Coniques. Ellipses. Définition monofocale. Hyperboles. Paraboles. Equations polaires

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1 [ édité le 4 septembre 06 Enoncés Coniques Ellipses Définition monofocale Exercice [ 099 ] [Correction] Soit D une droite du plan P et F un point non situé sur D. (a) Justifier que par tout point M du plan P non situé sur D {F} passe une unique conique C de foyer F et de directrice D. (b) Préciser la nature de C suivant les positions du point M. Exercice [ 0300 ] [Correction] Soient S, S deux points différents. Montrer que par tout point M différent de S et S, et non situé sur trois droites ni sur un cercle à préciser, il existe une conique à centre et une seule passant par M et admettant S et S pour sommets situés sur un même axe (focal ou non). Paraboles Exercice 3 [ 030 ] [Correction] Soit D une droite du plan P et M un point non situé sur D. Quel est l ensemble des foyers des paraboles de directrice D passant par M? Exercice 4 [ 030 ] [Correction] Soit D une droite, A un point non situé sur D et d un réel positif. Déterminer les points M tels que AM + d(m, D) = d. Exercice 5 [ 0303 ] [Correction] Soit Γ une parabole de foyer F. Quel est le lieu des projections orthogonales de F sur les tangentes à Γ? Exercice 6 [ 0934 ] [Correction] Soient D une droite et P un point du plan. Quel est l ensemble des points M du plan tels que MP = d(m, D)? Exercice 7 [ 0304 ] [Correction] On connaît un foyer F et les deux sommets focaux A et A d une ellipse. Construire les deux autres sommets de cette ellipse. Exercice 8 [ ] [Correction] Soit E une ellipse de grand axe [A ; A ]. Pour M E \ {A, A }, la tangente en M à E coupe les tangentes aux sommets A, A en deux points P et P. Montrer que la quantité AP. A P est constante. Hyperboles Exercice 9 [ 0305 ] [Correction] On connaît un foyer F et les deux sommets A et A d une hyperbole. Construire les asymptotes cette hyperbole. Exercice 0 [ 0306 ] [Correction] Montrer que les hyperboles d asymptotes orthogonales sont celles d excentricité. On les appelle hyperboles équilatères. Equations polaires Exercice [ 0307 ] [Correction] Donner la nature, l excentricité et les sommets des coniques d équations polaires : (a) ρ = +sin θ (b) ρ = +cos θ Exercice [ 0308 ] [Correction] Soit Γ la conique d équation polaire ρ = dans un repère orthonormé direct (O; i, j). p + e cos θ (c) ρ = + cos θ (d) ρ = +cos θ+sin θ

2 [ édité le 4 septembre 06 Enoncés (a) Quelle est l équation polaire de la tangente à Γ au point de paramètre θ 0? (b) Montrer que la portion de tangente entre le point de contact et la directrice est vue du foyer sous un angle droit. Exercice 3 [ 097 ] [Correction] Trouver l image du cercle unité par f : C \ { j, j } C définie par f : z + z + z Réduction d équation du second degré Exercice 8 [ 0304 ] [Correction] Réduire la conique d équation : 3x xy + 3y 8x + 8y + 6 = 0 Donner, sa nature et ses éléments caractéristiques. Exercice 9 [ 0930 ] [Correction] Donner l équation réduite et la nature de la conique donnée par x + 3xy + y x y + = 0 Exercice 4 [ 0309 ] [Correction] Donner la nature, le centre, l excentricité, les foyers, les sommets et les directrices des coniques d équations cartésiennes : (a) 0x + 36y 80x 6y 36 = 0 (b) 6x 9y 64x 54y 6 = 0 Exercice 5 [ 030 ] [Correction] Donner la nature et l excentricité de la conique d équation cartésienne : (a) x + y + 3xy = (b) x + 6xy + y + 4 (x + y) = 0 (c) x + xy + y + 4 (x y) = 0. Exercice 6 [ ] [Correction] Soit P(x) = x 3 + ax + bx + c un polynôme de degré 3. Montrer que la courbe Γ: P(x) = P(y) est la réunion d une droite et d une courbe qui, lorsqu elle n est pas triviale, est une ellipse dont on précisera l excentricité. Exercice 7 [ ] [Correction] Donner la nature de la conique d équation Préciser les sommet, foyer et directrice. 6x 4xy + 9y + 5x 50y = 0 Exercice 0 [ 093 ] [Correction] Soient des réels a, b, a, b. Montrer que les courbes du plan géométrique d équation respectives sont isométriques. (ax + by) + (a x + b y) = et (ax + a y) + (bx + b y) = Exercice [ 0933 ] [Correction] Reconnaître et tracer la courbe d équation 3x 3xy + 37y = 5 Exercice [ 056 ] [Correction] Soient A(, 0) et B(0, ) dans un repère orthonormé (Oxy). Déterminer une équation cartésienne de la parabole passant par A et B, et tangente respectivement à (Ox) et (Oy) en ces points. Exercice 3 [ ] [Correction] On considère la courbe Γ = { (x, y) R + } x + y = Déterminer la nature de la courbe Γ.

3 [ édité le 4 septembre 06 Enoncés 3 Exercice 4 [ 035 ] [Correction] Déterminer l excentricité de la conique d équation x + 8xy 5y 8x + 4y + 3 = 0 Exercice 30 [ 0384 ] [Correction] Soient C et D un cercle et une droite disjoints. Déterminer l ensemble des centres des cercles tangents à la fois à C et D. Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Exercice 5 [ 0578 ] [Correction] Natures, axes et équation réduite de la conique d équation Exercice 6 [ 0545 ] [Correction] Allure de la courbe d équation cartésienne x + 3xy + y 4x 3y = 0 y (3x + x + ) = 0 Lieu des points M d affixe z tels que les points d affixes z, z et z 5 soit alignés? Problèmes géométriques Exercice 7 [ 03 ] [Correction] Soient A un point et D une droite du plan tels que A D. (a) Déterminer le lieu des foyers des paraboles admettant D comme directrice et passant par A. (b) Quel est l ensemble des sommets de ces paraboles? Exercice 3 [ 0569 ] [Correction] (a) Tracer P définie par O + t i + at j avec a > 0 et préciser son axe. (b) Déterminer tangente et normale à P au point M 0 de paramètre t 0. (c) Factoriser en produit de polynômes de degré. P(X) = X 3 (t + t + t t )X + (t t + t t ) (d) Montrer que les normales en trois points de P sont concourantes si, et seulement si, le centre de gravité du triangle formé par ses points est sur l axe de P. Exercice 3 [ 03 ] [Correction] Soit C un cercle de centre F et de rayon a. (a) Soit F un point à l intérieur du cercle C. Quel est le lieu des points M centre des cercles passant par F et tangent à C? (b) Même question pour F extérieur à C. Exercice 8 [ 098 ] [Correction] Soient H une hyperbole, D et D ses asymptotes sécantes en O et M un point sur H. On note A (resp. A ) l intersection de la tangente en M à H sur D (resp. D ). Montrer que l aire du triangle OAA est indépendante de M. Exercice 9 [ 093 ] [Correction] Soit r dans R +. Dans le plan euclidien P, soient A et A deux points tels que AA = 3r On considère aussi C (resp. C ) le cercle de centre A (resp. A ) et de rayon r (resp. r). Décrire { M P d(m, C) = d(m, C ) }

4 [ édité le 4 septembre 06 Corrections 4 Corrections Exercice : [énoncé] (a) La seule conique possible est celle d excentricité : e = (b) Si MF < d(m, D) on a affaire à une ellipse Si MF = d(m, D) on a affaire à une parabole Sinon on a affaire à une hyperbole. MF d(m,d). Exercice : [énoncé] Soit D la droite (S S ) et, les droites orthogonales à D en S, S. Soit C le cercle de diamètre [S ; S ]. Appelons O son centre. Soit M un point non situé sur les 3 droites précédentes ni sur le cercle proposé. Soit une conique solution du problème posé. Dans le cas où le point M se situe entre les droites et, cette conique est une ellipse de centre O et donc d équation x + y = (avec a, b > 0) dans le repère ce centre O et dont a b (S S ) est l axe des abscisses. Comme cette ellipse passe par S et M on a a = OS et b déterminé de manière unique. Inversement une telle ellipse est solution. Dans le cas où le point M se situe d un même côté par rapport à et, cette conique est une hyperbole et la résolution est identique. Exercice 5 : [énoncé] L équation réduite de Γ est y = px dans le repère d origine S sommet de Γ. Soit M(x 0, y 0 ) Γ. On a y 0 = px 0 et la tangente T en M a pour équation yy 0 = p(x + x 0 ) i.e. px + y 0 y = px 0. Soit H x le projeté orthogonal de F p/ sur T. On a FH x p/ y. 0 y { px + y0 y = px 0 () y y 0 x + py = py 0 /() 0 () p() donne x = 0 et y = y 0 donc H appartient à la tangente à Γ en son sommet et la décrit intégralement. Exercice 6 : [énoncé] Si le point P n appartient pas à la droite, on obtient la parabole de foyer P et de directrice D. Si le point P appartient à la droite, on obtient la perpendiculaire à D passant par P. Exercice 7 : [énoncé] O = m[a ; A ] est le centre de l ellipse. On intersecte la droite orthogonale à (AA ) passant par O avec le cercle de centre F et de rayon a. Les points obtenus sont B et B. Exercice 3 : [énoncé] Un tel foyer doit se trouver à la distance d(m, D) du point M et donc situé sur le cercle C correspondant privé du projeté de M sur D. La réciproque est immédiate. Exercice 4 : [énoncé] Notons D et D les droites parallèles à D situées à la distance d de D. Pour tout point M compris entre D et D on a d(m, D ) = d d(m, D). L égalité AM + d(m, D) = d conduit alors à AM = d(m, D ) ce qui nous amène à considérer la portion de parabole de foyer A de directrice D comprise entre D et D. Pour tout point M compris entre D et D un même raisonnement nous amène aussi à considérer la portion de parabole de foyer A de directrice D comprise entre D et D. Pour tout autre point M on a d(m, D) > d et ce point ne peut être solution. L ensemble solution est la réunion des deux portions de paraboles précédentes. Exercice 8 : [énoncé] On introduit un repère orthonormé du plan dans lequel E a pour équation réduite x a + y b = avec A(a, 0) et A ( a, 0). Pour M(x 0, y 0 ) E avec y 0 0, l équation de la tangente à E en M est par dédoublement x 0 x a + y 0y b = On détermine alors aisément les coordonnées des points P et P et l on obtient AP. ( A P = x 0 a ) b y 0 ( + x ) 0 b = x 0 a y 0 a b4 y 0 = b

5 [ édité le 4 septembre 06 Corrections 5 Exercice 9 : [énoncé] O = m[a ; A ] est le centre de l hyperbole. Les asymptotes passent par O. On a a = OA et c = OF. Ceci permet de déterminer b = c a comme côté d un triangle rectangle d hypoténuse c. On peut construire celui-ci en considérant le cercle de centre O passant par F et les points d intersection de celui-ci avec une des tangentes aux sommets de notre hyperbole. Les droites passant par O et l un des deux points définis ci-dessus correspondent aux asymptotes voulues. Exercice 0 : [énoncé] Avec les notations standards, les asymptotes sont les droites d équation y = b a x et y = b a x. Elles sont orthogonales si, et seulement si, a = b. Cela implique c = a puis e =. Réciproque immédiate. Exercice 3 : [énoncé] Pour z U \ { j, j }, on peut écrire z = e iθ, et on vérifie f (z) = + e iθ + e = e iθ iθ + cos θ Les f (z) parcourent donc la courbe d équation polaire soit encore r = r = + cos( θ) + cos(θ) Il s agit d une hyperbole de foyer O, d excentricité et d axe focal (Ox). Exercice : [énoncé] (a) ρ = +sin θ = +cos(θ π/). Il s agit d une parabole(e = ) d axe focal vertical(α = π/), son sommet est le point de coordonnée polaires (/, π/). (b) ρ =. Il s agit d une ellipse(e = /) d axe focal horizontal(α = 0). cos θ Ses sommets sont obtenus pour θ = 0 et θ = π. +cos θ = / + (c) ρ = + cos θ. Il s agit d une hyperbole(e = ) d axe focal horizontal(α = 0). Ses sommets sont obtenus pour θ = 0 et θ = π. (d) ρ = +cos(θ π/4). Il s agit d une parabole(e = ) d axe focal d équation θ = π/4, son sommet est le point de coordonnées polaire ( /, π/4 ). Exercice : [énoncé] (a) La tangente a pour équation polaire ρ = (b) La directrice a pour équation polaire p cos(θ θ 0 ) + e cos θ ρ = p e cos θ Pour θ = θ 0 + π/, on obtient le point d intersection de la tangente et de la directrice et il en découle la propriété voulue. Exercice 4 : [énoncé] (a) On parvient à l équation réduite (x ) (y 3) + 6 ( 5) = C est une ellipse. Centre Ω(, 3), axe focal (Ω, x). a = 6, b = 5, c = a b = 4, e = c/a = /3. Sommets A(8; 3), A ( 4, 3), B(, 3 + 5) et B (, 3 5). Foyers F(6, 3) et F (, 3).. Directrices D: x = 9, D : x = + 9. (b) On parvient à l équation réduite C est une hyperbole. Centre Ω(, 3), axe focal (Ω, x). a = 3, b = 4, c = a + b = 5, e = 5/3. Sommets A(5, 3) et A (, 3). Foyers F(7, 3) et F ( 3, 3). Directrices D: x = + 9 5, D : x = 9 5. Exercice 5 : [énoncé] (x ) (y + 3) = 3 4

6 [ édité le 4 septembre 06 Corrections 6 (a) Dans R θ = (O; u θ, v θ ) avec θ = π/6, la courbe a pour équation cartésienne : 5 X + Y =. Il s agit d une ellipse de centre O, d axe focal (O; v θ ) avec a =, b = 5, c = 5 d où e = 5. (b) Dans R θ = (O; u θ, v θ ) avec θ = π/4, la courbe a pour équation cartésienne : (X + ) Y =. Il s agit d une hyperbole de centre Ω = O u θ d axe focal (Ω; u θ ) avec a =, b =, c = 3 d où e = 3. (c) Dans R θ = (O; u θ, v θ ) avec θ = π/4, la courbe a pour équation cartésienne : X 4Y = 0. Il s agit d une parabole de sommet O, d axe focal (O; v θ ). L excentricité vaut. Exercice 6 : [énoncé] On a en factorisant P(y) P(x) par y x : P(x) = P(y) y = x ou x + xy + y + a(x + y) + b = 0 On en déduit que Γ est la réunion de la droite D: y = x et de la courbe E: x + xy + y + a(x + y) + b = 0 Considérons le repère R π/4 = (O; u π/4, v π/4 ). Si M est de coordonnées (x, y) dans le repère R = (O; i, j) initial et (X, Y) dans R π/4 alors ce qui donne Ainsi OM = x. i + y. j = X. u π/4 + Y. v π/4 x = (X Y)/ et y = (X + Y)/ M E 3 X + Y + ax + b = 0 Lorsque cette courbe n est pas vide, ni réduite à un point, c est une ellipse d excentricité e = 3 Exercice 7 ( : [énoncé]) 6 La matrice a pour valeurs propres 0 et 5. 9 Posons u = 3 5i j et v = 4 5i j vecteurs propres unitaires associées à ces valeurs propres. Dans le repère orthonormé R = (O; u, v) l équation de Γ est 5y 50y 5x = 0 soit encore (y ) = x + Γ est la parabole de sommet S, d axe focal (S ; u) et de paramètre p = /4. Le foyer est F = S + u et la directrice passe par K = S u et est dirigée par v. Exercice 8 : [énoncé] La forme quadratique sous-jacente a pour valeurs propres et 4. C est une conique à centre. La forme quadratique est diagonalisée dans la base orthonormée formée des vecteurs u = ( i + j) et v = ( i + j) Par annulation de gradient, le centre est Ω. L équation dans le repère R = (Ω; u, v) est x + 4y + C = 0 avec la constante C égale à la valeur du premier membre de l équation initiale en Ω. On obtient C = et finalement on parvient à l équation x + y = La conique est donc une ellipse de centre Ω, d axe focal (Ω; u) et les valeurs caractéristiques sont a =, b = /, c = / et e = / Exercice 9 : [énoncé] La forme quadratique sous-jacente a pour valeurs propres 3± 0. C est une conique à centre. Par annulation des dérivées partielles, le centre est Ω. On obtient l équation réduite 0 3 x y = La conique étudiée est une hyperbole.

7 [ édité le 4 septembre 06 Corrections 7 Exercice 0 : [énoncé] Les deux courbes sont définies par des équations algébriques de degré, ce sont donc des coniques. Pour réduire la première, on développe l équation (a + a )x + (b + b )y + (ab + a b )xy = et on étudie la réduction de la matrice symétrique représentant la forme quadratique associée. ( a + a ab + a b Son polynôme caractéristique est ab + a b b + b ) X X(a + a + b + b ) + (ab a b) Notons λ et µ les deux racines réelles de ce polynôme. Il existe un nouveau repère orthonormé dans lequel la forme quadratique associée à l équation de la première conique s exprime par λx + µy et l équation de la première conique dans ce repère est alors λx + µy = La réduction de la deuxième conique conduit au même polynôme caractéristique et donc à la même équation dans un certain repère orthonormé. Les deux coniques sont donc isométriques. Exercice : [énoncé] ( ) 3 6 On réduit la matrice de valeurs propres 5 et C est une conique à centre Pour u = 5 ( i + j) et v = 5 ( i j), dans le repère (O; u, v) la courbe a pour équation : x + 9y = On reconnaît une ellipse d axe focal (O; u) déterminée par a = et b = /3. Exercice : [énoncé] Soit P une parabole solution. Une équation cartésienne de P est de la forme ax + bxy + cy + dx + ey = k avec ac b = 0 car P est une conique dégénérée. Puisque les tangentes (Ox) et (Oy) sont sécantes en O, la parabole P ne passe pas O et donc k 0. En divisant les coefficients inconnus a, b, c, d, e par k, on peut supposer k =. Puisque A P, on a a + d = Par dédoublement, la tangente en A à P a pour équation ax + by + d(x + ) + ey = Cette droite correspond à l axe (Ox) si, et seulement si, d = a + d = 0 b + e 0 On en déduit a = et d =. L étude similaire en B donne 4c + 4e = e = / c + e = 0 b + d 0 On en déduit c = /4 et e = /. Enfin la condition ac b = 0 donne b = ±/. Or b + e 0 (ou b + d 0) impose b / et il reste b = /. Au final Inversement, cette parabole est solution. Exercice 3 : [énoncé] La courbe Γ est incluse dans le pavé [0 ; ]. Pour (x, y) [0 ; ], on a puis et enfin P: x + xy 4 y + x + y = (x, y) Γ y = ( x) (x, y) Γ x = + x y (x, y) Γ x + y xy x y + = 0 Ainsi Γ est la portion incluse dans [0 ; ] de la conique Γ : x + y xy x y + = 0

8 [ édité le 4 septembre 06 Corrections 8 La forme quadratique associée à cette équation a pour matrice dans la base canonique ( ) Celle-ci à pour valeurs propres et 0. Considérons alors de repère d origine (0, 0) et dirigé par u = (, ) et v = (, ). Après calculs, x u + y v Γ y x + = 0 Γ est donc une parabole de sommet S = u = ( 4, 4) et d axe focal (S ; u). Γ est la portion de cette parabole incluse dans [0 ; ]. Pour parfaire l allure de Γ, on peut remarquer que les tangentes à Γ aux points (, 0) et (0, ) sont les axes coordonnées Exercice 4 : [énoncé] C est une conique non dégénérée et les valeurs propres de la matrices représentant la forme quadratique sont 3 et 7. Par annulation du gradient, on obtient que le centre de cette conique est le point de coordonnées (, 3). Dans un repère adapté, on obtient alors l équation réduite 3x 7y = 4 La conique est donc une hyperbole avec a = / 3 et b = / 7. On en déduit c = a + b = 0 puis e = 0 3 Puisque 0 n est pas valeur propre, la conique est non dégénérée et son centre Ω est de coordonnées x et y solutions du système { 4x + 3y 4 = 0 3x + 4y 3 = 0 Le centre Ω est donc le point de coordonnées x = et y = 0 dans le repère initiale. Dans le repère orthonormée (Ω; u, v) la conique étudiée a pour équation réduite i.e. 7 x + y = x a + y b = avec a = 7 et b = La conique est une ellipse d axe focal (Ω; v) (puisque b > a). Exercice 6 : [énoncé] y (3x + x + ) = 0 y /3 (x + 3 ) = /9 La courbe considérée est une hyperbole de centre Ω( /3, 0) et d axe focal vertical. z = 0 et z = sont évidemment solutions du problème d alignement. Pour z 0,, les points considérés sont alignés si, et seulement si, z5 z z z R i.e. z 3 + z + z + R. En écrivant z = x + iy avec x, y R, on parvient à l équation y 3 = (3x + x + )y. Finalement les points recherchés sont ceux formant l hyperbole précédemment présentées accompagnés de la droite réelle. Exercice 7 : [énoncé] Exercice 5 : [énoncé] La forme quadratique associée a pour matrice ( ) 3/ 3/ de valeurs propres 7 et. u = ( i + j) et v = ( i + j) sont vecteurs propres associés aux valeurs propres 7 et. (a) Soit P une parabole adéquate et F son foyer. On a FA = d(a, D) donc F appartient au cercle C de centre A et de rayon d = d(a, D). De plus F D donc F C \ D. Inversement : ok. (b) Notons S le sommet et F le foyer d une parabole adéquate. En notant K le projeté de F sur D, on sait S = m [FK]. Par un paramétrage cartésien, on peut voir que l ensemble des sommets est une ellipse d excentricité e = 3/.

9 [ édité le 4 septembre 06 Corrections 9 Exercice 8 : [énoncé] Plaçons nous dans un repère dans lequel l équation réduite de H est x y =. a b Notons (x 0, y 0 ) les coordonnées de M. L équation de la tangente à H en M est xx 0 yy 0 =, les équations des asymptotes D et D sont y = b a b a x et y = b a x. Ceci permet de former deux systèmes dont les coordonnées (x, y) de A et celles (x, y ) de A sont respectivement solutions. L aire de OAA est alors det( OA, OA ) = xy x y b = xx a avec après calculs xx = a. Finalement l aire du triangle OAA est constante égale à ab. Exercice 9 : [énoncé] On a d(m, C) = AM r et d(m, C ) = A M r Si M est un point extérieur aux cercles C et C alors Par suite d(m, C) = AM r et d(m, C ) = A M r d(m, C) = d(m, C ) A M AM = r et on obtient une branche d hyperbole. Plus précisément, c est la branche contenant A d une hyperbole de foyers A et A. Pour cette hyperbole, a = r/ et c = 3r/. Si M est un point intérieur à l un des cercles C ou C alors d(m, C) = d(m, C ) A M + AM = 3r Sachant AA = 3r, on obtient le segment d extrémités A et A. Exercice 30 : [énoncé] Notons O le centre du cercle C et R son rayon. Soit C un cercle de centre M et de rayon r. Le cercle C est tangent extérieur à C si, et seulement si, OM = R + r. Le cercle est tangent à D si, et seulement si, d(m, D) = r. Finalement C est solution en étant tangent extérieur à C si, et seulement si, OM = d(m, D) + R En introduisant D la droite parallèle à D située à la distance R de D dans le demi-plan opposé à celui contenant O, on obtient la condition OM = d(m, D ) déterminant la parabole de foyer O et de directrice D. L étude des cercles tangents intérieurs est analogue et conduit à une deuxième parabole de foyer O et de directrice la droite D symétrique de D par rapport à D. Exercice 3 : [énoncé] (a) P est la parabole d équation y = ax, c est une parabole d axe vertical. (b) La tangente en M 0 a pour équation y = at 0 (x t 0 ) + at 0 avec x 0 = t 0. La normale en M 0 a pour équation x + at 0 y = t 0 + a t 3 0. (c) On a P(X) = (X t )(X t )(X + t + t ) (d) Trois droites d équations ax + by = c, a x + b y = c, a x + b y = c sont concourantes ou parallèles si, et seulement si, a b c a b c a b c = 0 Le cas de parallélisme étant ici exclu, les normales aux points de paramètres (distincts) t 0, t, t sont concourantes si, et seulement si, at 0 a t 3 0 at a t 3 at a t 3 = 0 i.e. t 0 t 3 0 t t 3 t t 3 = 0 soit encore P(t 0 ) = 0 ce qui revient à t 0 + t + t = 0 L abscisse du centre de gravité du triangle considéré étant (t 0 + t + t )/3, la propriété énoncée est désormais immédiate. Exercice 3 : [énoncé]

10 [ édité le 4 septembre 06 Corrections 0 (a) Soient Γ un cercle passant par F, tangent à C, M son centre et R son rayon. Notons P le point de contact de C et Γ. Puisque Γ passe par F intérieur à C, le cercle Γ est aussi intérieur à C. Par suite les points F, M et P sont alignés dans cet ordre. Puisque MP = R = MF et MF + MP = FP = a on a MF + MF = a Inversement, un point M de l ellipse définie par MF + MF = r est le centre du cercle Γ de rayon R = MF qui est tangent à C et passe par F. (b) Cette fois-ci Γ est à l extérieur du cercle et les points F, M et P sont alignés dans l ordre F, P, M ou M, F, P. On a alors resp. MF MF = a ou MF MF = a d où MF MF = a Inversement, un point de l hyperbole déterminée par MF MF = r est le centre du cercle Γ de rayon R = MF qui est tangent à C et passe par F.