Cours de Terminale S / Compléments sur les fonctions. E. Dostal

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1 Cours de Terminale S / Compléments sur les fonctions E. Dostal septembre 013

2 Table des matières 3 Compléments sur les fonctions 3.1 Fonctions trigonométriques Définitions et dérivabilité Fonctions trigonométriques sur [0;] Parité, périodicité et courbes représentatives Dérivation Nombre dérivé Fonction dérivée Théorèmes d opérations et de compositions

3 Chapitre 3 Compléments sur les fonctions Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur R ou une partie de R et sont à valeurs dans R. Les intervalles considérés sont non vides et non réduits à un point. 3.1 Fonctions trigonométriques Définitions et dérivabilité On considère le cercle trigonométrique dans le repère orthonormé (O; i, j). Soit M un point du cercle tel que ( i, OM) = α []. On cherche à déterminer les coordonnées de M dans le repère en fonction de α. Soient A et B les projetés orthogonaux de M sur les axes. Si M est dans le quart de plan positif : Dans le triangle OAM rectangle en A, on a : cos(α) = De même sin(α) = coté opposé hypoténuse = AM OM = OB OM = OB Ainsi dans ce quart de plan, M a pour coordonnées ( cosα, sinα ) coté adjacent hypoténuse = OA OM = OA Cas général : On étend cette propriété à tout le plan afin de définir le cosinus et le sinus de n importe quel angle en radians, donc de n importe quel réel α. Soit α un nombre réel. Soit M le point du cercle trigonométrique tel que ( i, OM) = α [], alors, on définit le cosinus de α noté cos(α) comme l abscisse de M et le sinus de α noté sin(α) comme l ordonnée de M

4 E. Dostal CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS Définition 1 La fonction cosinus, notée cos, est la fonction définie sur R par : x cos(x) La fonction sinus, notée sin, est la fonction définie sur R par : x sin(x) A l aide du cercle trigonométrique, on complète : x 0 cosx sinx 3 6 Valeurs remarquables de cos et sin : (tableau à connaître par coeur) x cosx sinx

5 E. Dostal CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS Proposition 1 Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et pour tout x R : cos (x) = sin(x) sin (x) = cos(x) Conséquence : Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R. Proposition sin(x) lim = 1 x 0 x 3.1. Fonctions trigonométriques sur [0; ] x 0 cos(x) x 0 sin(x) Parité, périodicité et courbes représentatives Définition Soit f une fonction définie sur D f telle que : 1. D f est centré en 0. (symétrique par rapport à O). pour tout x dans D f on a : f( x) = f(x) alors f est paire sur D f. Proposition 3 Si f est paire sur D f alors sa courbe représentative C f est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Exemple : La fonction cosinus est paire. Définition 3 Soit f une fonction définie sur D f telle que : 1. D f est centré en 0. (symétrique par rapport à O). pour tout x dans D f on a : f( x) = f(x) alors f est impaire sur D f. 4

6 E. Dostal CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS Proposition 4 Si f est impaire sur D f alors sa courbe représentative C f est symétrique par rapport à l origine. Exemple : La fonction sinus est impaire. Remarque : Si une fonction est paire ou impaire (ce qui n est pas souvent le cas), on peut se contenter de l étudier sur R + puis trouver le reste par symétrie. Définition 4 Soit f une fonction définie sur R et T un réel tel que pour tout x on a f(x+t) = f(x) alors f est périodique de période T. Exemples : Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période Remarque : Si une fonction est périodique de période T, on peut se contenter de l étudier sur [0;T] puis trouver le reste par translations successives de vecteur T i et T i. Application : Tracer les représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus sur l intervalle [ ; ] 3. Dérivation 3..1 Nombre dérivé Définition 5 Soit f une fonction définie sur D f et a dans D f. On dit que f est dérivable en a si la quantité f(a+h) f(a) h admet une limite finie quand h tend vers zéro. Cette limite est alors appelée nombre dérivé de f en a et se note f (a). On note : f (a) = lim h 0 f(a+h) f(a) h Définition 6 Soit f une fonction dérivable en a. Soit C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i, j). La droite passant par A(a,f(a)) et de pente f (a) est appelée tangente à la courbe C f au point d abscisse a. Remarque : Dans le cas ou f n est pas dérivable en a, on peut avoir 1. limite infinie, on parle de tangente verticale. limites en a à gauche et à droite distinctes, on parle de demi-tangentes. 3. pas de limite en a (meme à droite, ou à gauche) (exemple : f définie par f(x) = xsin( 1 x ) si x 0 et f(0) = 0) Proposition 5 Si f est dérivable en a alors une équation de la tangente à C f au point d abscisse a est : y = f (a)(x a)+f(a) 5

7 E. Dostal CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS 3.. Fonction dérivée Définition 7 Soient f une fonction définie sur D f et I un intervalle inclus dans D f. On dit que f est dérivable sur I lorsqu elle est dérivable en tout a de I. On peut alors définir la fonction dérivée de f sur I, notée f de la manière suivante : f : x f (x) les physiciens notent dy = f (x)dx Théorème 6 Dérivées des fonctions usuelles fonction f dérivée f ensemble de dérivabilité f : x k f : x 0 R f : x ax+b f : x a R f : x x n avec n 1 f : x nx n 1 R f : x 1 x n avec n 1 f : x n x n+1 ] ;0[ ]0;+ [ f : x x f : x 1 x ]0; + [ f : x sinx f : x cosx R f : x cosx f : x sinx R f : x tanx f : x 1+tanx = 1 cosx ] ; [ Les dérivées de sinus et cosinus sont admises et les autres sont démontrées en exercice. Ce tableau est à connaître par coeur!!!! Remarque : La fonction racine est la seule à ne pas être dérivable sur tout son ensemble de définition puisqu elle n est dérivable que sur ]0; + [ alors qu elle est définie sur [0; + [. Il est à noter que cependant, même si elle n est pas dérivable en 0, elle admet tout de même une tangente en son point d abscisse 0 sauf que cette tangente étant verticale, elle n a pas de pente. 6

8 E. Dostal CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS 3..3 Théorèmes d opérations et de compositions Théorème 7 Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors : f +g, kf(k R), fg le sont aussi Si de plus g ne s annule pas sur I, 1 g et f g sont dérivables sur I (démonstration vue en première) Corollaire 8 Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle où elles sont définies Proposition 9 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I Alors f = u est dérivable sur I et f = 1 u u Proposition 10 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I Alors g = u n est dérivable sur I et g = nu n 1 u Théorème 11 u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle J avec u(i) J Alors f = vou est dérivable sur I et pour tout x de I, f (x) = v (u(x))u (x) (démonstration admise) 7