opérations sur les fonctions dérivées applications de la dérivation

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1 opérations sur les fonctions dérivées applications de la dérivation rappels : fonction domaine de définition domaine sur lequel la fonction est dérivable fonction dérivée fonction constante : f() k (k ) f '() fonction affine : f() a + b f '() a (a et b ) fonction carré : f() f '() fonction puissance : f() n (n *) f '() n n fonction inverse : f() ] ; [ ] ; +[ ] ; [ ] ; +[ f '() fonction racine : f() [ ; +[ ] ; +[ f '() I) Opérations sur les fonctions dérivées : le domaine de définition peut être différent du domaine de dérivabilité! a) dérivée de la fonction u + v : propriété : Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. La fonction somme u + v est dérivable sur I et (u + v)' u' + v' a et a + sont deu nombres réels appartenant à I Eprimons le tau d' accroissement de u + v entre a et a+ : (u + v)(a + ) (u + v)(a) donc u(a + ) u(a) + v(a + ) v(a) u(a + ) u(a) tend vers u'(a) quand tend vers (u est dérivable sur I) v(a + ) v(a) tend vers v'(a) quand tend vers (v est dérivable sur I) (u + v)(a + ) (u + v)(a) (u + v)(a + ) (u + v)(a) donc lim u'(a) + v'(a) donc u + v est dérivable sur I et (u + v)' u' + v' tend vers u'(a) + v'(a) quand tend vers E : Soit la fonction w définie sur ] ; +[ par w() + w est la somme de deu fonctions u et v définies et dérivables sur ] ; +[ par u() et v() donc w est dérivable sur I et w'() u'() + v'() ttp://

2 b) dérivée de la fonction u v : propriété : Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. La fonction produit u v est dérivable sur I et (u v)' u' v + u v' a et a + sont deu nombres réels appartenant à I Eprimons le tau d' accroissement de u v entre a et a+ : (uv)(a + ) (uv)(a) donc u(a + ) v(a + ) u(a)v(a) u(a + ) v(a + ) u(a)v(a + ) + u(a)v(a + ) u(a)v(a) (u(a + ) u(a))v(a + ) + u(a)(v(a + ) v(a)) u(a + ) u(a) v(a + ) v(a) v(a + ) + u(a) u(a + ) u(a) tend vers u'(a) quand tend vers (u est dérivable sur I) v(a + ) v(a) tend vers v'(a) quand tend vers (v est dérivable sur I) v(a + ) tend vers v(a) quand tend vers (admis) (uv)(a + ) (uv)(a) tend vers u'(a)v(a) + u(a)v'(a) quand tend vers (uv)(a + ) (uv)(a) donc lim u'(a)v(a) + u(a)v'(a) donc uv est dérivable sur I et (uv)' u'v + uv' E : Soit la fonction w définie sur ] ; +[ par w() w est le produit de deu fonctions u et v définies et dérivables sur ] ; +[ par u() et v() donc w est dérivable sur ] ; +[. w'() u'()v() + u()v'() + c) dérivée de la fonction ku : + 5 propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un nombre réel. La fonction ku est dérivable sur I et (ku)' ku' Soit v la fonction constante telle que v() k. D'après la propriété précédente, (ku)'() u'()v() + u()v'() u'() k + u() ku'() donc ku est dérivable sur I et (ku)' ku' ce terme est retrancé puis ajouté pour faciliter la démonstration! ttp://

3 c) dérivée de la fonction u v : propriété admise : Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I telles que pour tout appartenant à I, v(). La fonction quotient u v est dérivable sur I et u v ' u' v u v' E : Soit la fonction w définie sur ] ; +[ par w() w est le quotient de deu fonctions u et v définies et dérivables sur ] ; +[ par u() et v() donc w est dérivable sur I et u'() v() u() v'() w'() v () ( ) ( ) 8 + ( ) ( ) v 7 ( ) conséquence : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que pour tout appartenant à I, u(). La fonction quotient u est dérivable sur I et u ' v' v Je vais utiliser quelques unes de ces règles d'opérations pour trouver la fonction dérivée de la fonction polynôme P définie sur par P() II) Applications de la dérivation : propriété admise : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f ' est positive sur I Pour tout nombre réel appartenant à I, f '() f est décroissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f 'est négative sur I Pour tout nombre réel appartenant à I, f '() f est constante sur I si et seulement si la fonction dérivée f ' est nulle sur I Pour tout nombre réel appartenant à I, f '() E : Soit la fonction u définie sur [ ; ] par u() ( ) La fonction u est dérivable sur ] ; ] car elle est le produit de deu fonctions dérivables sur ] ; ]. u'() ( )' + ( ) ( ) ' + ( ) P'() 5 ( ) ' 7 ( ) + ( ) ' la dérivée est positive quand c'est à dire ttp://

4 On obtient alors le tableau de variations suivant : y u() ( ) u'() + u() voici la courbe représentative de la fonction u dans un repère ortonormé! définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un nombre réel appartenant à I. f admet un maimum local f(a) en a s'il eiste un intervalle ouvert ]c;d[ inclus dans I et contenant a tel que pour tout appartenant à ]c;d[, f() f (a) f admet un minimum local f(a) en a s'il eiste un intervalle ouvert ]c;d[ inclus dans I et contenant a tel que pour tout appartenant à ]c;d[, f() f (a) E : Reprenons la fonction u de l'eemple précédent. Soit la fonction u définie sur [ ; ] par u() ( ) u admet un minimum local en puisqu'il eiste un intervalle ouvert ]c;d[ inclus dans l'intervalle [ ; ] tel que pour tout appartenant à ]c;d[, u() u u c d ] [ remarque : un etremum local est un minimum local ou un maimum local. pourquoi parler d' un intervalle ouvert dans la définition précédente? car, si la fonction a un etremum local en a, a ne peut pas être l'etrémité de l'intervalle I Dans notre eemple, la fonction u est définie sur [;]. Elle n'admet pas de maimum local en!! (on ne peut pas créer un intervalle ouvert inclus dans I et contenant ) ttp://

5 propriété admise : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a est un nombre réel de I qui n'est pas une etrémité de I. S'il eiste un etremum local en a, alors f '(a). E : Reprenons la fonction u de l'eemple précédent. Soit la fonction u définie sur [ ; ] par u() ( ) u'() Il eiste un minimum local pour. On a bien u' 5 ttp://