Systèmes Linéaires: Analyse moderne des systèmes dynamiques 5: Stabilité des systèmes dynamiques. Antoine Drouin. October 2013

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1 Systèmes Linéaires: Analyse moderne des systèmes dynamiques 5: Stabilité des systèmes dynamiques Antoine Drouin ENAC/MAIAA October 2013 Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

2 1 Stabilité: Dénitions générales 2 Méthode de Lyapunov 3 Stabilité des système LTI Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

3 Stabilité: Dénitions générales Stabilité Dénition Un système est dit stable autour d'un point d'équilibre si lorsque de faibles perturbations sont appliquées, il reste au voisinage de ce point. Remarque Le point d'équilibre est un état d'équilibre ou une trajectoire de son vecteur d'état. Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

4 Stabilité: Dénitions générales État d'équilibre Soit un système dynamique déni par une représentation d'état Ẋ = f (X, U) État d'équilibre X e X e = f (X e, 0) = 0 t Trajectoire de référence X r (t), U r (t) t, f (X r (t), U r (t)) = Ẋ r (t) Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

5 Stabilité: Dénitions générales État d'équilibre : Exemples Masse-Ressort Ẋ = Ç å 0 1 K m f m X +Ç 0 1 m å U Pendule Ç å θ Ẋ (t) = f (X, U) = g sin(θ) l Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

6 Stabilité: Dénitions générales Trajectoire de référence : Exemple Satellite Représentation d'état X = á ë θ r θ ṙ Ẋ (t) = f (X, U) = á 2ṙ θ r θ ṙ + u θ r r θ 2 β r 2 + u r ë Trajectoire de référence U ref (t) = Ç å 0 0 β r 3 t + θ 0 0 X ref (t) = r 0 β r Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

7 Stabilité: Dénitions générales Trajectoire de référence : Exemple 2 Aircraft: No closed form solution for reference trajectories Iterative methods for Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

8 Stabilité: Dénitions générales État d'équilibre: cas LTI Théorème Un système LTI de matrice de dynamique A posséde: un point d'équilibre ( X = 0 n ) si A est inversible. une innité de points d'équilibre ( le noyau de A) si A n'est pas inversible. Exemple : Masse-Ressort Ẋ = Ç å 0 1 K m f m X +Ç 0 1 m un point d'équilibre si K 0 une innité de points d'équilibre si K = 0 å U Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

9 Stabilité: Dénitions générales Stabilité au sens de Lyapunov Dénition Un état d'équilibre X e est stable si t 0, ɛ > 0, η > 0 : X (t 0 ) X e < η X (t) X e < ɛ, t t 0 Dénition Un système est stable si tous ses points d'équilibre le sont Un système non autonome muni d'une contre reaction devient autonome Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

10 Stabilité: Dénitions générales Stabilité asymptotique Dénition Un état d'équilibre X e est asymptotiquement stable s'il est stable au sens de Lyapunov, et si η, X (t 0 ) X e < η lim t X (t) X e = 0 Stabilité exponentielle Un état d'équilibre X e est exponentiellemnt stable s'il est stable au sens de Lyapunov, et si η, α > 0, β > 0 X (t 0 ) X e < η X (t) X e < αe βt Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

11 Stabilité: Dénitions générales Illustration Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

12 Méthode de Lyapunov Méthode de Lyapunov Principe Si l'énergie totale d'un système est dissipée de manière continue, alors le système devra rejoindre un point d'équilibre. Méthode Générer pour le système une fonction scalaire de type énergie et en examiner la dérivée temporelle. Intéret Permet de conclure sur la stabilité d'un système sans résoudre explicitement les équations diérentielles ( non linéaires). Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

13 Méthode de Lyapunov Stabilité au sens de Lyapunov Dénition Un état d'équilibre X e est stable au sens de Lyapunov si t 0, ɛ > 0, η > 0 : X (t 0 ) X e < η X (t) X e < ɛ, t t 0 Dénition Un état d'équilibre X e est asymptotiquement stable s'il est stable au sens de Lyapunov, et si η, X (t 0 ) X e < η lim t X (t) X e = 0 Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

14 Méthode de Lyapunov Théorème de Lyapunov Énoncé Soit S un système dynamique de vecteur d'état X, possédant un point d'équilibre X e. Soit B Xe, une boule de R n centrée en X e. Si il existe une fonction scalaire V (X ) : B Xe R continûment dérivable, possédant les propriétés suivantes V (X e ) = 0 V (X ) dénie positive X B Xe, X X e V (X ) semie dénie négative X B Xe alors X e est un point d'équilibre localement stable dans B Xe. Si de plus V (X ) est dénie négative, l'équilibre est asymptotiquement stable. Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

15 Méthode de Lyapunov Démonstration: stabilité Soit ɛ > 0 et S ɛ la sphère centrée en Xe de rayon ɛ Soit m, le minimum de V sur S ɛ. Comme V est continue et dénie positive, m existe et est strictement positif. De plus, comme V (Xe) = 0, il existe une boule Bm autour de Xe, telle que V (X ) < m, X Bm Pour toute trajectoire de point initial X 0 Bm, comme V est décroissante, V (X ) < m, t > t 0 Toute trajectoire démarrant à l'interieur de Bm reste à l'interieur de B ɛ. La stabilité est donc démontrée. Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

16 Méthode de Lyapunov Démonstration: stabilité asymptotique Supposons maintenant que V soit dénie négative. V est minorée et décroit continuent, V admet donc une limite. V atteint sa borne (V (Xe) = 0), sa limite est donc cette borne. Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

17 Méthode de Lyapunov Exemple Pendule Ç å θ Ẋ (t) = f (X, U) = g sin(θ) l V (X ) = 1 θ 2 + g (1 cos(θ)) 2 l V (0) = 0, V (X ) = θ θ+ g Le système est donc stable autour de l'origine. l θsin(θ) = 0 Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

18 Méthode de Lyapunov Exemple Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

19 Méthode de Lyapunov Méthode de Lyapunov locale V (X e ) = 0 V (X ) > 0, X X e, X Ω V (X ) <= 0, X X e, X Ω images locale asymptotique V (X e ) = 0 V (X ) > 0, X X e, X Ω V (X ) < 0, X X e, X Ω globale asymptotique V (X e ) = 0 V (X ) > 0, V (X ) < 0, X X e X X e lim X + V (X ) = Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

20 Méthode de Lyapunov Exemple Pendule Ç å θ Ẋ (t) = f (X, U) = g sin(θ) l V (X ) = 1 θ 2 + g (1 cos(θ)) 2 l V (0) = 0, V (X ) = θ θ + g Le système est donc stable autour de l'origine. l θsin(θ) = 0 Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

21 Méthode de Lyapunov Exemple Pendule amorti Ç å θ Ẋ (t) = f (X, U) = g sin(θ) f. θ l V (0) = 0, V (X ) = 1 θ 2 + g (1 cos(θ)) 2 l g V (X ) = θ θ + θsin(θ) = f θ 2 <= 0, X X e Le système est donc stable autour de l'origine. l Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

22 Méthode de Lyapunov Exemple Pendule amorti Ç å θ Ẋ (t) = f (X, U) = g sin(θ) f. θ l V (X ) = 1 θ (f.θ + θ) g (1 cos(θ)) l V (0) = 0, V (X ) = f ( θ2 + g l.θ. sin θ) < 0, X X e Le système est donc stable asymptotiquement autour de l'origine. Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

23 Méthode de Lyapunov Exemple S x1 (t) = 2x 1 (x2 2 1) x 2 (t) = x 2 (x ) U 1 (x 1, x 2 ) = x2 1 +x2 2 2 U 1 (x 1, x 2 ) = x 1 x 1 + x 2 x 2 U 1 (x 1, x 2 ) = x1 2 x 2 2 2x 1 2 x 2 2 U 2 (x 1, x 2 ) = x2 1 +2x2 2 2 U 2 (x 1, x 2 ) = x 1 x 1 + 2x 2 U 2 (x 1, x 2 ) = 2x1 2 2x 2 2 x 2 Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

24 Stabilité des système LTI Stabilité des sytèmes LTI à temps continu On a montré X (t) = e A(t t 0) X (t0 ) = Pe Λ(t t 0) P 1 X (t0 ) CNS de stabilité asymptotique: Les racines du polynome caractéristique sont à partie réelle négative Si une racine du polynome caractéristique est nulle non dégénérée, le système est stable, non asymptotiquement. Si une racine du polynome caractéristique est nulle et dégénérée, le système est instable. Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

25 Stabilité des système LTI Critère de Routh/Hurwitz P(λ) = a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 Si un des coecients est nul ou négatif alors qu'un autre au moins est positif, le polynome admet au moins une racine à partie réelle positive. Si tous les coecients sont positifs, on calcule le tableau de Routh ( Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

26 Stabilité des système LTI Discrete Time LTI Systems Stability Trajectory X k = A k.x 0 X k = P.Λ k.p 1 X 0 Ö λ k è X k = P λ k n.p 1.X 0 Theorem S is asymptotically stable λ i < 1, i Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27

27 Stabilité des système LTI Hartman-Grobman Theorem Linear stability analysis. Local stability of a nonlinear system may be studied throught its Jacobian. Hyperbolic Equilibrium : all eigenvalues of the Jacobian matrix have non-zero real parts. All eigenvalues have negative real parts System is locally stable At least one eigenvalue has positive real part System is locally unstable. Non-hyperbolic Equilibrium undecidable. Antoine Drouin (ENAC/MAIAA) Systèmes Linéaires October / 27