Fonctions polynômes Définition et factorisation Exercices corrigés

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1 Fonctions polynômes Définition et factorisation Exercices corrigés Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Les fonctions numériques suivantes sont-elles des fonctions polynômes? Correction de l exercice 1 Rappel : On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) toute application de dans pour laquelle il existe des réels tels que : ( ) désignent les coefficients du polynôme et désigne son degré. (Remarque : Le degré d une fonction polynôme est fonction polynôme nulle.) si tous ses coefficients sont nuls. On parle alors de est de la forme avec est donc bien une fonction polynôme (de degré 4). Cette fonction est définie si et seulement si 1

2 est définie sur donc cette fonction n est pas une fonction polynôme. est en fait une fonction rationnelle car elle est le quotient de la fonction polynôme (de degré 4) par une autre fonction polynôme (de degré 1). est définie ssi n est pas définie sur (en effet, par exemple, n existe pas) donc cette fonction n est pas une fonction polynôme. est en fait la fonction composée de la fonction polynôme par la fonction racine carrée. Remarque : On peut montrer que est définie sur : Pour cela, il convient de poser, puis d étudier les racines et (telles que et ) du trinôme et enfin d étudier le signe du produit où et désignent les solutions de et où et désignent les solutions de. Autres remarques : L élève n ayant pas abordé les résolutions d équations du second degré à une inconnue avec calcul du discriminant peut utiliser la forme canonique du trinôme (après avoir posé ) et faire appel à l identité remarquable afin de factoriser et d en étudier subséquemment le signe. Par ailleurs, une autre méthode consistait à tracer la courbe représentative de la fonction et à remarquer que le signe de dépendait de. En l occurrence si et seulement si avec et (approximations suffisantes pour mener à bien cet exercice). est définie sur. Cette fonction est une fonction polynôme définie par intervalles car (d après la première remarque ci-dessus) : o Pour o Pour, Autrement dit, l intervalle. n est pas une fonction polynôme car les coefficients de cette fonction changent suivant 2

3 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Déterminer le coefficient réel tel que le polynôme défini par soit factorisable par le polynôme défini par. Correction de l exercice 2 Rappel : On appelle racine d une fonction polynôme tout réel tel que. Le réel est une racine de la fonction polynôme (de degré ) si, et seulement si, il existe une fonction polynôme de degré telle que. On dit aussi que est factorisable par. Soit le polynôme défini par. Ce polynôme de degré 2 est factorisable par le polynôme défini par dont la racine est si et seulement si. Or, est factorisable par si et seulement si. Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Déterminer, suivant les valeurs du paramètre réel, le degré de la fonction polynôme définie par : Correction de l exercice 3 Soit la fonction polynôme définie par : Pour tout réel, Pour que soit de degré 4, il faut en effet que soit non nul. 3

4 Par conséquent, Pour tout, est de degré 4. Pour, donc est de degré 3. Pour, donc est de degré 2. Exercice 4 (2 questions) Niveau : difficile 1- Déterminer une fonction polynôme de degré 3 telle que. 2- En déduire une expression de. Correction de l exercice 4 Rappel : Deux fonctions polynômes non nulles sont égales si et seulement si : elles ont le même degré ; les termes de même degré ont des coefficients égaux. 1- Déterminons une fonction polynôme de degré 3 telle que. Soit une fonction polynôme de degré 3. Alors, pour tout réel, avec,, et réels tels que. Pour tout réel, on a : Il en résulte que, pour tout réel : 4

5 On souhaite trouver une fonction polynôme de degré 3 telle que l on souhaite trouver une fonction définie par telle que :, c est-à-dire que Par identification des coefficients des termes de même degré, on obtient : s écrit aussi Il existe donc une infinité de fonctions polynômes de degré 3 qui satisfont. Convient toute fonction définie par : (avec ) 2- Déduisons de ce qui précède une expression de. Pour tout entier naturel non nul, Or, la première question a permis d établir qu il existe une fonction polynôme de degré 3 telle que donc que : C est-à-dire : En additionnant ces égalités membre à membre, on obtient : C est-à-dire : 5

6 Or, Et D où : Remarque : Il est possible de simplifier cette expression Comme est une racine évidente du trinôme, est factorisable par. Effectuons une division du polynôme par. On obtient :. D où : 6