Les nombres complexes

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1 Les nombres complexes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Généralités 1.1 Définitions Règles de calcul dans C Interprétation géométrique Conjugué d un nombre complexe 3.1 Définition Propriétés Opérations sur les nombres conjugués Équation du second degré 5 Table des figures 1 Interprétation géométrique Affixe du conjugué d un nombre complexe Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 GÉNÉRALITÉS Activité : Activité 1 page 3 1 [TransMath] 1 Généralités 1.1 Définitions Définition : Un nombre complexe est un nombre de la forme a + ib, où a b sont deux nombres réels i un nombre tel que i 1. L ensemble des nombres réels est noté C. Théorème admis) : L écriture d un nombre complexe z sous la forme a + ib avec a b réels est unique. Elle est appelée écriture algébrique du nombre complexe z. Définition : Soit z a + ib un complexe, avec a, b réels. le réel a est la partie réelle du nombre complexe z. Elle est notée Rez). le réel b est la partie imaginaire du nombre complexe z. Elle est notée Imz). Exemples : 1. Re 3 i ) 3 Im 3 i ) 1.. Re 4i) Im 4i) Comme i 1, i donc Re i + 3 ) 5 Im i + 3 ). Soit z C z est un réel si seulement si Im z). En particulier, R C. z est un imaginaire pur si seulement si Re z). z si seulement si Rez) Im z). Propriété : Deux nombres complexes z z sont égaux si seulement si Re z) Rez ) Im z) Imz ). 1. Règles de calcul dans C On muni l ensemble des nombres complexes d une addition d une multiplication en appliquant les règles de calcul dans R en remplaçant i par 1 voir Activité page 1 page 3 [TransMath]). On obtient : Addition multiplication dans C : Soient z z de forme algébrique z a + ib z a + ib. Démonstration : z + z a + a ) + i b + b ) z.z aa bb ) + i ab + a b) z + z a + ib + a + ib a + a ) + ib + b ) z.z a + ib) a + ib ) aa + iab + ia b bb aa bb ) + i ab + a b) 1. En particulier, si k est un nombre réel, on a k.z kx) + i ky).. Les règles de calcul dans C sont les mêmes que dans R on rrouve les mêmes identités remarquables. Exemple : a + ib) a ib) a iab + iab i b a 1) b a + b On obtient donc une nouvelle identité remarquable valable dans C : a + b a + ib) a ib). Exercices : 1,, 3, 5, 7 page 41 51, 55 page 53 [TransMath] 1. Des nombres réels aux nombres imaginaires.. Calculs dans C.

3 CONJUGUÉ D UN NOMBRE COMPLEXE 1.3 Interprétation géométrique 1.3 Interprétation géométrique Définition : Soit O ; u ; v) un repère orthonormé direct z un nombre complexe de forme algébrique z a + ib. Le point M a ; b) est appelé image de z. voir figure 1) On dit que M a pour affixe z. La distance OM est appelée module de z. On note z OM. Figure 1 Interprétation géométrique Conséquences : 1. L ensemble des nombres réels est représenté par l axe des abscisses. L ensemble des imaginaires purs est représenté par l axe des ordonnés.. On a z a + b. 3. z si seulement si z. 4. Si z est un nombre réel c est-à-dire z a), z a a. Le module correspond alors à la valeur absolue. Exercices : 66, 67, 68 page page 54 4 [TransMath] Conjugué d un nombre complexe.1 Définition Propriétés Définition : Soit z le nombre complexe de forme algébrique z a + ib. On appelle conjugué de z le nombre complexe noté z défini par z a ib. 1. Le point M d affixe z le point M d affixe z sont symétriques par rapport à l axe des abscisses voir figure ).. De la définition, on tire facilement que : z) z. Propriété : Soit z un nombre complexe. On a : Rez) z+z Imz) z z i zz z 3. Affixes de points. 4. Premiers ensembles de points. 3

4 . Opérations sur les nombres conjugués CONJUGUÉ D UN NOMBRE COMPLEXE Figure Affixe du conjugué d un nombre complexe Démonstration : z z i z + z a + ib a ib) i a + ib + a ib a + ib a + ib i a Re z) ib i zz a + ib) a ib) a + b z b Im z) 1. En particulier, on a les résultats suivants : z est un nombre réel si seulement z z. z est un imaginaire pur si seulement z + z.. De la dernière égalité, on déduit que zz est toujours un nombre réel positif. Ce résultat sera utilisé, entre autres, pour trouver la forme algébrique d un quotient de nombres complexes. Exemples : 1. 3+i 3 i) 3+i)3 i) 6 i i i. i 3 i i)3+i) 3 i)3+i) 6+4i 3i+ 3 + ) 8+i i Exercices : 9, 1 page 4 5, 53, 54 page page 4 ; 56, 57 page page 4 59 page 53 15, 16 page 43 7 [TransMath]. Opérations sur les nombres conjugués Propriété : Soient z z deux nombres complexes. Alors : z + z z + z zz z z z z ) z z avecz 0) Démonstration partielle) : Si z a + ib z a + ib alors zz aa bb ) + i ab + a b) donc zz aa bb ) i ab + a b). De plus : z z a ib) a ib ) aa b) b )) + i ab a b) aa bb ) i ab + a b). On en déduit que zz z z. 5. Forme algébrique d un quotient. 6. Résolutions d équations dans C. 7. Parties réelles imaginaires. 4

5 3 ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ Remarque : On obtient facilement par récurrence que z n z) n pour tout n entier naturel. Exercices : 11 page 4 60 page page , 1 page [TransMath] 3 Résolution dans C d équation du second degré à coefficients réels Soient a, b c trois nombres réels, avec a 0. On considère l équation : az + bz + c avec z C. En utilisant, comme dans le cours de 1 ère S, la forme canonique, on montre que cte équation est équivalente à : [ a ) ] 4a avec b 4ac. Comme, de plus, a 0, cte équation devient : Si > 0 : ) 4a On a alors, on peut donc écrire : 4a + ) ) ) d où : ) ) L équation az + bz + c est alors équivalente à : + ou + z b z b + L équation az + bz + c a alors deux solutions réelles distinctes : z 1 b z b + Si : On a alors : ) L équation az + bz + c est alors équivalente à : 8. Propriétés des conjugués. 9. Type BAC. 10. Ensembles de points. 5

6 3 ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ L équation az + bz + c a alors une seule solution réelle appelée solution double) : z 0 b Si < 0 : On a alors ) avec > 0, on peut donc écrire : i ) ) i On peut donc en déduire que ) 4a i l équation devient : + i ) i ) i ) ) L équation az + bz + c est alors équivalente à : + i ou i i + i z b i z b + i L équation az + bz + c a alors deux solutions complexes distinctes : z 1 b i z b + i on peut de plus remarquer que ces deux solutions sont des nombres complexes conjugués. Résumé : Résolution de az + bz + c avec a 0) b 4ac est le discriminant de cte équation. Si > 0, l équation adm deux solutions réelles : z 1 b Si, l équation adm une solution double réelle : z b + z 0 b Si < 0, l équation n adm deux solutions complexes conjuguées : z 1 b i z b + i 1. Les racines du trinôme du second degré à coefficients réels sont donc soit réelles, soit complexes conjugués.. Dans C, un trinôme du second degré se factorise donc toujours sous la forme a z z 1 ) z z ). Exercices : 17 page page page 43 64, 65 page page 43 ; 34 page page [TransMath] 11. Équations du second degré dans C. 1. Avec un paramètre. 13. Équations de degré 3 ou 4 dans C. 6

7 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Références [TransMath] transmath Term S, programme 01 Nathan), 3, 4, 5, 6 7