x 1,..., x d ) R d x d > 0}. NOYAU DE POISSON POUR R d + : K (x, y) = 2x d 1 dκ(d) x y d, x Rd +, y R d +. THÉORÈME Soit g C(R d 1 ) L (R d 1 ) et u définie par x R d +, u(x) = g(y)k (x, y)dy. Alors u C (R d +) L (R d +) et 1 u = 0 sur R d +, R d + 2 lim u(x) = g(x 0 ) pour tout x 0 R d +. x x 0,x R d + A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 20 / 52

24 FONCTION DE GREEN POUR UNE BOULE. DOMAINE : Ω = B(0, r) avec r > 0. NOYAU DE POISSON POUR B(0, r) : K (x, y) = r 2 x 2 dκ(d)r 1 x y d, x B(0, r), y B(0, r). THÉORÈME Soit g C( B(0, r)) et u définie par x B(0, r), u(x) = Alors u C (B(0, r)) et 1 u = 0 sur B(0, r), B(0,r) g(y)k (x, y)dy. 2 lim x x 0,x B(0,r) u(x) = g(x 0) pour tout x 0 B(0, r). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 21 / 52

25 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 22 / 52

26 DÉFINITION. ÉQUATION HOMOGÈNE : u t u = 0. ÉQUATION INHOMOGÈNE : u t u = f. DONNÉES initiales et de bord à préciser! f : R + Ω R, Ω R d ouvert. INCONNUE : u : R + Ω R. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 23 / 52

27 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 24 / 52

28 SOLUTION FONDAMENTALE. DÉFINITION La fonction Φ(t, x) = 1 exp (4πt) d/2 ) ( x 2 4t t > 0, x R d, 0 t < 0, x R d est appelée solution fondamentale de l équation de la chaleur (homogène). LEMME Pour tout t > 0, Φ(t, x)dx = 1. R d A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 25 / 52

29 PROBLÈME DE CAUCHY. À RÉSOUDRE : u t u = 0, t > 0, x Rd, et u(0,.) = g. THÉORÈME Soit g C(R d ) L (R d ). Soit u(t, x) = Φ(t,.) g = Φ(t, x y)g(y)dy, t > 0, x R d. R d Alors u C (R + R d ) et 1 u t (t, x) u(t, x) = 0 pour (t, x) ]0, + [ R d, 2 lim (t,x) (0,x 0 ),t>0 u(t, x) = g(x 0) pour x 0 R d. 3 Si g 0, avec g 0, alors pour tout t > 0 et tout x R d, u(t, x) > 0. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 26 / 52

30 PROBLÈME NON HOMOGÈNE. À RÉSOUDRE : u t u = f, t > 0, x Rd, u = 0 t = 0, x R d. THÉORÈME Soit f C 1,2 0 (R + R d ). Soit u(t, x) = t Alors u C 1,2 (R + R d ) et 0 R d Φ(t s, x y)f (s, y)dsdy, t > 0, x R d. 1 u t (t, x) u(t, x) = f (t, x) pour (t, x) ]0, + [ R d, 2 lim (t,x) (0,x 0 ),t>0 u(t, x) = 0 pour tout x 0 R d. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 27 / 52

31 PROBLÈME NON HOMOGÈNE. PROPOSITION EN COMBINANT LES DEUX THÉORÈMES : t u(t, x) = est solution de R d Φ(t, x y)g(y)dy + u t u = f, t > 0, x Rd, u = g t = 0, x R d. 0 R d Φ(t s, x y)f (s, y)dsdy A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 27 / 52

32 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 28 / 52

33 PRINCIPE DU MAXIMUM, UNICITÉ. DÉFINITION Soit Ω ouvert borné de R d et T > 0. Cylindre parabolique : Ω T =]0, T ] Ω. Bord parabolique de Ω T : Γ T = Ω T \ Ω T = {0} Ω [0, T ] Ω. THÉORÈME Soit u C 1,2 (Ω T ) C(Ω T ) solution de l équation de la chaleur sur Ω T. 1 Alors max u = max u. Ω T Γ T 2 Si Ω est connexe et s il existe (t 0, x 0 ) Ω T t.q. u(t 0, x 0 ) = max Ω T u, alors u est constante sur Ω t0. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 29 / 52

34 PRINCIPE DU MAXIMUM, UNICITÉ. DÉFINITION Soit Ω ouvert borné de R d et T > 0. Cylindre parabolique : Ω T =]0, T ] Ω. Bord parabolique de Ω T : Γ T = Ω T \ Ω T = {0} Ω [0, T ] Ω. THÉORÈME Soit g C(Γ T ) et f C(Ω T ). Il existe au plus une solution u C 1,2 (Ω T ) C(Ω T ) au problème : u t u = f dans Ω T, u = g sur Γ T. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 29 / 52

35 PROBLÈME DE CAUCHY. THÉORÈME (PRINCIPE DU MAXIMUM) Soit u C 1,2 (]0, T ] R d ) C([0, T ] R d ) solution de u t u = 0 sur ]0, T [ R d, u = g sur {0} R d, et satisfaisant u(t, x) Ae a x 2 (avec A, a constantes). Alors sup u = sup g. [0,T ] R d R d A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 30 / 52

36 PROBLÈME DE CAUCHY. THÉORÈME (UNICITÉ) Soit g C(R d ) et f C([0, T ] R d ). Il existe au plus une solution u C 1,2 (]0, T ] R d ) C([0, T ] R d ) au problème : u t u = f sur ]0, T [ R d, u = g sur {0} R d, satisfaisant u(t, x) Ae a x 2 (avec A, a constantes). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 30 / 52

37 REMARQUES. REMARQUE SUR LES BORNES Il existe une infinité de solutions pour u t u = 0 sur ]0, T [ R d, u = 0 sur {0} R d, THÉORÈME (RÉGULARITÉ) Si u C 1,2 (Ω T ) satisfait l équation de la chaleur sur Ω T, alors u C (Ω T ). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 31 / 52

38 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 32 / 52

39 PRINCIPALES MÉTHODES DE DISCRÉTISATION. DIFFÉRENCES FINIES (ou volumes finis) : discrétisation du domaine Ω et remplacement de l opérateur différentiel par un quotient différentiel. ÉLÉMENTS FINIS : trés liée à la formulation variationnelle des EDP. Principe : remplacer un espace de Hilbert H par un sous-espace de dimension finie H N. MÉTHODES SPECTRALES : chercher une solution approchée sous forme d un développement sur une certaine famille de fonctions (Fourier, polynômes, splines, etc.) : u = N α i (u)p i, i=1 (voir exercices de TD). Méthodes souvent coûteuses, mais précises. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 33 / 52

40 PRINCIPE. DÉRIVÉE : du u(x + h) u(x) (x) = lim dx h 0 h u(x + h) u(x), si h est assez petit. h LEMME (EN EXERCICE) Si u est de classe C 2 au voisinage de x, alors ( du u(x + h) u(x) (x) dx h sup y [x,x+h 0 [ ) u (y) h. 2 DÉFINITION Une approximation est consistante d ordre p s il existe une constante C positive indépendante de h, t.q. cette erreur soit majorée par Ch p. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 34 / 52

41 PRINCIPE. DÉRIVÉE : du u(x + h) u(x h) (x) = lim dx h 0 2h u(x + h) u(x h). 2h LEMME (EN EXERCICE) Si u est de classe C 3 au voisinage de x, alors ( du u(x + h) u(x h) (x) dx 2h sup y ]x h 0,x+h 0 [ ) u (3) (y) h 2. 6 A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 34 / 52

42 PRINCIPE. DÉRIVÉE D ORDRE 2 : PROPOSITION Si u est de classe C 4 au voisinage de x, alors d 2 ( u u(x + h) 2u(x) + u(x h) (x) dx 2 h 2 sup y [x,x+h 0 [ ) u (4) (y) h 2. 2 A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 34 / 52

43 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 35 / 52

44 PROBLÈME. Soit u : [0, 1] R solution de d 2 u (x) + c(x)u(x) = f (x) pour 0 < x < 1, dx 2 u(0) = g 0, u(1) = g 1. HYPOTHÈSES : f C([0, 1]), c C([0, 1]), c 0. RÉSULTAT : il existe une unique solution u C 2 ([0, 1]). Mais pas de forme explicite de la solution si c 0. DISCRÉTISATION DU DOMAINE : pour tout entier N, x 0 = 0 < x 1 <... < x N < x N+1 = 1. DISCRÉTISATION RÉGULIÈRE : x i = ih avec h = 1/(N + 1) et i = 0,..., N + 1. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 36 / 52

45 SCHÉMA DE DIFFÉRENCES FINIES. BUT : chercher en tout point x i une valeur u i t.q. u i u(x i ). Donc u 0 = g 0, u N+1 = g 1, U = (u 1,..., u N ) R N. APPROXIMATION : en chacun des sommets internes x i : d 2 u dx 2 (x i) + c(x i )u(x i ) = f (x i ); u(x i + h) 2u(x i ) + u(x i h) h 2 + c(x i )u(x i ) f (x i ); u i+1 2u i + u i 1 h 2 + c(x i )u i f (x i ), i {1,..., N}. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 37 / 52

46 ÉCRITURE MATRICIELLE. A h U = b h, avec A h R N N et b h R N : c(x A h = ) h c(x 2 ) c(x N ) b h = f (x 1 ) + g 0 h 2 f (x 2 ). f (x N 1 ) f (x N ) + g 1 h 2 ATTENTION AUX BORDS! A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 38 / 52

47 PROPRIÉTÉS DE A h. PROPOSITION Si c 0, A h est symétrique et définie positive. CONSÉQUENCE : U existe et est unique. INÉGALITÉ DE STABILITÉ Si c 0, (A h ) A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 39 / 52

48 ERREUR DE CONSISTANCE. DÉFINITION On appelle erreur de consistance du schéma la quantité obtenue en remplaçant l inconnue par la solution exacte dans le schéma numérique : ε h (u) = A h π h (u) b h, π h (u) = Le schéma est consistant si lim h 0 ε h (u) = 0. u(x 1 ). u(x N ). Le schéma est consistant d ordre p s il existe C > 0 et h 0 > 0 t.q. pour tout 0 < h < h 0, ε h (u) Ch p. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 40 / 52

49 ERREUR DE CONSISTANCE. PROPOSITION Supposons la solution u de classe C 4 sur [0, 1]. Alors le schéma est consistant d ordre 2 pour la norme infinie : ε h (u) h2 12 sup u (4) (y). y [0,1] A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 41 / 52

50 CONVERGENCE DU SCHÉMA. THÉORÈME Soit u : [0, 1] R solution exacte de d 2 u (x) + c(x)u(x) = f (x) pour 0 < x < 1, dx 2 u(0) = g 0, u(1) = g 1. On suppose u C 4 ([0, 1]). Soit U R N la solution du schéma. Alors l erreur de discrétisation, i.e. la différence π h (u) U, vérifie : π h (u) U h2 96 sup u (4) (y). y [0,1] REPOSE SUR π h (u) U = (A h ) 1 ε h (u). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 42 / 52

51 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 43 / 52

52 UN PROBLÈME DE GÉOMÉTRIQUE. Problème de Laplace inhomogène : u(x) = f (x) pour x Ω, u = 0 sur Ω. DISCRÉTISATION : points alignés dans les directions x et y. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 44 / 52

53 APPROXIMATION. EN UN POINT RÉGULIER : u(p 1 ) u(p 2) + u(p 3 ) 2u(P 1 ) h u(p 5) + u(p 4 ) 2u(P 1 ) h2 2. Si u de classe C 4, approximation d ordre 2. EXEMPLE : si Ω est un rectangle, tous les points sont réguliers. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 45 / 52

54 APPROXIMATION. EN UN POINT SINGULIER : CORRECTION : 2 u x 2 (P 1) + O(h) = αu( P 2 ) + βu( P 1 ) + γu(p 3 ). Formule de Taylor : α + β + γ = 0, αh + γh = 0, αh 2 /2 + γh 2 /2 = 1. Erreur de consistance en O(h) et matrice du système linéaire non symétrique. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 45 / 52

55 PLAN 1 FORMULES DE GREEN 2 ÉQUATION DE LAPLACE Domaine R d tout entier Domaine borné 3 ÉQUATION DE LA CHALEUR Domaine R d tout entier Domaine borné 4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Étude d un exemple en dimension 1 Remarques en dimension supérieure à 2 Équation de la chaleur A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 46 / 52

56 SCHÉMAS D EULER POUR EDO. À résoudre EDO : u = f (u) sur ]0, 1[ avec u(0) = u 0. SCHÉMAS D EULER : EXPLICITE : u (x) u(x + h) u(x), d où h u(x + h) = u(x) + hf (u(x)). IMPLICITE : u (x) u(x) u(x h), d où h u(x + h) hf (u(x + h)) = u(x) u(x + h) = (Id hf ) 1 (u(x)). θ-schéma (θ [0, 1]) : u(x + h) (1 θ)hf (u(x + h)) = u(x) + θhf (u(x)). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 47 / 52

57 ÉQUATION DE LA CHALEUR. Soit u solution de u t (t, x) 2 u (t, x) = 0 pour x ]0, 1[, t ]0, T [ x 2 u(0, x) = u 0 (x) x ]0, 1[, u(t, 0) = u(t, 1) = 0 pour t ]0, T [. THÉORÈME Si u 0 C(]0, 1[), il existe une unique solution u C 2 (]0, T [ ]0, 1[) C([0, T ] [0, 1]). De plus u C (]0, T [ ]0, 1[). Si u 0 0, u(t,.) 0 pour tout t 0. Si u L (]0, 1[), alors u L (]0, T [ ]0, 1[) et u u 0. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 48 / 52

58 DISCRÉTISATION PAR EULER EXPLICITE EN TEMPS. DISCRÉTISATION : [0, T ] divisé en t n = nk, n = 0,..., M, pas k = T /M, [0, 1] divisé en x i = ih, i = 0,..., N + 1, pas h = 1/(N + 1). En chaque point (t n, x i ) : u t (t n, x i ) u(t n+1, x i ) u(t n, x i ) k 2 u x 2 (t n, x i ) 2u(t n, x i ) u(t n, x i+1 ) u(t n, x i 1 ) h 2. APPROXIMATION u (n) i de u(t n, x i ), i = 1,..., N et n = 1,..., M. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 49 / 52

59 DISCRÉTISATION PAR EULER EXPLICITE EN TEMPS. DISCRÉTISATION : [0, T ] divisé en t n = nk, n = 0,..., M, pas k = T /M, [0, 1] divisé en x i = ih, i = 0,..., N + 1, pas h = 1/(N + 1). SCHÉMA : pour tout i = 1,..., N et tout n = 1,..., M u (n+1) i u (n) i + 2u(n) i u (n) i+1 u(n) i 1 k h 2 (t, x) = 0, u (0) i = u 0 (x i ), u (n) 0 = u (n) N+1 = 0. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 49 / 52

60 DISCRÉTISATION PAR EULER EXPLICITE EN TEMPS. DISCRÉTISATION : [0, T ] divisé en t n = nk, n = 0,..., M, pas k = T /M, [0, 1] divisé en x i = ih, i = 0,..., N + 1, pas h = 1/(N + 1). SCHÉMA EXPLCITE car u (n+1) i u (n+1) i = u (n) i explicite en fonction de (u (n) i ) i=1,...,n : k h 2 (2u(n) i u (n) i 1 u(n) i+1 ). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 49 / 52

61 PROPRIÉTÉS. PROPOSITION Le schéma est consistant d ordre 1 en temps et d ordre 2 en espace : u t (t n, x i ) u(t n+1, x i ) u(t n, x i ) k Ck, u 2 x 2 (t n, x i ) 2u(t n, x i ) u(t n, x i+1 ) u(t n, x i 1 ) h 2 Ch2. DÉFINITION Un schéma est L -stable si la solution approchée est bornée dans L indépendamment du pas du maillage. PROPOSITION Si k h 2 1/2, alors le schéma est stable : sup i,n u (n) i u 0. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 50 / 52

62 PROPRIÉTÉS. THÉORÈME Si la condition de stabilité est satisfaite, alors il existe C 0 t.q. pour tout n = 1,..., M : sup u(t n, x i ) u (n) sup u(0, x i ) u (0) + TC(k + h 2 ). i=1,...,n i i=1,...,n i A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 50 / 52

63 ÉCRITURE MATRICIELLE. NOTATIONS : λ = k/h 2. Pour n = 1,..., M, U n = (u (n) i ) i=1,...,n. U 0 = (u 0 (x i )) i=1,...,n. SYSTÈME LINÉAIRE : U n = AU n 1 avec 1 2λ λ λ 1 2λ λ 0. A = λ 2 λ λ 1 2λ REMARQUE : attention aux conditions de bord en x = 0 et x = 1. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 51 / 52

64 θ-schémas. Pour θ [0, 1] u (n+1) i u (n) i k = 1 θ ( ) h 2 2u (n) i + u (n) i+1 + u(n) i 1 + θ ( h 2 2u (n+1) i + u (n+1) i+1 + u (n+1) i 1 ). PROPRIÉTÉS. Euler implicite si θ = 1, Crank-Nicholson si θ = 1/2. D ordre 2 en espace. D ordre 2 en temps si θ = 1/2, d ordre 1 sinon. Inconditionnellement stable si θ 1/2. Sinon stable si k h 2 1 2(1 2θ). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 52 / 52

ESPACES DE SOBOLEV, FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP.

ESPACES DE SOBOLEV, FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP. ESPACES DE SOBOLEV, FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 1 / 42 PLAN DU COURS 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV

Plus en détail

Equations Différentielles Ordinaires. Théorie et Approximation Numérique. 13 mars 2016

Equations Différentielles Ordinaires. Théorie et Approximation Numérique. 13 mars 2016 Equations Différentielles Ordinaires. Théorie et Approximation Numérique 13 mars 2016 Plan Général EDO Réduction d ordre - Problème de Cauchy Exemples de problèmes différentiels Problème de Cauchy EDO

Plus en détail

Equations Paraboliques

Equations Paraboliques Chapitre 3 Equations Paraboliques Nous allons nous intéresser dans ce chapitre à des équations dont le modèle est l équation de la chaleur : 3.1 t 1 u x = 0 associée à la donnée initiale : dans 0,T 3.

Plus en détail

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. Patrick Joly INRIA-Rocquencourt Exemple: la conduction de la chaleur. Soit un domaine de R N (N =,, 3)

Plus en détail

1. Schéma d Euler direct On donne l équation différentielle suivante :

1. Schéma d Euler direct On donne l équation différentielle suivante : 1 Feuille n o 1 : Schémas à un pas pour les équations différentielles 1. Schéma d Euler direct On donne l équation différentielle suivante : y (x) = x x 3, y() = On calcule la valeur approchée yj h de

Plus en détail

Méthodes numériques de résolution d équations différentielles

Méthodes numériques de résolution d équations différentielles Méthodes numériques de résolution d équations différentielles Motivation. Quelques exemples de problèmes différentiels Modèle malthusien de croissance de population Modélisation de l évolution d une population

Plus en détail

Simulation numérique, contexte

Simulation numérique, contexte Introduction à la Simulation Numérique Jérémie Gressier Septembre 21 1 / 41 Plan 1 Présentation 2 Différences Finies 3 Intégration d un problème de Cauchy 4 Conclusion 2 / 41 Simulation numérique, contexte

Plus en détail

Méthodes numériques. Transport et diffusion G. ALLAIRE. Cours no. 5 le 11/I/2016. Différences finies en 1-d: rappels

Méthodes numériques. Transport et diffusion G. ALLAIRE. Cours no. 5 le 11/I/2016. Différences finies en 1-d: rappels 1 G. ALLAIRE Cours no. 5 le 11/I/2016 Méthodes numériques Différences finies en 1-d: rappels Equation de diffusion stationnaire Equation de transport Equation de transport stationnaire 2 (1) Rappels: différences

Plus en détail

Résolution pratique des équations aux dérivées partielles. David Manceau

Résolution pratique des équations aux dérivées partielles. David Manceau Résolution pratique des équations aux dérivées partielles David Manceau 2 TABLE DES MATIÈRES 3 Table des matières Introduction 7 1 Exemples classiques d e.d.p. 9 1.1 Modélisation, mise en équation........................

Plus en détail

COURS MA103. Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies.

COURS MA103. Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies. COURS MA103 Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies Patrick Joly 1 Equation aux dérivées partielles : équation dont l inconnue est

Plus en détail

Méthode de volumes finis pour l équation de Poisson : construction et analyse fonctionnelle discrète

Méthode de volumes finis pour l équation de Poisson : construction et analyse fonctionnelle discrète Construction du schéma discret Méthode de volumes finis pour l équation de Poisson : construction et analyse fonctionnelle discrète Université Montpellier 2 28 Avril 2011 Sommaire Construction du schéma

Plus en détail

Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de von Neumann

Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de von Neumann Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de von Neumann I- Schémas d Euler explicite/implicite pour l équation de la chaleur, étude de stabilité en " (µ > 0) u 0 à support compact " [#R,R],

Plus en détail

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Université Lyon Année 03-04 Master Mathématiques Générales ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Feuille 4. Intégration Notations n N λ n est la mesure de Lebesgue dans R n.

Plus en détail

Analyse Numérique CP2. ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc

Analyse Numérique CP2. ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc Analyse Numérique CP2 ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc Méthodes numériques pour la résolution d équations différentielles ENSA, Mai 2015 CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique

Plus en détail

Discrétisation des équations. de Stokes et de Navier-Stokes. en formulation tourbillon-vitesse-pression. Christine Bernardi

Discrétisation des équations. de Stokes et de Navier-Stokes. en formulation tourbillon-vitesse-pression. Christine Bernardi Discrétisation des équations de Stokes et de Navier-Stokes en formulation tourbillon-vitesse-pression Christine Bernardi Laboratoire Jacques-Louis Lions C.N.R.S. et Université Pierre et Marie Curie Travail

Plus en détail

La méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis Chapitre 6 La méthode des éléments finis 6.1 Introduction La méthode des éléments finis est actuellement la méthode la plus utilisée pour la résolution de problèmes aux limites. Elle découle directement

Plus en détail

TD9. ENS Cachan M1 Hadamard Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites

TD9. ENS Cachan M1 Hadamard Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M1 Hadamard 2016-2017 TD9 Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites Soient E,F deux espaces de Banach. On note B la boule unité fermée de

Plus en détail

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Université Lyon 1 Année 213-214 Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Feuille 7 - Équations de transport I- Solutions classiques Exercice 1.

Plus en détail

La méthode des différences finies

La méthode des différences finies Chapitre 3 La méthode des différences finies Dans ce chapitre, on s intéresse à la résolution de l équation de la chaleur, avec Ω = [0, 1], et conditions aux bords de Dirichlet : 3.1 Schéma explicite et

Plus en détail

Outil d analyse fonctionnelle

Outil d analyse fonctionnelle Outil d analyse fonctionnelle David Renard 1 novembre 2016 ÉCOLE POLYTECHNIQUE David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre 2016 1 / 17 Révisions ÉCOLE POLYTECHNIQUE David Renard Outil d analyse

Plus en détail

SCHÉMAS D INTÉGRATION TEMPORELLE POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

SCHÉMAS D INTÉGRATION TEMPORELLE POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE SCHÉMAS D INTÉGRATION TEMPORELLE POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech 28 septembre 2015 Plan du cours 1 Motivations 2 θ-méthode 3 Stabilité

Plus en détail

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Mathématiques 2 1 Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Question 1 Un circuit électrique : exemple de système non linéaire Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant

Plus en détail

Alexandre Popier. ENSAI, Bruz. apopier. Janvier-Mars 2011

Alexandre Popier. ENSAI, Bruz.  apopier. Janvier-Mars 2011 CHAÎNES DE MARKOV. Alexandre Popier ENSAI, Bruz apopier@univ-lemans.fr http://www.univ-lemans.fr/ apopier Janvier-Mars 2011 A. Popier (ENSAI) Chaînes de Markov. Janvier-Mars 2011 1 / 51 PLAN 1 INTRODUCTION

Plus en détail

EXERCICES D ANALYSE ET METHODES NUMERIQUES GR-EA

EXERCICES D ANALYSE ET METHODES NUMERIQUES GR-EA EXERCICES D ANALYSE ET METHODES NUMERIQUES 01-013 s.achakir 0.1 INTERPOLATION I- Interpolation On donne x 0 = 1 et h = 1 4 et x i = x 0 + ih pour i=0,1,. et y 0 = 1, y 1 = 1, y = 3. (a) Déterminer le polynôme

Plus en détail

Exercices Corrigés - Analyse numérique et optimisation Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

Exercices Corrigés - Analyse numérique et optimisation Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique Exercices Corrigés - Analyse numérique et optimisation Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. Allaire, S. Gaubert, O. Pantz Ecole Polytechnique MAP 431 7 janvier

Plus en détail

Université Paris Dauphine DUMI2E 2e année. Calcul différentiel et optimisation I. Sujets d examen François BOLLEY

Université Paris Dauphine DUMI2E 2e année. Calcul différentiel et optimisation I. Sujets d examen François BOLLEY Université Paris Dauphine DUMI2E 2e année Calcul différentiel et optimisation I Sujets d examen 2006-2007 François BOLLEY Université Paris Dauphine DUMI2E 2e année Calcul différentiel Contrôle continu

Plus en détail

Résumé du cours d Analyse Numérique du Professeur Marco Picasso

Résumé du cours d Analyse Numérique du Professeur Marco Picasso Résumé du cours d Analyse Numérique du Professeur Marco Picasso jean-eloi.lombard@epfl.c 19 juillet 2007 Table des matières 1 Problèmes d interpolation 3 2 Dérivation Numérique 3 2.1 Dérivées numériques

Plus en détail

Épreuve d analyse numérique

Épreuve d analyse numérique Épreuve d analyse numérique Projections convexes, décomposition, et algorithme de projections alternées Dans tout ce sujet, on se place dans un espace de Hilbert : H désigne un espace vectoriel réel complet

Plus en détail

Chapitre Eléments finis en dimension N 2

Chapitre Eléments finis en dimension N 2 1 Chapitre 6 6.3 Eléments finis en dimension N 2 Plan du cours: 6.3.1 Eléments finis triangulaires (de Lagrange) 6.3.2 Convergence et estimation d erreur 6.3.3 Eléments finis rectangulaires (de Lagrange)

Plus en détail

Exercices Corrigés - Analyse numérique et optimisation Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

Exercices Corrigés - Analyse numérique et optimisation Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique Exercices Corrigés - Analyse numérique et optimisation Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. Allaire, S. Gaubert, O. Pantz Ecole Polytechnique MAP 431 4 octobre

Plus en détail

Convergence : vitesse et accélération

Convergence : vitesse et accélération 1 Convergence : vitesse et accélération 1. Rapidité de convergence. a) Introduction. Daniel PERRIN Soit (u n ) n N une suite de nombres réels qui converge vers a. On cherche à préciser la rapidité de convergence

Plus en détail

Fonctions réelles de deux variables. () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50

Fonctions réelles de deux variables. () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50 Fonctions réelles de deux variables () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50 1 Fonctions de deux variables réelles à valeurs dans R 2 Calcul différentiel 3 Extrema d une fonction de deux variables

Plus en détail

Université Paris-Dauphine Ceremade. Introduction aux méthodes particulaires. François BOLLEY

Université Paris-Dauphine Ceremade. Introduction aux méthodes particulaires. François BOLLEY Université Paris-Dauphine Ceremade o Introduction aux méthodes particulaires o François BOLLEY I - Les équations d Euler incompressibles : modèle macroscopique, particules déterministes II - L équation

Plus en détail

Mouvement brownien et bruit blanc

Mouvement brownien et bruit blanc 12 Novembre 2008 Plan Motivations et définitions Construction du mouvement brownien Propriété des trajectoires Propriété de Markov Plan Motivations et définitions Construction du mouvement brownien Propriété

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Sommaire Sommaire I Applications continûment différentiables............... 2 I.1 Applications coordonnées......................... 2 I.2 Applications partielles........................... 2 I.3 Continuité..................................

Plus en détail

Distributions, analyse de Fourier, EDP. Cours no. 5 le 1/XII/2009

Distributions, analyse de Fourier, EDP. Cours no. 5 le 1/XII/2009 Distributions, analyse de Fourier, EDP Cours no. 5 le 1/XII/2009 Distributions à support singleton (pp. 123-125) Soient Ω ouvert de R N, une distribution T D (Ω) et x 0 Ω Théorème. Si supp(t ) {x 0 },

Plus en détail

Différences finies et analyse numérique matricielle : cours d harmonisation en IMAFA

Différences finies et analyse numérique matricielle : cours d harmonisation en IMAFA Différences finies et analyse numérique matricielle : cours d harmonisation en IMAFA Nicolas Champagnat 15 octobre 2010 Table des matières 1 Introduction 3 11 EDP : exemples et rappels 3 111 Quelques exemples

Plus en détail

A. Popier (Le Mans) Processus de Lévy. Octobre / 38

A. Popier (Le Mans) Processus de Lévy. Octobre / 38 PROCESSUS DE LÉVY. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans Octobre 2010 A. Popier (Le Mans) Processus de Lévy. Octobre 2010 1 / 38 PLAN DU COURS 1 PROCESSUS DE LÉVY À ACTIVITÉ FINIE. Mouvement brownien

Plus en détail

2. Equations de Poisson et Laplace: rappels 2.1. Les équations de Poisson et de Laplace. L équation de Poisson s écrit en dimension n comme suit:

2. Equations de Poisson et Laplace: rappels 2.1. Les équations de Poisson et de Laplace. L équation de Poisson s écrit en dimension n comme suit: Schéma aux Di érences Finies: équation de Poisson-Laplace Introduction et plan Nous allons considérer l EDP de Poisson (ou encore de Laplace), et ce en une seule dimension d espace Nous allons apprendre

Plus en détail

Méthodes variationnelles appliquées à la modélisation

Méthodes variationnelles appliquées à la modélisation Méthodes variationnelles appliquées à la modélisation Emmanuel Maitre et Clément Jourdana ENSIMAG 2A / MSIAM1 http://www-ljk.imag.fr/membres/emmanuel.maitre/doku.php?id= introef 1. Introduction : des différences

Plus en détail

Chap. 6 : Problèmes de Sturm-Liouville

Chap. 6 : Problèmes de Sturm-Liouville Chap. 6 : Problèmes de Sturm-Liouville Jean-Philippe Lessard Dépt. de mathématiques et de statistique Université Laval, Québec, Canada 4 novembre 2014 Introduction Espaces de fonctions et produits scalaires

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles

Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles 1 Problème de Cauchy Cadre : I intervalle ouvert de R, Ω ouvert connexe d un espace de Banach E, f application

Plus en détail

RÉSOLUTION APPROCHÉE D ÉQUATIONS

RÉSOLUTION APPROCHÉE D ÉQUATIONS D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Objectifs A la fin de la séquence d enseignement l élève doit pouvoir résoudre un problème dynamique à une dimension, linéaire ou non, conduisant à la résolution approchée d

Plus en détail

Rappel de calcul différentiel

Rappel de calcul différentiel Calcul différentiel et géométrie Année 008-009 ENS Cachan Vincent Beck Différentiabilité. Rappel de calcul différentiel Exercice 1 Exemples et contre-exemples. a) Étudier suivant les valeurs de α > 0,

Plus en détail

Convolution. R d. Définition 1.2. f g s appelle produit de convolution, ou simplement convolution, de f et g.

Convolution. R d. Définition 1.2. f g s appelle produit de convolution, ou simplement convolution, de f et g. Convolution 1 L algèbre de convolution L 1 (R d ) Théorème 1.1. Soient f, g L 1 (R d ). Pour presque tout x R d, y f(y)g(x y) est intégrable et la fonction (f g)(x) := f(y)g(x y)dy est elle-même intégrable

Plus en détail

Cours des Méthodes Numériques Appliquées Master I Energie Solaire- Département de Génie Mécanique. Discrétisation des EDP. Dr H.

Cours des Méthodes Numériques Appliquées Master I Energie Solaire- Département de Génie Mécanique. Discrétisation des EDP. Dr H. Cours des Méthodes Numériques Appliquées Master I Energie Solaire- Département de Génie Mécanique Discrétisation des EDP Dr H. Madani 1 Les trois familles des EDP Les différences finies: la méthode consiste

Plus en détail

Différentielle seconde, extremums.

Différentielle seconde, extremums. Différentielle seconde, extremums Exercice 1 Soit A une matrice de taille n n Pour tout x R n, on pose qx) = x, Ax Montrer que q est C et calculer son gradient et sa matrice hessienne Indication On remarquera

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel On parle parfois de dérivée partielle première.

Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel On parle parfois de dérivée partielle première. Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel 13-1 Sommaire 1 Fonctions R p R, Dérivées Premières 1 11 Application de classe C 1 sur U 1 12 Différentielle 2 13 Développement limité à l ordre 1

Plus en détail

CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE. Michèle Audin

CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE. Michèle Audin CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE 2012 2013 Michèle Audin 1. Espaces vectoriels normés Exercice 1.1 (Manhattan). Une ville est quadrillée par une famille

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Feuille d exercices n o 3

Feuille d exercices n o 3 L3 Variable complexe Feuille d exercices n o 3 Exercice 1. Soit P (z) = z 2 +az+b un polynôme de degré 2 à coefficients complexes, avec b. On note α et β les racines complexes de P, et on pose f(z) = 1/P

Plus en détail

Outil d analyse fonctionnelle

Outil d analyse fonctionnelle Outil d analyse fonctionnelle David Renard 24 octobre 2016 ÉCOLE POLYTECHNIQUE David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre 2016 1 / 25 Cours 3 : Espaces de Sobolev (suite) et problèmes elliptiques

Plus en détail

Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis

Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis F. Pigeonneau Surface du Verre et Interfaces, UMR 125 CNRS/Saint-Gobain, France Plan 1. Introduction 2. Quelques équations

Plus en détail

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2 Université Chouaib Doukkali Faculté des Sciences Département de Mathématiques El Jadida A. Lesfari lesfariahmed@yahoo.fr http://lesfari.com EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS Eercice. Soit ϕ : R R définie

Plus en détail

MASTER M2 E.D.P. ET ANALYSE NUMERIQUE UNIVERSITE PARIS 6 - ECOLE POLYTECHNIQUE Cours de G. Allaire, Homogénéisation 13 Janvier 2011 (3 heures)

MASTER M2 E.D.P. ET ANALYSE NUMERIQUE UNIVERSITE PARIS 6 - ECOLE POLYTECHNIQUE Cours de G. Allaire, Homogénéisation 13 Janvier 2011 (3 heures) MASTER M2 E.D.P. ET ANALYSE NUMERIQUE UNIVERSITE PARIS 6 - ECOLE POLYTECHNIQUE Cours de G. Allaire, Homogénéisation 13 Janvier 2011 (3 heures On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation

Plus en détail

L2 MATH MASS INFO 2009/2010 M43. Analyse. Numérique. Examen, rattrapage, partiel et contrôles continus

L2 MATH MASS INFO 2009/2010 M43. Analyse. Numérique. Examen, rattrapage, partiel et contrôles continus L MATH MASS INFO 009/00 Gloria FACCANONI M4 Analyse Numérique Examen, rattrapage, partiel et contrôles continus Table des matières Partiel d Analyse Numérique 5 Exercice ❶ : interpolation de Lagrange

Plus en détail

Transformation de Fourier. Convolution.

Transformation de Fourier. Convolution. Département de mathématiques Université D Orléans Préparation à l agrégation 22-23 Transformation de Fourier. Convolution. Voir [3],p.88 I Ensemble image de la transformation de Fourier Prouver que la

Plus en détail

Equations différentielles

Equations différentielles Chapitre 5 Equations différentielles Contenu 5.1 Introduction....................... 41 5.2 Définitions......................... 42 5.3 Equations différentielles spéciales.......... 42 5.3.1 Introduction.......................

Plus en détail

AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES

AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES Définition On appelle fonction affine par intervalles une fonction f définie et continue sur R pour laquelle il existe une subdivision a 1 < a 2 < < a n telle que

Plus en détail

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL Université de Metz Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL par Ralph Chill Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz Année 2010/11 1 Table des matières Chapitre

Plus en détail

Corrigé du Concours Blanc

Corrigé du Concours Blanc Corrigé du Concours Blanc Exercice : On considère la fonction f définie par : f(x = x + 2 2 ln(e x + et on note (C la courbe représentative de f dans un repère orthonorrnal.. Etude de la fonction f. a.

Plus en détail

Chapitre 3: Les espaces de Hilbert

Chapitre 3: Les espaces de Hilbert Université de Bourgogne Département de Mathématiques Licence de Mathématiques Compléments d analyse Chapitre 3: Les espaces de Hilbert 1. Produit scalaire et espaces de Hilbert Définition (Produit scalaire)

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2010 DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

CONCOURS COMMUN 2010 DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES CONCOURS COMMUN DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES PROBLÈME Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Corrigé ) Si a = b, = y et donc le support de Γ a,b est inclus dans la droite

Plus en détail

Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71. Rachid Regbaoui

Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71. Rachid Regbaoui Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71 Rachid Regbaoui 2 Chapitre 1 Rappels sur les suites et séries numériques 1.1 Suites numériques 1.1.1 Généralités Dans la suite K désignera le corps des réels

Plus en détail

Intégrales multiples. V. Borrelli. Intégrale simple de Riemann. Vincent Borrelli. Intégrale double. Université de Lyon.

Intégrales multiples. V. Borrelli. Intégrale simple de Riemann. Vincent Borrelli. Intégrale double. Université de Lyon. s triple s Vincent Borrelli Université de Lyon s Le programme triple Partie I : Fonctions (6 semaines) CM 1. Coordonnées, topologie CM 2. Fonction, graphe, composition CM 3. Limite, différentielle CM 4.

Plus en détail

Jean-François Coulombel. CNRS, Université Lille 1 Laboratoire Paul Painlevé (UMR CNRS 8524) Equipe projet SIMPAF - INRIA Lille Nord Europe

Jean-François Coulombel. CNRS, Université Lille 1 Laboratoire Paul Painlevé (UMR CNRS 8524) Equipe projet SIMPAF - INRIA Lille Nord Europe Stabilité des schémas numériques pour les problèmes aux limites hyperboliques Jean-François Coulombel CNRS, Université Lille 1 Laboratoire Paul Painlevé (UMR CNRS 8524) Equipe projet SIMPAF - INRIA Lille

Plus en détail

SUITES RÉELLES CHAPITRE 3. 1 Compléments sur les réels. 1.1 Rappels. Définition 3.1. Soient x et y deux réels. On note. x si x 0. x sinon.

SUITES RÉELLES CHAPITRE 3. 1 Compléments sur les réels. 1.1 Rappels. Définition 3.1. Soient x et y deux réels. On note. x si x 0. x sinon. CHAPITRE 3 SUITES RÉELLES 1 Compléments sur les réels 1.1 Rappels 1.1.a Définition 3.1 Valeur absolue Soient x et y deux réels. On note x max(x, y) = y si x y sinon x et min(x, y) = y si x y sinon On étend

Plus en détail

AMéthode de parallélisation en temps: Application aux méthodes de décomposition de domaine

AMéthode de parallélisation en temps: Application aux méthodes de décomposition de domaine 1/17 AMéthode de parallélisation en temps: Application aux méthodes de décomposition de domaine Rim Guetat sous la direction de M. Yvon Maday Laboratoire Jacques Lious Lions Université Pierre et Marie

Plus en détail

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot DÉRIVABILITÉ 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée 1.1 Définitions et premières propriétés Définition 1.1 Dérivabilité en un point Soient f : I R une application et a I. On dit que f est dérivable

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 2016-2017 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dérivabilité, dérivée, Eercice 1 [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de

Plus en détail

Equations différentielles

Equations différentielles Chapitre 4 Equations différentielles 4. Introduction On s intéresse ici à la résolution numérique d équations différentielles avec conditions initiales (ou problème de Cauchy) : { x (t) = f(x(t), t) t

Plus en détail

Interpolation. Chapitre Introduction

Interpolation. Chapitre Introduction Chapitre 4 Interpolation Dans ce chapitre, on s intéresse au problème suivant Étant donné une fonction continue, comment peut-on l approcher par un polynôme? Plus précisément, on se donne une fonction

Plus en détail

Chp. 6. Algorithmes de gradient

Chp. 6. Algorithmes de gradient Chp. 6. Algorithmes de gradient Avertissement! C 1 sur Ω. Dans tout ce chapître, Ω désigne un ouvert de IR n, et f une fonction de classe 6.1 Algorithme de gradient à pas fixe L algorithme du gradient

Plus en détail

Rappels de théorie des probabilités

Rappels de théorie des probabilités Rappels de théorie des probabilités 1. modèle probabiliste. 1.1. Univers, événements. Soit un ensemble non vide. Cet ensemble sera appelé l univers des possibles ou l ensemble des états du monde. Dans

Plus en détail

Intégrale dépendant d'un paramètre

Intégrale dépendant d'un paramètre ntégrale dépendant d'un paramètre Contents 1 Continuité d'une intégrale à paramètre 3 1.1 Théorème.......................................... 3 1.1.1 Enoncé....................................... 3 1.1.2

Plus en détail

Calcul Différentiel. Automne f(x) = ax + b.

Calcul Différentiel. Automne f(x) = ax + b. Calcul Différentiel Automne 2016 1 Dérivabilité des fonctions réelles Une application affine de R dans R est une application de la forme f(x) = ax + b. Son graphe est une droite : Idée : On veut approcher

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles Variables aléatoires réelles Table des matières 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 3 1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d événements................................. 3 1.2 σ-algèbre

Plus en détail

Calcul d écoulements par méthode Vortex

Calcul d écoulements par méthode Vortex Calcul d écoulements par méthode Vortex Jérémie Gressier mars 2007 1/42 incompressible Bilan de masse Bilan de quantité de mouvement div(ρv) = 0 V t + div(v V) = g 1 ( gradp + div ν ) gradv ρ si la viscosité

Plus en détail

Schéma d Euler explicite

Schéma d Euler explicite Schéma d Euler explicite Définition Étant donnés un pas de temps t et une suite d instants t n = t + n t n N, le schéma d Euler explicite associé à l équation différentielle du dt = ft, u, où f est une

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 203-204 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que

Plus en détail

Compte-Rendu de TP du module EDP 1. Résolution numérique de l équation de la chaleur en 2D

Compte-Rendu de TP du module EDP 1. Résolution numérique de l équation de la chaleur en 2D Compte-Rendu de TP du module EDP 1 Résolution numérique de l équation de la chaleur en 2D WALLACE Ranveig CATTOEN Céline GMM 4ème année, 2002-2003 1 Introduction Ce compte rendu présente les résultats

Plus en détail

Calcul Formel et Numérique

Calcul Formel et Numérique Cours de calcul numérique p. 1/55 Calcul Formel et Numérique INFO-F-205 Gianluca Bontempi C. Olsen, S. Ben Taieb Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours

Plus en détail

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle Maths PCSI Exercices Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle 1 Aspects locaux 1 + x 1 x si x 0 Exercice 1 Etudier la dérivabilité en 0 de x x 1 sinon Exercice 2 Dériver x 1 + 2 + x. Recommencer,

Plus en détail

Discrétisation temporelle, Méthodes de splitting

Discrétisation temporelle, Méthodes de splitting Discrétisation temporelle, Méthodes de splitting S. Descombes 2 T. Dumont 1 V. Louvet 1 M. Massot 3 1 Institut Camille Jordan - Université Claude Bernard Lyon 1 2 Laboratoire J.A. Dieudonné, Université

Plus en détail

Devoir surveillé 5 mathématiques

Devoir surveillé 5 mathématiques Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST 205-206 Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction

Plus en détail

Séries entières - Rayon de convergence - Propriétés de la somme

Séries entières - Rayon de convergence - Propriétés de la somme 1 Définition et premières propriétés 1.1 Notion de série entière Définition 1 On appelle série entière toute série d applications f n telle qu il existe une suite ( ) n N d éléments de C telle que : n

Plus en détail

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Corrigé en janvier 2009 Rapidité de convergence d une suite réelle L objectif de ce texte est de se donner des outils pour «mesurer» la rapidité

Plus en détail

Première épreuve écrite

Première épreuve écrite CAPES EXTERNE DE MATHÉMATIQUES SESSION 25 Première épreuve écrite Notations et objet du problème On désigne par : N l ensemble des entiers naturels ; Z l anneau des entiers relatifs ; Q le corps des nombres

Plus en détail

1.1 Introduction au traitement statistique des mesures

1.1 Introduction au traitement statistique des mesures 1 Chapitre 1 Estimateurs 1.1 Introduction au traitement statistique des mesures Les erreurs entraînent une dispersion des résultats lors de mesures répétées. Leur traitement statistique permet : de connaître

Plus en détail

Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1

Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1 Chapitre 3 Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1 Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonction f de plusieurs variables. L objectif est évidemment

Plus en détail

Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables:

Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables: Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables: N. Tsouli University Mohamed I Faculty of Sciences Department of Mathematics Oujda, Morocco. Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre

Plus en détail

Notes de Cours : Analyse Numérique

Notes de Cours : Analyse Numérique Notes de Cours : Analyse Numérique Jérôme Lohéac 26 avril 2015 LUNAM Université, IRCCyN UMR CNRS 6597 (Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes), École des Mines de Nantes, 4 rue

Plus en détail

J.F.C. F.N.P.V. p. 1 EXTREMUM. Dans ce cas le minimum de f sur D est f(a), c est le plus petit élément de f(d) et on le note : Min

J.F.C. F.N.P.V. p. 1 EXTREMUM. Dans ce cas le minimum de f sur D est f(a), c est le plus petit élément de f(d) et on le note : Min 19-3- 2010 J.F.C. F.N.P.V. p. 1 V EXTREMUM 1. Les définitions de base Il convient d avoir une parfaite connaissance des définitions qui suivent Déf. 37 f est une application d une partie D de R n dans

Plus en détail

Les équations aux dérivées partielles

Les équations aux dérivées partielles Didier Cassereau Laboratoire d Imagerie Biomédicale, UPMC CNRS INSERM, Paris, France ESPCI - Promotion 133 Généralisation du problème des équations différentielles plusieurs degrés de liberté en espace

Plus en détail

Stabilité numérique et conditionnement. Jocelyne Erhel. équipe FLUMINANCE, Inria Rennes et IRMAR, France

Stabilité numérique et conditionnement. Jocelyne Erhel. équipe FLUMINANCE, Inria Rennes et IRMAR, France Stabilité numérique et conditionnement Jocelyne Erhel équipe UMINANCE, Inria Rennes et IRMAR, France INSA, Mai 2016 1 / 34 Plan duction Stabilité numérique Conditionnement Méthodes d approximation 2 /

Plus en détail

Fonctions de deux variables

Fonctions de deux variables MTB - ch5 Page 1/19 Fonctions de deux variables I Topologie de R 2 On note R 2 l'ensemble des couples de nombres réels. On assimile R 2 au plan usuel muni d'un repère, en confondant un point géométrique

Plus en détail

Devoir Surveillé /Evaluation

Devoir Surveillé /Evaluation Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST Mathématiques 4-5 Devoir Surveillé /Evaluation Le 4 septembre 4 Documents écrits, électroniques, calculatrices et téléphones portables interdits La plus grande attention

Plus en détail

Stabilité des schémas numériques explicites en mécanique des fluides incompressibles.

Stabilité des schémas numériques explicites en mécanique des fluides incompressibles. Stabilité des schémas numériques explicites en mécanique des fluides incompressibles. Laboratoire de Mécanique, Modélisation & Procédés Propres Marseilles avec Dmitry Kolomenskiy dkolom@l3m.univ-mrs.fr

Plus en détail

métriques et introduction aux espaces topologiques

métriques et introduction aux espaces topologiques Chapitre 1 Généralités sur les espaces métriques et introduction aux espaces topologiques Les notations R, N, Z, Q, C sont comme d habitude. On utilisera les normes 1, 2, de R n. De même, on étudiera les

Plus en détail

Module Complémentaire Poursuites études

Module Complémentaire Poursuites études 1/39 Diagonalisation Suites numériques Series Intégrales curvilignes Intégrales de surface Module Complémentaire Poursuites études Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/

Plus en détail