Feuilles d exercices n 2 : corrigé

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1 Feuilles d exercices n : corrigé ECE Lycée Carnot 8 septembre Exercice (*). Il faut résoudre l inéquation x x. Le trinome correspondant a pour discriminant = 9+6 = 5, donc admet deux racines réelles x = +5 = et x = 5 = ]. Le trinome étant positif en-dehors des racines, D f = ; ] [;[.. L exponentielle est là pour faire joli, ce qui est important c est d avoir x+5 >, soit x > 5, donc D f =] 5;[.. Le dénominateur interdit les valeurs et. Reste à vérifier quand le numérateur est positif. C est le cas en-dehors de ses racines et, donc D f =] ; [ ] ;] [;[ ];[.. Il faut déterminer quand x 5 + >, autrement dit quand x 5 >. Or, on sait que x x 5 est une fonction strictement croissante, et que ( ) 5 =, donc x 5 > x > et D f =] ;[. Exercice (* à **). La fonction f estpaire (elle est somme de fonctions puissances paires).. La fonction f est définie sur R et paire puisque x, f( x) = ln( x ) = ln( x ) = f(x).. Cette fonction très laide est paire : elle est définie sur R\{ ;; } (ce qui est sous la racine est toujours strictement positif ; par contre les trois valeurs enlevées annulent le premier dénominateur) et x D f, f( x) = (( x) ( x)) ( x) ( x) + = (x x ) x x + = f(x) car (x x ) = (x x) (prendre la carré d un nombre ou de son opposé donne toujours le même résultat).. Cette fonction est définie sur ] ; [ ];[, et elle est paire : f( x) = ( x) e ( x) + ln(( x) ) = x e x +ln(x ) = f(x). ( ) x 5. Cette dernière fonction est définie sur ] ;[, et elle est impaire : f( x) = ln = ( ) ( ) +x +x ln = f(x) (on a simplement utilisé le fait que ln = lnb). x b Exercice (* à **). f (x) = +x ; on a donc f() = +ln et f () =, et l équation de la tangente recherchée est y = (x )++ln = x+ +ln.

2 . f (x) = +ex e x (+x) (+e x ) = xex (+e x (inutile de s embêter à mettre au même ) dénominateur si on n a pas l intention d étudier ensuite les variations de la fonction). On a donc f() = +e = e +e et f () = e (+e) = e(e+), donc l équation de (+e) la tangente est y = e(e+) e (+e) (x ) + +e = e(e+) e(e+)+( e)(+e) (+e) x + (+e) = e(e+) e+ (+e) x+ (+e).. f (x) = + x x = x + x(x x. La fonction n étant pas définie en, on ne peut pas calculer ) l équation d une tangente qui n existe pas!. f (x) = ex (x ) xe x (x ) = ( x)ex (x. Cette fonction n étant même pas définie en, ) elle ne risque pas d y admettre une tangente, donc on peut arrêter là pour les calculs. 5. On a f(x) = e x lnx, donc f (x) = ( x lnx+ x ) e x lnx = lnx x xx. On a donc f() = et f () =, la tangente est donc horizontale d équation y =. Exercice (** à ***). Commençons par remarquer que l équation n est définie que sur l intervalle ]; [. Avant de passer à l exponentielle, il est indispensable de regrouper les deux ln de gauche pour n avoir qu un seulln de chaque côté, ce qui donneln(x +x ) = ln, doncx +x 7 =. Ce trinôme a pour discriminant δ = +8 =, et admet donc deux racines x + + = +, et x =. La deuxième solution n appartient pas à l intervalle de définition, donc S = { }.. Les puissances quelconques n étant définies que sur R +, on ne travaille qu avec des nombres positifs, et on peut passer au ln : x ln+(x )ln ln, soit (x 8)ln ln, donc x 8ln ln [ [ 8ln ln, donc S = ;. ln ln. Commençons pas signaler que l inéquation n a de sens que si x >, soit x >. Ensuite c est très simple : puisque ] la[ fonction ln est strictement croissante, ln(x ) ln5 x 5 x, donc S = ;.. En faisant passer quelques termes à droite, on obtient x = 5 x+ 5 x = 5 x (5 ) = 5 x, soit en prenant le ln des deux{ côtés (x )ln } = ln+xln5, donc x(ln ln5) = ln, ln ln et x = ln ln5, donc S =. ln ln5 5. Cette équation n a de sens que si x > (on peut éventuellement extrapoler que va aussi être solution de l équation, si on arrive à donner un sens à ). En prenant les ln, on obtient alors xlnx = xln( x) = x lnx ( x, donc lnx x ) =. On en déduit que soit lnx =, c est-à-dire x =, soit x = x, auquel cas on obtient en élevant au carré (on peut, tout est positif) x = x, soit x(x ) =, donc x = ( ayant été exclu dès le départ). Conclusion : S = {;}. 6. Celle-ci est un piège assez vicieux. On ne sait pas vraiment résoudre ce genre d équation, mais on peut constater que x x +x 5 est une fonction strictement croissante sur son domaine

3 de définition ];[, et qu elle prend pour valeur en. Elle ne peut donc pas s annuler plus d une fois et S = {}. 7. Ca doit presque être un réflexe pour ce genre d équations : on pose X = e x et on obtient X +X X =. On constate (comme d habitude) que est racine évidente de l équation, et on peut donc écrire(x +X X ) = (X )(ax +bx+c) = ax +(b a)x +(c b)x c, soit après identification a = ; b = et c =. Reste à résoudre X +X + =, équation ayant pour discriminant = 6 = et pour racines réelles X = + = et X = =. Ces deux dernières valeurs n étant pas très compatibles avec le changement de variable effectué, la seule possibilité restante est e x =, ce qui donne x =, donc S = {}. 8. Posons X = 8 x, on cherche alors à résoudre X X, inéquation ayant pour discriminant = 9+6 = 5, soit deux racines réelles X = 5 = et X = +5 =. On doit donc avoir 8 x. La première inégalité est toujours vérifiée, puisque la puissance est nécessairement positive. Quant à la deuxième, elle devient, en passant au ln, xln8 ln, soit x ln8 ln. Comme ln ln8 = ln 9ln = ], on a donc S = ; ] La deuxième équation du système peut se traduire par log(xy) =, soit, en passant à l exponentielle de base, xy = =. Les réels x et y sont alors solutions de l équation x 5x + =, qui a pour discriminant = 5 =, et admet deux racines réelles x = 5 8 = et x = 5+8 = 5 (notez qu on peut facilement vérifier que ces deux nombres sont solutions du problème posé). On a donc S = {(;5);(5;)}. Exercice 5 (**). La fonction x x+ est strictement décroissante sur R, et l exponentielle est strictement croissante, donc la composée x e x+ est strictement décroissante sur R. De plus, elle est à valeurs dans ];[ (une exponentielle est toujours positive), intervalle sur lequel la fonction inverse est décroissante. Conclusion : x est strictement croissante sur R. Comme e x+ on multiplie ceci par 5, le sens de variation change encore une fois, et f est finalement décroissante sur R.. Soustraire à la fin ne changera pas le sens de variation, concentrons-nous donc sur le carré. La fonction x e x + est strictement croissante sur R, à valeurs strictement positives, et la fonction carré est croissante sur R +, donc f est strictement croissante sur R.. Cette fois-ci c est différent, car e x ne prend pas toujours des valeurs positives. Plus précisément e x x ln. Sur ] ;ln], x e x est donc croissante et à valeurs dans ] ;], intervalle sur lequel la fonction carré est décroissante. La fonction f est donc strictement décroissante sur ] ;ln]. Sur [ln;[, x e x est croissante et à valeurs positives, et cette fois f sera strictement croissante.. Commençons par constater que f n est pas définie partout : e x > e x > x < e. Ensuite, la fonction x x étant strictement décroissante sur ]e;[, et les fonctions exponentielle et ln strictement croissantes sur leurs ensembles de définition, on en déuit facilement que f est strictement décroissante sur ]e;[ 5. Notre dernière fonction est définie si x+ x >, soit D f =] ; [ ];[ (un petit tableau de signe pour le vérifier). Pour obtenir son) sens de( variations, ) il peut être utile de faire la petite x + modification suivante : f(x) = ln ( x+ x = ln x = ln ( + x ). La fonction

4 x étant strictement décroissante sur] ; [ et sur];[, et le logarithme népérien x étant strictement croissant sur son ensemble de définition, la fonction f est donc strictement décroissante sur ] ; [, ainsi que sur ];[. Exercice 6 (* à ***). La fonction f est définie sur R, de dérivée f (x) = e x x et de dérivée seconde f (x) = e x. La fonction f s annule en, donc on obtient pour f le tableau de variations suivant : x f (x) (les limites ne posent pas de difficulté de calcul). Comme >, f est toujours strictement positive, et f est donc strictement croissante sur R. Les limites de f se calculent elles aussi assez facilement : lim = (pas de forme indéterminée ici), et en, on peut ( x f(x) ) écrire f(x) = e x x e x, où la parenthèse a pour limite par croissance comparée, donc lim f(x) =. Pour tracer à la main une courbe représentative correcte, il faudrait calculer x quelques points car on manque cruellement d informations. On peut toujours constater que f() =. En tout cas, la courbe ressemble à ceci :. La fonction f est définie sur ];[, et on peut l écrire sous forme exponentielle f(x) = e xlnx. Elle a donc pour dérivée f (x) = (lnx + )e xlnx. Cette dérivée s annule lorsque lnx =, c est-à-dire pour x = e = ] e, et f est donc décroissante sur ; ] [ [ et croissante sur e e ;. On peut calculer les limites de f : limxlnx = (croissance comparée), donc limf(x) =, et x ( ) x lim f(x) = (pas de problème pour celle-là). Après avoir calculé f = e e ln e = e e, x e on obtient le tableau de variations et la courbe suivants :

5 x e f e e 5. Intéressons-nous pour commencer au domaine de définition de f, et cherchons pour cela les racines du trinome + x + x. Il a pour discriminant = =, donc est toujours du signe de, à savoir positif. La fonction f est donc définie sur R. Elle a pour dérivée f (x) = +x (+x+x ), qui s annule pour x =. Comme lim + x + x ± x =, on a ( ) = ln = ln ln, d où le tableau et la courbe lim f(x) =, et de plus f x ± suivants : x f ln ln. La fonction f est définie sur R, de dérivée f (x) = (x )e x x, qui s annule pour x = ( ). Comme lim x ± x x =, on a lim f(x) =. De plus f = e 5, d où le tableau x ± et la courbe suivants : 5

6 x f e 5 5. Il faut commencer par déterminer le domaine de définition de f, et pour cela faire un joli tableau de signes. Le dénominateur a pour discriminant = 6 =, et admet donc deux racines réelles x = + = et x = =. D où le tableau : x x x + + x x x x x x On a donc D f =] ;[ ];[ ];[. Sur cet ensemble, f a pour dérivée f (x) = (x )(x x+) (x )(x x) (x x+) x x+ (x ) x = x (x x+) x x+ x = x 6(x ) (x x)(x x+). Le dénominateur étant strictement positif sur D f (c est un produit au lieu d un quotient, mais le tableau de signes est exactement celui qu on a fait ci-dessus), f est du signe de x. Par ailleurs, f() = ln = ln Restent quelques limites un peu pénibles à calculer. Les plus faciles sont les limites en et en : quand le numérateur s annule, le quotient à l intérieur du ln tend vers, donc limf(x) = x et limf(x) =. En et, c est à peine plus compliqué : le dénominateur s annule donc le x quotient tend vers (ça ne peut pas être puisque f ne serait pas définie si le quotient prenait des valeurs négatives), et on en déduit que limf(x) = et limf(x) =. Enfin, x x vos souvenirs sur le calculs de limites de Terminale devraient vous permettre de vérifier que la limite du quotient en ± vaut (on factorise par x en haut et en bas), d où lim f(x) =. Ce qui nous donne un tableau et une courbe ressemblant à ceci : x ± x ln f 6

7 Cette fonction est définie sur ];[, et s écrit sous forme exponentielle f(x) = e x lnx. Elle a pour dérivée f (x) = (xlnx + x)e x lnx = x(lnx + )e x lnx. Le facteur x est toujours strictement positif sur D f, seul compte donc le signe de lnx +. Ceci s annule pour x = e =. Le calcul des limites est extrêmement similaire à celui de la deuxième fonction de e ( ) l exercice, au point d ailleurs que les limites sont les mêmes, on a f = e e et on obtient e tableau et courbe : x e f e e 5 Exercice 7 (* à **). x 5 signifie que x 5 ou x 5, d où S =] ; ] [8;[. 7

8 . x { = x + x = x + ou x = x soit x = 6 ou 5x =, et S = 6; } 5. x 8x + = revient à dire que x 8x + = ou x 8x + =. Il ne reste plus qu à résoudre ces deux équations du second degré. La première a pour discriminant = 6 7 = 6, et admet deux racines réelles x = 8 6 = et x = 8+6 = 7. La deuxième a pour discriminant = 6 5 =, et admet deux racines réelles x = 8 = et x = 8+ = 5. Finalement, S = {;;5;7}.. Pas besoin de se fatiguer pour celle-là, le membre de gauche étant manifestement positif (c et une somme de deux valeurs absolues), il ne sera jamais strictement inférieur à, donc S =. 5. Il n y a pas de méthodes fiables pour s en sortir par le calcul, le mieux est donc d écrire l inéquation sous la forme x x +, et de faire un «tableau de signes»pour simplifier le membre de gauche : x x x+ x+ x x+ x x+ x+ x x+ x+ 5x x Comme x+ x [, les réels de l intervalle ] ; sont solutions de l équation initiale (on ne garde bien sûr que les valeurs de x appartenant à l intervalle sur lequel l expression x+ est valide). De même, on a 5x x, donc l intervalle [ ] ; est aussi solution. Enfin, x x, ce qui n ajoute pas de solutions. En regroupant le tout, on obtient donc S = [ ] ;. 6. Ici, difficile d être tenté de faire quoi que ce soit d autre qu un tableau : x 7 x x+ x x x x x x +x +x x 7 x+7 x+7 x+7 x 7 x + x x 7 x x 7 x x+ Ne restent plus qu à résoudre pas moins de quatre équations, et à vérifier si les solutions obtenus appartiennent au bon intervalle à chaque fois : x = x =, solution acceptable; x 7 = x = 9, solution rejetée; x = x = 5, solution acceptable; x+ = x = {, solution rejetée. Bilan : S = ; 5 }. 7. e x < < e x < < e x < ln < x < ln, donc S =]ln;ln[. 8. On peut commencer par constater que le second membre doit être positif pour que l équation puisse avoir une solution, et donc résoudre uniquement sur [5;[. On a alors, en élevant au carré (tout est positif) x = (x 5), soit x = x x + 5 (la valeur absolue à gauche est superflue, ce qui est à l intérieur est positif sur notre intervalle d étude). Reste la très simple équation x = 6, dont la solution n appartient pas à notre intervalle d étude, d où S =. 8

9 Exercice 8 (**). Un petit tableau permet de régler cette question très vite : On a donc x + x+5 = x 5 x x+ x+ x x+5 x 5 x+5 x+5 x + x+5 x 7 x+ x si x 5 7 si 5 x. x+ si x. Cette fois-ci, il suffit d étudier le signe du trinome à l intérieur de la valeur absolue. Celuici a pour discriminant = 5 = et admet deux racines réelles x = 5+ = 6 et x = 5 = ] 6, donc x 5x + = x 5x + si x ; ] [;[, et [ ] x 5x+ = x +5x si x ;.. Il n y a même pas besoin de calculs ici : ln( x ) = ln(x ) si x ] ; [ ];[, et ln( x ) = ln( x +) si x ] ;[ (et si x = ou x =, l expression n est pas définie).. Constatons que x 8x+8 = (x ) = (x ). reste à faire un petit tableau : x x x +x +x (x ) (x ) (x ) (x ) x + (x ) ( + )x+ (+ )x ( )x + Je suis certain que vous serez capable de faire une jolie phrase de conclusion tous seuls si vous le souhaitez. 5. La valeur absolue du dénominateur est totalement superflue puisque celui-ci est toujours strictement positif. On a donc e x+ e x+ = e x e x+ = e x si x ; et e x+ e x+ = si x. Exercice 9 (** à ***). La fonction x x est toujours croissante, et s annule en. De là, il est aisé d obtenir le tableau de variations de f, ainsi que sa courbe : x f 9

10 . Soit p N, les réels antécédents deppar f sont les solutions de l encadrement p x < p+, ce qui revient à p+6 x < p+9. La fonction f prend donc la valeur p sur les intervalles de la forme [p + 6;p + 9[ : elle est nulle sur [6;9[, vaut sur [9;[ etc. Voici sa courbe représentative : 5 5. On commence par étudier variations et signe de ce qui se trouve à l intérieur de la valeur absolue. Le trinome a pour discriminant = 9 8 =, et admet deux racines réelles x = + = et x = =. De plus, x x+ a pour dérivée x, et admet donc un minimum en x =, de valeur =. On en déduit le tableau et la courbe : x f. Si on connait bien son cours, on doit se rappeler y avoir vu que la fonction partie fractionnaire était périodique de période. Or la fonction f n est autre que le carré de la partie fractionnaire,

11 elle est donc également périodique de période, et on peut donc se contenter de l étudier sur l intervalle [;[. Sur cet intervalle, on a Ent(x) =, donc f n est autre que la fonction carré. Finalement, la courbe de f est donc une répétition de morceaux de parabole : 5. La fonction f est définie sur R, mais il vaut mieux essayer de l exprimer de différentes façons selon la valeur de x. Si x, on a f(x) = x + x 9, et la fonction est croissante sur [; [ en tant que somme de deux fonction croissantes. Sur les deux autres intervalles à étudier, les calculs vont être un tout petit peu plus pénibles... Començons par exemple par [ ;], intervalle sur lequel f(x) = x + 9 x. On a sur cet intervalle f (x) = + x 9 x = 9 x x 6. Cette dérivée est positive sur [ ;], mais s annule lorsque 9 x x > et 9 x = x, soit (en passant [ tout au carré)9(9 x ) = x, ou encore8 = x. La ] [ ] 8 8 fonction f est donc croissante sur ;, et décroissante sur ; (pour information, la valeur un peu bizarre vaut environ,5). Ne reste plus qu à s occuper de l intervalle ] ; ], où la fonction est égale à x+ x 9. Un calcul extrêmement similaire au précédent montre que la dérivée s annule lorsque x 9 = x, soit 9(x 9) = x. On obtient donc un 8 autre minimum local pour x = (un peu avant ). On peut même, avec un peu de 5 motivation, calculer les valeurs de nos maxima locaux : f ( 5 9 ) = = = 5 ( ) =,. De même, on obtient f =,8 Voici donc le magnifique tableau de variations et la non moins superbe courbe représentative de la fonction f : x f 5

12 Ici, le plus ( simple ) est de découper R + et R (la fonction n est pas définie en ) selon les valeurs de Ent. Si x >, < x x <, donc f(x) =. Si < x, <, donc f(x) = x. ] x De même, si x ; ], f(x) = x etc. Visuellement, on a quand on se rapproche de des segments de droite de pente de plus en plus forte mais sur une longueur de plus en plus réduite. Du côté négatif, c est[ un peu similaire, mais f n est jamais nulle : f(x) = x sur ] ; [, puis f(x) = x sur ; [ etc. Difficile de tracer entièrement la courbe, mais ça ressemble à ceci : Exercice (***). On a sh(x) = e x = e x, ce qui donne en prenant les logarithmes, x = x, soit x =, donc S = {}.. D sh = D ch = R (puisque la fonction exponentielle est définie partout); et d après la question précédente, D f = R.. Calculons ch( x) = e x +e x = ch(x), donc ch est paire, et sh( x) = e x e x = sh(x) donc sh est impaire. Quant à f, c est le quotient de deux fonction impaires, elle est donc paire (on peut refaire le calcul si on veut).. Calculons donc : sh (x) = ex ( e x ) = ex +e x = ch(x). Cette dérivée est toujours positive (c est une somme de deux exponentielles), donc sh est strictement croissante sur R. Comme elle s annule en, elle est donc négative sur ] ;] et positive sur [;[. Passons à la deuxième fonction : ch (x) = ex +( e x ) = sh(x). D après la remarque que nous venons de faire, ch est donc décroissante sur ] ; ] et croissante sur [; [. 5. Encore un petit calcul : ch(x) sh(x) = ex +e x, donc on a bien ch(x) > sh(x). ex e x = ex +e x e x +e x = e x >

13 6. La tangente à ch en a pour équation y = sh( )(x + ) + ch( ) = e e (x + ) + e +e = e e x + e e,65x,55. Pour sh, on a l équation suivante : y = e +e (x+)+ e e = e +e x+ e + e,75x+, En utilisant les limites de l exponentielle en ±, on obtient sans difficulté lim ch(x) = ; x lim ch(x) = ; lim sh(x) = et lim sh(x) =. x x x 8. Voici les deux courbes demandées : 9. C est un calcul de dérivée de quotient tout simple, à tel point qu il est difficile de le détailler.. On a g (x) = ch(x) ch(x) xsh(x) = xsh(x). On a vu un peu plus haut que sh(x) est toujours du même signe que x, donc xsh(x) est toujours positif, et g (x) est toujours négatif. Autrement dit, g est une fonction décroissante sur R.. Comme on a par ailleurs g() = =, on peut en déduire que f, qui est du même signe que g, est positive sur ] ;[, et négative sur ];[. Si on tient absolument à compléter le tableau de variations, on peut prouver que f a pour limite en et en par croissance comparée. Pour ce qui se passe en, c est l objet de la dernière question ci-dessous.. Oui, mais ce n est pas si facile à calculer! Une astuce est d écrire que f(x) = ex e x = x e x x e x. La première moitié a pour limite x (je rappelle que lim x e x x =, c est une des limites classiques vues en cours). La deuxième moitié tend aussi vers pour la même raison (il suffit de remplacer x par x, qui tend tout autant vers ), donc on a en fait limf(x) =. x