Notes du Cours d Electrostatique

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1 Ecole Polytechniue de l Université de Nice - Sophia Antipolis CiP Notes du Cours d Electrostatiue Prof. Patrizia Vignolo Patrizia.Vignolo@inln.cnrs.fr Jean-François Schaff jean-francois.schaff@inln.cnrs.fr Sommaire : Analyse Vectorielle page Champ et potentiel électrostatiue page 5 Théorème de Gauss page 9 Conducteur en éuilibre page 3 Energie électrostatiue page 5

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3 Ecole Polytechniue de l Université de Nice-Sophia Antipolis Année 29/2 Cours N o d électrostatiue CiP Cours N o : Analyse Vectorielle Représentation d un point dans l espace On se placera toujours dans un repère orthonormé Oxyz de vecteurs unitaires e x, e y, e z. Selon la symétrie du problème, on choisira : les coordonnées cartésiennes (x,y,z) : r = OM = x e x + y e y + z e z d OM = dx e x + dy e y + dz e z x x z z e z e x e y H M(x,y,z) y y les coordonnées cylindriues (ρ,θ,z) : r = OM = ρ e ρ + z e z d OM = dρ e ρ + ρdθ e θ + dz e z x x z z e z θ H M( ρ, θ, z) e y e ρ θ y z z e r e ϕ les coordonnées sphériues :(r,θ,ϕ) r = OM = r e r d OM = dr e r + rdθ e θ + r sin θdϕ e ϕ x x θ ϕ M H e θ y e ϕ y 2 Vecteurs Rappel. Soient v et v 2 deux vecteurs avec composantes v = (v,x, v,y, v,z ) et v 2 = (v 2,x, v 2,y, v 2,z ), s un scalaire. Alors :

4 v = v,x e x + v,y e y + v,z e z, avec e x = (,, ), e y = (,, ) et e z = (,, ); s v = (sv,x, sv,y, sv,z ) R = v + v 2 = (v,x + v 2,x, v,y + v 2,y, v,z + v 2,z ); D = v v 2 = (v,x v 2,x, v,y v 2,y, v,z v 2,z ); S = v v 2 = v v 2 cosθ,2 = v,x v 2,x + v,y v 2,y + v,z v 2,z ; V = v v 2 = (v,y v 2,z v 2,y v,z, v,z v 2,x v 2,z v,x, v,x v 2,y v 2,x v,y ) avec V = v v 2 sin θ,2. Remarue. Un vecteur ui est indépendant du sens de l axe ui constitue son support est dit vecteur polaire. Un vecteur ui est déterminé par le sens de rotation autour de son axe-support est dit vecteur axial ou pseudo-vecteur. 3 Circulation d un vecteur Circulation élémentaire : dc = v. dl en coordonnées cartésiennes : dc = v x dx + v y dy + v z dz ; en coordonnées cylindriues : dc = v ρ dρ + v θ ρdθ + v z dz ; en coordonnées sphériues : dc = v r dr + v θ rdθ + v φ r sin θdφ. Circulation sur un chemin : C = AB v. dl Circulation sur un chemin fermé : C = v. dl Remarue. Si le vecteur v représente une force, la circulation n est autre ue le travail. 4 Flux d un vecteur On défini le flux élémentaire dφ d un vecteur v à travers une surface élémentaire ds : dφ = v ds = v NdS. () Si la surface est fermée, N est orienté de l intérieur vers l extérieur. Si la surface est ouverte (comme en figure), une fois orienté le contour (c) de la surface, N est défini par la règle du tire-bouchon. ds (c) N v 5 Angle solide L angle solide élémentaire dω, délimité par un cône coupant un élément de surface élémentaire ds situé à une distance r de son sommet O vaut dω = ds e r r 2, (2) r ds e r où ds est le vecteur de norme ds, normal à la surface ds. 2

5 6 Opérateurs vectoriels Gradient : gradf = f = f x e x + f y e y + f z e z Le gradient est un vecteur ui pointe vers les valeurs croissantes de f. Rappel : df = f d r. Divergence : div v = v = v x x + v y y + v z z Formule de Green-Ostrogradsky : Φ = Rotationnel : rot v = ( vz v = Formule de Stokes : S fermée v ds = τ ) ( vx e x + Le rotationnel mesure si un champ tourne localement. S v dτ (3) ) ( vy e y + x v ) x e z y y v y z z v z x C = v dl = ( v) ds (4) Laplacien : = 2 x y z 2 L opérateur Laplacien peut s appliuer à une fonction scalaire f = 2 f x f y f z 2 ou à un vecteur v = 2 v x v y v z 2. 7 Quelues relations vectorielles A ( B C) = B ( C A) = C ( A B) A B C = B( A C) C( A B) div( f) = f div( rot v) = rot( f) = rot( rot v) = (div v) v 3

6 7. Forme explicite des operateurs vectoriels Coordonnées cartesiennes f = f x e x + f y e y + f z e z v = v x x + v y y + v z z ( vz y v y z v = Coordonnées cylindriues ) e x + f = 2 f x f y f z 2 v = 2 v x + 2 v 2 y + 2 v 2 z 2 f = f ρ e ρ + f ρ θ e θ + f z e z v = ρ ρ (ρv ρ) + v θ ρ θ + v z z ( v z v = ρ θ v ) θ e ρ + z f = ( ρ f ) + 2 f ρ ρ ρ ρ 2 θ + 2 f 2 z 2 v = ( ρ v ) + 2 v ρ ρ ρ ρ 2 θ + 2 v 2 z 2 Coordonnées sphériues ( vx z v ) ( z vy e y + x x v ) x e z y ( vρ z v z ρ ) e θ + ( ρ ρ (ρv θ) v ) ρ e z θ f = f r e r + f r θ e θ + f r sin θ φ e φ v = r 2 r (r2 v r ) + r sin θ θ (sin θ v θ) + v φ r sin θ φ [ ( v = r sin θ θ (sin θ v φ) v )] [ θ v r e r + φ r sin θ φ ] r r (rv φ) e θ + ( r r (rv θ) v ) r e φ θ f = ( ) r 2 f + ( sin θ f ) + 2 f r 2 r r r 2 sin θ θ θ r 2 sin θ φ 2 v = ( r 2 v ) + ( sin θ v ) + 2 v r 2 r r r 2 sin θ θ θ r 2 sin θ φ 2 On remarue ue ( ) r 2 f = 2 r 2 r r r r 2(rf). 4

7 Ecole Polytechniue de l Université de Nice-Sophia Antipolis Année 29/2 Cours N o 2 d électrostatiue CiP Cours N o 2 : Champ et potentiel électrostatiue Charges électriues L électrostatiue est l étude des propriétés conférées à l espace ui entoure une charge électriue. La charge électriue dans le SI est mesurée en Coulomb (C). Toute charge est multiple de la charge élémentaire e, ui vaut : e =, 6. 9 C. Dans la suite on parlera de : charges ponctuelles (analogues aux points matériels en mécaniue) distributions continues de charges, définies par la densité de charge, ui peut être : linéiue, λ = d/dl ; surfaciue, σ = d/ds ; volumiue, ρ = d/dτ. 2 Loi de Coulomb La force de Coulomb est la force exercée par une charge au point M sur une charge au point M : F M (M ) = K u MM /r 2 (5) avec K = /4πǫ = 9. 9 N m 2 C 2. F (M ) M (M ) La force exercée par la charge au point M sur la charge au point M vérifie le principe d action-réaction : F M (M) = F M (M ). La force est répulsive si les charges sont de même signe (comme dans la figure), elle est attractive si les charges sont de signe contraire. F (M) M (M) 5

8 3 Champ et potentiel 3. Charge ponctuelle La présence d une charge au point M permet de définir au point M une propriété vectorielle, le champ électrostatiue E M (M ) = 4πε u MM /r 2, et une propriété scalaire, le potentiel électrostatiue V M (M ) = 4πε /r + cte. Le champ et le potentiel éléctrostatiues sont liés par la rélation : E M (M ) = V M (M ). 3.2 Système de charges En présence de plusieurs charges i, le champ éléctrostatiue est la somme des champs éléctrostatiues produits par chaue charge i : De même pour le potentiel électrostatiue : E(M ) = i u Mi M 4πε /r2 i. V (M ) = i /r i. 4πε En présence d une distribution de charges linéaire λ, le champ et le potentiel s écrivent : E(M ) = λdl 4πε AB r u B 2 PM dl V (M ) = P r λdl M AB 4πε r A En présence d une distribution de charges de surface σ, le champ et le potentiel s écrivent : E(M ) = 4πε σds r 2 u PM V (M ) = σds 4πε r En présence d une distribution de charges volumiue ρ, le champ et le potentiel s écrivent : E(M ) = ρdτ 4πε r u 2 PM dτ V (M ) = ρdτ P r M 4πε r i ds P i r M 6

9 4 Lignes de champ et surfaces éuipotentielles Les lignes de champ sont les courbes tangentes point par point au champ électriue. Les surfaces éuipotentielles V = const. sont définies par une circulation élémentaire du champ nulle. En effet : V = const. dv = gradv d l = E d l =. 5 Force et énergie potentielle électrostatiue Une charge dans un champ électriue E est soumise à une force F = E. Cette force est une force conservative car elle peut être écrite comme le gradient d une fonction scalaire : F = E p, où E p est l énergie potentielle électrostatiue ui est liée au potentiel électrostatiue par la relation E p = V. 6 Loi locale et circulation du champ électriue Du fait ue E = V, on obtient pour le champ électriue une loi locale : et une loi intégrale : E dl = V A V B AB rot E =, 7 Dipôle électrostatiue On appelle dipôle éléctrostatiue un système de deux charges et + placées aux points A et B. Le champ à grande distance a pour composantes : E r = 4πε 2p cosθ r 3, E θ = 4πε p sin θ r 3 et E φ =, où p est la norme du vecteur moment dipolaire p : p = AB. u θ M u r Le potentiel créé par un dipôle électrostatiue s écrit : V = 4πε p u r r 2, dans la limite où r AB. (A) + (B) 7

10 7. Dipôle édectrostatiue dans un champ externe E. Si le champ E est uniforme : la force exercée sur le dipôle est nulle F = F A + F B = ; le moment des forces oriente le dipôle selon le champ appliué l énergie potentielle M( F) = p E; E p = p E est minimale lorsue θ = : le dipôle est en éuilibre stable uand il est orienté parallèlement au champ appliué. 8

11 Ecole Polytechniue de l Université de Nice-Sophia Antipolis Année 29/2 Cours N o 3 d électrostatiue CiP Cours N o 3 : Théorème de Gauss Théorème de Gauss Le flux d un vecteur champ électriue à travers une surface fermée n est dû u aux charges à l intérieur de cette surface : Φ = S E ds = i i ǫ (6) 3 2 Demonstration : cas d une charge ponctuelle. Considérons une charge englobée par une surface S. Soit ds et ds deux éléments de surface découpés par les deux angles solide dω issus de O (voir la figure ci-dessous). Le flux dφ à travers ds vaut : dφ = E ds = 4πǫ r 2 e r NdS = 4πǫ dω. Le flux dφ à travers ds vaut : Au total dφ = E ds = Φ = 4πǫ r 2 e r N ds = S 4πǫ dω = ǫ. 4πǫ dω. Considerez maintenant une charge ui n est pas englobée par la surface (comme en figure ci-dessous). Dans ce cas le flux dφ à travers ds vaut : dφ = E ds = 4πǫ r 2 e r NdS = dω. 4πǫ Le flux dφ à travers ds vaut : dφ = E ds = 4πǫ r 2 e r N ds = dω. 4πǫ Donc on obtient dφ + dφ =, et au total Φ =. N N e r e r O e r N N e r 9

12 2 Loi intégrale et loi locale Soit S une surface fermée contenant une densité volumiue ρ, alors on a : Φ = E ρ ds = dτ = int (7) ǫ ǫ Euation (7) constitue la forme intégrale du théorème de Gauss. S En exploitant le théorème de la divergence (Green-Ostrogradsky) on obtient la forme locale du théorème de Gauss (2 eme loi de l électrostatiue) τ E = ρ/ǫ. Remarue : En l absence de charge E =. Rappel : Le champ électrostatiue E obéit aux lois suivantes : locale intégrale ere loi E = AB E d l = V (A) V (B) 2 eme loi E = ρ ǫ S E d S = int ǫ 3 Euation de Poisson et de Laplace (pour le potentiel) De la forme locale du théorème de Gauss E = ρ/ǫ et de la rélation ui lie le champ au potentiel, E = V, on obtient, en présence de charges, l éuation de Poisson : E = ρ/ǫ V = ρ/ǫ V + ρ/ǫ = et, sans charges, l éuation de Laplace : V =

13 4 Condition de passage à l interface entre deux distributions de charges Considerons le champ en deux points M et M 2 infiniment proches d une interface, avec une distribution de charge surfaciue σ, séparant deux milieux avec deux distributions de charges ρ et ρ 2. Dans le repère de Frenet on peur écrire : E = E,t T + E,n N2 E E 2 = E 2,t T + E2,n N2 où N 2 est le vecteur unitaire normal à la surface et orienté du point M au point M 2. De la première loi de l électrostatiue on obtient : E d l = E,t AB E 2,t CD =. Donc le champ tangent à l interface est conservé : E,t = E 2,t De la deuxième loi de l électrostatiue (thèoreme de Gauss) on obtient : A D M T N 2 M 2 E 2 B C 2 dφ = E N ds + E 2 N 2 ds =E 2,n ds E,n ds = σds ǫ. E Donc le champ normal E n = E n N2 subit une discontinuité si l interface est chargée : E 2,n E,n = σ ǫ N2. N 2 T E 2 2

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15 Ecole Polytechniue de l Université de Nice-Sophia Antipolis Année 29/2 Cours N o 4 d électrostatiue CiP Cours N o 4 : Conducteur en éuilibre Loi de conservation de la charge Dans un système isolé, la charge électriue se conserve : (t) =Constante 2 Corps conducteurs et corps isolants Corps conducteurs : Une partie des électrons peuvent se déplacer. Corps isolants (ou diélectriues) : Les charges ne sont pas libres. 3 Euilibre électrostatiue Considerons un conducteur chargé. Le conducteur est à l éuilibre électrostatiue si la force sur chaue charge est nulle. Ça impliue ue à l intérieur du conducteur c est-à-dire V int = V = Constante, ρ int =. E int =, 3. Théorème de Coulomb Si le conducteur est chargé on a également E int =, et la charge ne peut se répartir ue sur la surface (σ ). Les charges surfaciues sont à l éuilibre si la surface est une surface éuipotentielle. La surface d un conducteur à l éuilibre étant une surface éuipotentielle, au voisinage de la surface le champ est normal à la surface même et vaut E ext = σ N/ǫ. (8) On appelle cage de Faraday une cavité à l intérieur d un conducteur (où E = ). 4 Influence de deux conducteurs chargés Soit deux conducteurs (C ) et (C 2 ) dont au moins un chargé (C ). La distribution de charge sur (C 2 ) devient inhomogène à cause du champ produit par la charge sur le conducteur (C ). 3

16 4. Théorème de Faraday L éuilibre est atteint uand les charges Q = σ ds et Q 2 = σ 2 ds 2 se faisant face sont égales et opposées (théorème de Faraday). E ds ds 2 Si l ensemble des lignes de champs d un des conducteurs rejoignent l autre (figure à côté) l influence est dite totale. Si seulement une partie des lignes de champs se rejoignent l influence est dite partielle (figure en haut). E S 2 S 5 Capacité d un conducteur La charge d un conducteur uniue est proportionnelle au potentiel V. Le coefficient de proportionnalité entre la charge et le potentiel est la capacité : La capacité se mesure en farad (F) : un farad= Coulomb Volt Pour une sphère de rayon de m : C = 4πǫ R = 9 9 F. 5. Capacité d un condensateur C = V. (9) = Coulomb2. Joule Si deux conducteurs (C ) et (C 2 ) sont en influence totale, ils forment un condensateur de capacité Q C =. () V V Associations de condensateurs Condensateurs en série : /C = /C + /C Condensateurs en parallèle : C = C + C V +Q Q +Q Q +Q Q V Q Q 2 Q 3 en série en parallèle 4

17 Ecole Polytechniue de l Université de Nice-Sophia Antipolis Année 29/2 Cours N o 5 d électrostatiue CiP Cours N o 5 : Energie électrostatiue Charge ponctuelle en interaction avec un champ extérieur Rappel : Une charge ponctuelle isolée ne peut pas avoir une énergie potentielle (elle ne se voit pas). Dans le cas de deux chrages et : E p = 4πǫ r, () ui peut être considérée comme (i) l énergie de dans le champ de ou comme (ii) l énergie de dans le champ. Euation () peut être écrite où V est le potentiel créé par la charge au point. E p = 2 (V + V ) (2). Energie potentielle d une distribution de charges ponctuelles E p = 2 n i V i (3) où V i = V,2,...,i,i+, i est le potenteil résultant crée par les charges, 2,..., i, i+,... au point où demeure la charge i. i=.2 Energie potentielle d une distribution continue de charges E p = 2 V d (4) où d = λdl si la distribution est linéaire, d = σds si la distribution est superficielle, d = ρdτ si la distribution est volumiue. 5

18 2 Energie électrostatiue emmagasinée dans les conducteurs chargés 2. Cas d un conducteur uniue Pour un conducteur portant une charge et de capacité C : 2.2 Cas d un condensateur E p = 2 V = 2 CV 2 = 2 2 C. (5) Pour un condensateur avec armatures aux potentiels V et V 2, portant charges et 2 ( 2 = ) : E p = 2 ( V + 2 V 2 ) = 2 (V V 2 ) = 2 C (V V 2 ) 2 = 2 2 C. (6) Dans le cas d un condensateur plan, de capacité C = ǫ S/d, le champ est uniforme et sa norme vaut E = (V V 2 )d. On peut donc écrire E p = 2 ε SdE 2. La densité d énergie par unité de volume vaut E = de p dτ = 2 ε E 2. 3 Forces électrostatiues à partir de l énergie 3. Système à charge constante Considerons le cas d un condensateur préalamblement chargé et puis isolé. Le système étant isolé, la conservation de l énergie impliue ue dl + de p =. Donc de la relation F d l + E p d l, on trouve ue F = E p. (7) 3.2 Système à potentiel constant Considerons un condensateur chargé relié à une source en permanance. Dans ce cas dl + de p = dl s, où L s est l énergie dépensée par la source pour maintenir le potentiel constant, avec On trouve donc L s = (V V 2 ) d = (V V 2 ) = 2E p. F = + E p. (8) 6

19 4 Pression électrostatiue Exemple de la sphère. σ 2ε e r Eext M σds EM Considérons une sphère conductrice avec une charge surfaciue σ. D après le théorème de Coulomb on sait ue le champs à la surface vaut E ext = σ ε e r et u il est nul à l intérieur du conducteur. Nous évaluons la force électrostatiue d F ui s appliue à la charge d = σds : d F = d E M, E M étant le champ au point M créé par toutes les charges existantes sur le conducteur, à l exception de la charue d. En exploitant le principe de superposition on déduit ue E M = E ext σ 2ε e r = σ 2ε e r, et donc ue ce champ exerce sur la charge d une force électrostatiue d F = d σ 2ε e r = σ2 2ε ds e r. Le terme σ2 2ε est une force par unité de surface, c est à dire une pression, la pression électrostatiue. 5 Annexe : Méthode des charges images Le problème à résoudre : Calculer le potentiel et le champ électrostatiue pour un système donné (le système A). La méthode : Trouver un système B ui est décrit par la même éuation de Poisson/Laplace pour le potentiel et ui a les mêmes conditions au bord ue le système A. 7

20 Exemple. Une charge, > est placée à une distance d d un plan conducteur relié à la terre (V plan = ). Déterminer : (a) le champ à proximité du plan conducteur; (b) la distribution surfaciue σ sur le plan, en fonction de l angle θ (voir schéma); (c) la force exercée par le plan sur la charge. Solution : d B d d θ V= A E Eplan E N Le système B est un système sans le plan conducteur, avec une charge située symétriuement par rapport au plan. La région à gauche du plan est décrite par la même éuation pour le potentiel (la distribution des charges est la même) pour les sytème A et B, et la condition au bord V plan = est bien vérifiée dans le système B grâce à la charge image. (a) E plan = E + E = cos3 θ 2πε d 2 N (b) E plan = σ ε N. Donc σ = cos 3 θ 2πd 2 (c) F plan = F = 2 6πε d 2 N. 8