Devoir de Mathématiques

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1 Devoir de Mathématiques Exercice 1 Soit P le polynôme qui à tout complexe z associe P(z) = z 4 + 4z 3 + 9z z Calculer P(2i) et P(-2i). 2. Développer l'expression (z² + 4)(z² + az + b), puis déterminer deux nombres a et b tels que P(z) = (z² + 4)(z² + az + b). 3. Résoudre l'équation P(z) = 0. Les solutions confirment-elles les réponses de la question 1? 4. Dans le plan complexe on considère les 4 points A, B, C et D d'affixes respectives 2i, 2i, 2 i et 2 + i. Montrer que ABCD est un trapèze isocèle. 5. Il semble que le point E d'affixe 1 soit le centre du cercle circonscrit au trapèze ABCD. Est-ce 4 vraiment le cas? Exercice 2 Partie A Soit u la fonction définie sur ]0 ; + [ par u(x) = x² 2 + ln x. 1. Étudier les variations de u sur ]0 ; + [ et préciser ses limites en 0 et en a) Montrer que l'équation u(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; + [. On note cette solution. b) À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de. 3. Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x. 4. Montrer l'égalité : ln = 2 - ². Partie B On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; + [ par f (x) = x² + (2 ln x)². On note f ' la fonction dérivée de f sur ]0 ; + [. 1. Exprimer, pour tout x de ]0 ; + [, f '(x) en fonction de u(x). 2. En déduire les variations de f sur ]0 ; + [. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j), on note : - Г la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ; - A le point de coordonnées (0 ; 2) ; - M le point de Г d'abscisse x appartenant à ]0 ; + [.

2 1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f (x). 2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g( x)= f ( x). a) Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ]0 ; + [. b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Г, noté P, dont on précisera les coordonnées. c) Montrer que AP = α 1+α Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Г en P? Rappel : si le produit des coefficients directeurs de deux droites est égal à -1, alors ces deux droites sont perpendiculaires.

3 Devoir de Mathématiques (correction) Exercice 1 Soit P le polynôme qui à tout complexe z associe P(z) = z 4 + 4z 3 + 9z z Calculer P(2i) et P(-2i). P(2i) = (2i) (2i) (2i) i + 20 = 16i i i i + 20 Sachant que i 2 = -1, on a i 3 = -i et i 4 = 1. Alors P(2i) = 16 32i i + 20 = 0 De même, P(-2i) = 16i 4-32i i 2-32i + 20 = i 36 32i + 20 = 0 2. Développer l'expression (z² + 4)(z² + az + b), puis déterminer deux nombres a et b tels que P(z) = (z² + 4)(z² + az + b). (z² + 4)(z² + az + b) = z 4 + az 3 + bz 2 + 4z 2 + 4az + 4b = z 4 + az 3 + (b+4)z 2 + 4az + 4b Pour que P(z) = (z² + 4)(z² + az + b), il suffit donc qu'on ait simultanément : a = 4, b + 4 = 9, 4a = 16 et 4b = 20. Ces 4 conditions se résument à a = 4 et b = 5. On a donc P(z) = (z² + 4)(z² + 4z + 5) 3. Résoudre l'équation P(z) = 0. Les solutions confirment-elles les réponses de la question 1? P(z) = 0 (z² + 4)(z² + 4z + 5) = 0. On a donc deux possibilités : - soit z = 0, c'est à dire z 2 = -4 = 4i 2, donc z = 2i ou z = -2i. - soit z 2 + 4z + 5 = 0 : le discriminant de ce trinôme est = -4, on a donc deux racines complexes conjuguées qui sont z 1 = 4+i 4 = 4+2i = 2+i et z 2 = 2 i. 2 2 Finalement l'équation P(z) = 0 a 4 solutions qui sont 2i, 2i, 2 i et 2 + i. Les solutions 2i et 2i confirment que P(2i) = 0 et P(-2i) = 0, résultats trouvés à la question Dans le plan complexe on considère les 4 points A, B, C et D d'affixes respectives 2i, 2i, 2 i et 2 + i. Montrer que ABCD est un trapèze isocèle. On peut remarquer que z B est le conjugué de z A : cela montre que A et B sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. De même z D est le conjugué de z C, donc C et D sont aussi symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Ainsi les côtés [AB] et [CD] sont perpendiculaires à l'axe des ordonnées, donc parallèles entre eux. Les côtés [AD] et [BC] sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donc de même longueur. ABCD est bien un trapèze isocèle. 5. Il semble que le point E d'affixe 1 soit le centre du cercle circonscrit au trapèze ABCD. Est-ce 4 vraiment le cas? Comme E se trouve sur l'axe des ordonnées, par symétrie on EA = EB et EC = ED. Il reste à vérifier que EB = EC. z B z E = i, donc EB= = z C z E = 2 i+ 1 4 = 7 4 i, donc EC= = On a bien EB = EC, et donc EA = EB = EC = ED. Le point E est bien le centre du cercle circonscrit au trapèze ABCD.

4 Exercice 2 Partie A Soit u la fonction définie sur ]0 ; + [ par u(x) = x² 2 + ln x. 1. Étudier les variations de u sur ]0 ; + [ et préciser ses limites en 0 et en a) Montrer que l'équation u(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; + [. On note cette solution. b) À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de. 3. Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x. 4. Montrer l'égalité : ln = 2 - ². Partie B On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; + [ par f (x) = x² + (2 ln x)². On note f ' la fonction dérivée de f sur ]0 ; + [. 1. Exprimer, pour tout x de ]0 ; + [, f '(x) en fonction de u(x). 2. En déduire les variations de f sur ]0 ; + [.

5 Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j), on note : - Г la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ; - A le point de coordonnées (0 ; 2) ; - M le point de Г d'abscisse x appartenant à ]0 ; + [. 1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f (x). 2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g( x)= f ( x). a) Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ]0 ; + [. b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Г, noté P, dont on précisera les coordonnées. c) Montrer que AP = α 1+α Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Г en P? Rappel : si le produit des coefficients directeurs de deux droites est égal à -1, alors ces deux droites sont perpendiculaires.