Intégrales, primitives, calculs d aires
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- Raphael Gaudet
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1 Intégrales, primitives, calculs d aires I. Introduction p L entreprise NVIDIO, spécialisée dans la fabrication de cartes graphiques, contrôle la qualité des condensateurs. On considère la puissance instantanée p (eprimée en Watt) des condensateurs utilisés. La courbe suivante donne les variations de la puissance (en Watt) pour un temps t (en seconde) dans l intervalle [0 ; 10]. t p D après le cahier des charges un condensateur est supposé conforme si l énergie consommée est inférieure à 20 J. Cette énergie (en Joules) correspond à l aire (en cm² dans ce repère) de la surface sous la courbe. t Question : Donner un encadrement de cette énergie. LIAISON BTS/BAC PRO GMSIE DIJON2 BEL BACHIR, BOUSMAHA, BRINI, CHEBLAL, EL BRAHIMI, DURY, AGHA. Page 1/7
2 II. Calculs d aires 1. Fonction constante On considère la fonction définie sur R par. a. Calculer l aire du rectangle hachuré b. Soit F la fonction définie sur R par. Calculer. c. Calculer. d. Que constatez-vous? 2. Fonction linéaire On considère la fonction définie par. a. Calculer l aire du triangle hachuré. b. Chercher dans votre tableau de dérivées, une fonction F telle que. c. Calculer. d. Que constatez-vous? LIAISON BTS/BAC PRO GMSIE DIJON2 BEL BACHIR, BOUSMAHA, BRINI, CHEBLAL, EL BRAHIMI, DURY, AGHA. Page 2/7
3 3. Fonction affine On considère la fonction définie sur R par. a. Calculer l aire du trapèze hachuré. b. Chercher dans votre tableau de dérivées, une fonction F telle que. c. Calculer. Que constatez-vous? 4. Fonction carrée On considère la fonction définie sur R par. On veut déterminer l aire de la surface hachurée sous la courbe. a. Donner une estimation (ou un encadrement) de cette aire. b. En utilisant ce qui a été fait précédemment, proposez une méthode qui permette de calculer la valeur eacte de cette aire. LIAISON BTS/BAC PRO GMSIE DIJON2 BEL BACHIR, BOUSMAHA, BRINI, CHEBLAL, EL BRAHIMI, DURY, AGHA. Page 3/7
4 III. Snthèse 1. Primitive F Définition : Une fonction F définie sur un intervalle [a ; b] est une primitive de si. Eemple : dans la partie II on a vu : La dérivée dit aussi Une primitive Remarque : ne pas confondre, et. Eemple : LIAISON BTS/BAC PRO GMSIE DIJON2 BEL BACHIR, BOUSMAHA, BRINI, CHEBLAL, EL BRAHIMI, DURY, AGHA. Page 4/7
5 2. Application au calcul d aires : Soit une fonction positive sur un intervalle [a ; b]telle que F est une primitive de sur cet intervalle et C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal. L aire (en unité d aire) de la surface ci-dessous est :. Notation : Pour procéder au calcul à la machine, on entrera le smbole : 3. Retour à la problématique de l introduction On modélise la puissance condensateur par la fonction [0 ;10] par : (en W) d un définie sur On admet que la fonction F définie par. est une primitive de. Calculer l énergie (en Joules) consommée par ce condensateur (correspondant à l aire de la surface hachurée en cm²) Le condensateur est-il conforme au cahier des charges? Justifier. LIAISON BTS/BAC PRO GMSIE DIJON2 BEL BACHIR, BOUSMAHA, BRINI, CHEBLAL, EL BRAHIMI, DURY, AGHA. Page 5/7
6 IV. Eercices Eercice 1 Soit la fonction définie sur par. Sa courbe est représentée dans le repère orthogonal ci-dessous, d unités graphiques 3 cm sur l ae des abscisses et 1 cm sur l ae des ordonnées. 1. Montrer que la fonction F définie sur par est une primitive de f. 2. Retrouver l aire du domaine hachuré en ua (sous la courbe), déterminée par géogébra. 3. En déduire cette aire en cm². Eercice 2 Une entreprise spécialisée dans le sport veut changer de logo, on lui propose le dessin ci-contre : On modélise ce dessin à l aide de la fonction définie sur par 1. Vérifier que la fonction F définie par est une primitive de. 2. Calculer l aire de la surface «sous la courbe» en ua. 3. En déduire l aire du logo en ua puis en cm². LIAISON BTS/BAC PRO GMSIE DIJON2 BEL BACHIR, BOUSMAHA, BRINI, CHEBLAL, EL BRAHIMI, DURY, AGHA. Page 6/7
7 Eercice 3 : Un pont de zhijinghe Afin de construire le pont de zhijinghe, les ingénieurs ont été amenés à étudier la résistance au vent. Pour cela, ils ont dû calculer l aire de la surface latérale. Cette surface est modélisée ci-dessous par la surface grisée. Nous modéliserons l arc par l arc de la courbe représentant la fonction définie sur [-225 ; 225] par : Les points A, B, C, D ont pour coordonnées : Pour déterminer l aire de la surface grisée, nous utiliserons la calculatrice et l intégrale: Cette méthode nous permet de déterminer une valeur approchée en ua de l aire de la surface «sous une courbe». 1. Calculer à l aide d une calculatrice 2. En déduire l aire (en ua) de la surface grisée. LIAISON BTS/BAC PRO GMSIE DIJON2 BEL BACHIR, BOUSMAHA, BRINI, CHEBLAL, EL BRAHIMI, DURY, AGHA. Page 7/7
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