Étude de fonction et de courbes dans le plan

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1 Chapitre Étude de fonction et de courbes dans le plan Dans ce chapitre on étudie le problème suivant : étant donne une fonction donné par f) y, comment tracer approimativement la courbe représentative de cette fonction. On s intéressera aussi au cas de fonction définie de manière paramétrique, i.e. sous la forme t), yt)). Essentiellement ce chapitre est une révision des notions d analyse par leur interprétation géométrique. Revoir les équivalents, les limites et les développements limités, Les nombres complees. Les fonctions classiques d analyse cos, ln, et sin). Le but de chapitre est donc simplement d être capable de réaliser l étude d une fonctions y f), d une courbe paramétrée, seule vraie nouveauté de ce chapitre par rapport à la terminale. $\ CC BY: I Courbe y f) C est le type de courbe le plus simple : une fonction f est donnée par son epression en fonction de la variable. I. Ensemble de définition, d étude et de régularité Déterminer l ensemble de définition Essentiellement, on regarde sur quel intervalle la fonction est définie. Eemple: La fonction f : + est définie sur ], ] [, + [ intervalle sur lequel + est positif ou nul). Déterminer la régularité de la fonction On regarde la régularité de la fonction sur son intervalle de définition.

2 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN Eemple: La fonction f : + est continue sur ], ] [, + [, comme composée de + qui est un polynôme de ], ] [, + [ R +, et y y qui est continue sur R +. Par contre, elle n est dérivable que sur ], [ ], + [, car sur cet intervalle, on a + >. Attention à ne pas oublier les justifications composée, quotient, produit), etc. La meilleure rédaction est de faire un schéma, en indiquant les fonctions qui interviennent dans la composition et les intervalles correspondants. Souvent il s agit de questions simples, pour lesquelles il est demandé une rédaction précise. Attention aussi au cas des fonctions, arccos et arcsin qui ne sont pas dérivables sur tout leur ensemble de définition. Déterminer l intervalle d étude On restreint l intervalle d étude à la partie intéressante, i.e. tout ce qui ne peut pas s obtenir par symétrie. Si la fonction est paire ou impaire, on se restreint à la partie positive. Rappel : on obtient alors la courbe représentative par symétrie par rapport à la droite y cas pair) ou par symétrie de centre, ) cas impaire). Si la fonction est périodique de période T, on l étudie sur une période, et on obtient la courbe par translation de paramètre T. Dans certains cas plus rare), on une symétrie de centre un point a R. C est-à-dire qu on peut trouver un point a R, tel que : ) h R, a + h D f a h D f et fa + h) fa h) Cela revient à dire que la fonction h fa + h) est paire. Alors on peut étudier la fonction que sur D f [a, + [. On obtient le reste de la courbe par symétrie d ae y a. Eactement comme les fonctions paires). Eemple: Pour la fonction f : + On a : + + ) 4. D où f + h) h 4 f h). Comme de plus D f est symétrique autour de, on obtient que la courbe représentative de f est symétrique autour de. Il est important de remarquer ces symétries pour éviter des calculs inutiles et simplifier le raisonnement e. se ramener à des intervalles sur lesquels les fonctions trigonométriques sont bijectives). Étude des points particuliers Si on a vu des points particuliers dans l étude de la régularité, il faut étudier la limite à droite et à gauche de ces points. Ainsi que l eistence de prolongement continu ou dérivable en ces points. Par eemple, on a : Eemple: Pour f : + on a vu que la fonction n était a priori pas dérivable en. Si on regarde le tau de variation, on a : f) f)

3 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 3 Ainsi f n est pas dérivable en et admet une tangente verticale. On parle aussi de demi tangente puisque c est une tangente à droite. Puisque c est vrai en, ce sera aussi vrai en par symétrie de centre. Il est important de rappeler le théorème de prolongement C : Proposition. Soit f telle que : f est continue sur R, f est de classe C sur R, L R, lim f ) L. Alors f est de classe C sur R, avec f ) L. Ainsi, pour prolonger une fonction C, il suffit de calculer la limite de f et non la limite du tau d accroissement. Cette proposition est très utilisé dans le cas où on a prolongée la fonction f par continuité en. I. Variation de f Il s agit essentiellement de tracer le tableau de variation de la fonction f. Étude de f et de son signe Il s agit d étudier les variations de f en utilisant le signe de f. On rappelle que si f > sur un intervalle, alors la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle. Rappelons aussi que l on peut aussi utiliser des théorèmes plus générau somme de fonctions croissantes, produit de deu fonctions positives et croissantes, etc.), de manière à éviter de dériver. Tableau de variations, limites On représente ces données dans un tableau de variation. On y ajoute les limites au bords de l intervalle. Eemple: On regarde f : +. L intervalle de définition est R, il n y a pas de symétrie évidente. On a : Puis + + ±. f ) + )) + ) ). f ) Variations de f + + On a : f) +, et de même en. Note: Cela peut être plus clair de placer les valeurs dans le tableau de variation à la bonne hauteur, de manière à «visualiser» le graphique.

4 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 4 Toujours tracer le tableau de variation avant d utiliser le théorème de la bijection ou des valeurs intermédiaire I.3 Branches infinies Étude des branches infinies Si dans le tableau de variation apparaît les symboles + ou pour ou f)), il y a des branches infinies. Pour une fonction f et sa courbe représentative C f : Si lim + f) a R, alors C f admet une asymptote horizontale en +, idem en. Si lim f) + ou lim f) + alors C f admet une asymptote verticale. Si lim + f) + ou lim + f) + alors on cherche des asymptote oblique qui peuvent eister ou non) : f) Si lim + +, ou alors f tend vers plus vite que, ainsi o f)). On + parle alors de branche parabolique. c est le cas de l eponentiel et de. f) Si lim +, alors f tend vers mois vite que, ainsi f) o + ). On parle alors de branche parabolique de direction asymptotique l ae des abcisses. C est le cas de la fonction ln). Si lim f) a R ), alors on regarde lim + f) a. ) Si on a : lim + f) a + ou, alors Cf admet branche parabolique de direction asymptotique : y a. C est le cas en particulier si f) a + ln. ) Si on a : lim + f) a b R, alors Cf admet pour asymptote : y a. C est le cas en particulier si f) a + b + o). Eemple: Pour la fonction f : + on a : f) + }{{ ± } ± f) Ainsi, on a : lim +. On fait alors la différence ou on ajoute un terme au développement asymptotique) pour obtenir : f) + + ) o ) ) o )) Ainsi, la droite : y + est asymptote à C f en +. De même en on trouve : la droite : y est asymptote à C f en. Enfin, on peut rechercher des asymptotes sous une autre forme que des droites.

5 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 5 Définition. On dit que les courbes représentatives C f C g sont asymptotes l une de l autre) en + ou ), lorsque lim + f) g) ) idem en ), i.e. lorsque La distance entre les deu courbes C f et C g est asymptotiquement nulle. Cette définition permet de comparer la fonction f à des paraboles ou à des fonctions avec des ln ou des ep, et ainsi de donner plus d information sur la vitesse des convergence. Pour déterminer de telle asymptote, il suffit de faire des développements asymptotiques, en utilisant des termes de plus en plus précis. Eemple: Pour la fonction f : , on a en + ) : f) }{{ } + ) + u ) + + u 8 u + u ) } {{ } u 8 }{{} u +o ) ) o ) ) o ) ) o ) Ainsi, asymptotiquement, f) «ressemble» à la parabole Position de la courbe par rapport au asymptotes Une fois ces asymptotes trouvées, il reste à déterminer la position de la courbe par rapport au asymptotes. Si f) et g) sont deu courbes, alors la courbe C f est au dessus de C g si f) g). Dans le cas où g) est l asymptote, on veut donc déterminer le signe de f) g), Cela se fait en «poussant le développement asymptotique» un rang plus loin. Eemple: Soit g) )e intuitivement déjà g) + ). On a : g) )e )e u avec u) + ) + u + + u + ou ) ) ) o ) ) o )

6 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 6 Ainsi, la droite : y est asymptote à C f avec de plus f est au-dessus de C f. Avec toutes ses informations, on peut alors tracer la courbe. Le but étant bien évidement de récapituler toutes ses informations qui doivent être visibles sur le graphique. Ainsi, il faut tracer les tangentes horizontales, les asymptotes, les aes de symétries, les points particuliers etc. Remarque: Cette étude n est pas ehaustive, il faut étudier aussi la concavité signe de la dérivée seconde), les points d infleions points où la dérivée seconde s annule) etc. Enfin, dans le cas où en étudie non pas une fonction mais une suite de fonction f n, ou une famille de fonction f α qui dépend donc d un paramètre α) il faut représenter plusieurs fonctions de cette suite / famille, et regarder les points d intersections etc. II Eemple de + ln ) Soit f : +ln ). On détermine d abords D f : f est définie si )+) est positif donc sur ], [ ], + [. Ainsi, D f ], [ ], + [. Sur cet intervalle, f est C comme composé d un polynôme à valeur dans R + et de ln. Comme elle est paire, on ne l étudiera que sur ], + [. De plus, on a lim f), ainsi, on ne peut pas prolonger en : on a une asymptote verticale :. On a : f ) +, sur ], + [. Donc f est croissante sur R, d autre part, lim + f) +. D où le tableau de variation : Signe de f ) Variations de f En +, on a : f) + ln ) + ln) + ln + ) + + ln) + + o ) Ainsi on a une asymptote en + la fonction g) + ln), et C f est au dessus de C g. En particulier il y a une branche parabolique verticale, puisque f) tends vers +

7 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN III Courbes paramétrées Une courbe paramétrée est la donnée de deu fonctions t), yt)) définies sur un ensemble D R. On trace alors la courbe paramétrée, c est-à-dire l ensemble des points : { t), ) } Γ yt) t D En physique, l interprétation commune est que l on suit un point Mt), dont la position dans le plan dépend du temps, donc du paramètre t. Note: Attention, il peut y avoir plusieurs fonctions qui donne la même courbe paramétrée. Eemple : { t) cost) yt) sint) et { t) cost) yt) sint), t R On dit donc que Γ est le support de la courbe paramétrée définie par le paramétrage t), yt)) Eemple: L eemple le plus simple est celui du cercle : t) cost), t R ou t [, π[ yt) sint) Notons aussi qu une courbe y f) peut être considéré comme une courbe paramétrée, en posant : t) t, t D f yt) ft)

8 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 8 Pour étudier une courbe paramétrée, on étudie donc les fonctions t), yt)) «en parallèle». III. Ensemble de définition, d étude et régularité L ensemble de définition est l intersection des ensembles de définition de chacune des fonctions. D D D y La régularité de la courbe est la régularité commune i.e. le minimum des deu régularité) des deu courbes. On étudie les symétries de la courbe pour réduire l intervalle d étude. Remarque: Attention : la régularité des fonctions n est pas la régularité de la courbe : les fonction, y) peuvent être de classe C et la courbe Γ peut avoir des angles eemple de l astéroïde plus loin). Périodicité Dans le cas où les fonctions t) et yt) sont périodique de même période T, on les étudiera sur un intervalle de longueur T. On a alors : { t), ) } { t), ) } Γ yt) t R yt) t [, T ] Application Le démontrer. Cela signifie que si on représente la courbe pour t [, T ], alors on représenté la courbe sur R entier. Cela provient de : Mt) Mt + T ), donc après une période, on obtient le même point. Eemple: L astroïde est définie par : t) cos 3 t, yt) sin 3 t Le domaine d étude à priori estr, mais comme les deu fonctions sont périodiques, on peut se ramener à [, π], mais aussi à [ π, π]. Parité Comme dans le cas d une fonction la parité permet de restreindre le domaine d étude à R +. Pour cela, on doit pouvoir eprimer le point M t) t), y t) ) en fonction de t), yt) ) Mt). Si et y sont paires, M t) Mt), on obtient alors directement toute la courbe en étudiant sur R +. Si est paire et y est impaire, M t) t), yt) ), on étudie alors sur R +, puis on obtient toute la courbe par symétrie d ae l ae horizontal. Si est impair et y est paire, M t) t), yt) ), on étudie alors sur R +, puis on obtient toute la courbe par symétrie d ae l ae vertical. Si et y sont paires, M t) Mt), on étudie alors sur R +, puis on obtient toute la courbe par symétrie de centre, ).

9 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS ) LE PLAN ) 9 ) Eemple: Pour l astroïde on a : M t) cos 3 t), sin 3 t) cos 3 t), sin 3 t) t), yt). On étudie donc la courbe pour t [, π], puis on complète par symétrie d ae l ae horizontal. Pour la courbe : ) t) t + t) t R yt) t t, on a : M t) t ), t + ) ) ) t), yt). t t Ainsi, on obtient la courbe en étudiant sur R +, puis on complète par symétrie de centre, ). Autres diminution Diverses symétries permettent aussi de diminuer l intervalle d étude. Eemple: Toujours sur l astroïde, t) cos 3 t, yt) sin 3 t on a déjà réduit l intervalle à [, π], mais de plus, on voit facilement que Mπ t) t), yt) ), donc on peut se contenter d étudier sur [, π ], puis compléter par symétrie d ae vertical. Il est aussi clair que M π t) yt), t)), donc on peut étudier sur [, π 4 ], puis compléter par symétrie d ae : y. Eemple: Pour la fonction : ) t) t + t) yt) t t, t R + ) ) on voit que M t t), yt). On peut donc étudier sur ], ], puis compléter par symétrie d ae horizontal. D une manière générale, il est important de remarquer ces symétries. Pour retrouver les aes de symétries, il suffit de faire un dessin. Pour reconstruire la courbe totale, il faut faire toutes les symétries dans l ordre inverse de celle obtenue à chaque diminution de l intervalle d étude. Le plus simple est de suivre l intervalle dans lequel varie t. Eemple: Pour l astroïde, on construit :. la courbe pour t [, π 4 ],. on complète par symétrie d ae : : y pour obtenir t [, π ], 3. on complète par symétrie d ae vertical pour obtenir t [, π], 4. on complète par symétrie d ae horizontal pour obtenir t [, π], 5. on a alors obtenu toute la courbe pour t R.

10 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN III. Variation de, y) On dérive ensuite et y de manière à obtenir leur variation sur l intervalle d étude. On obtient de plus les tangentes : ) Proposition. Soit Mt ) Γ, un point de la courbe paramétrée tel que M t ) t ), y t ), alors Γ admet une tangente au point Mt ), dirigée par le vecteur ) T t ) t ), y t ). Un tel point est dit régulier. Démonstration. Sans que ce soit une vraie preuve, on a : [ ] [ ] t ) ǫ h) h >, Mt + h) Mt ) + h y + h t ) ǫ h) avec : lim ǫ h) et lim ǫ h) h h Remarque: L étude des points irréguliers est hors-programme. La seule question que l on peut avoir est de calculer des limites ou de faire des développements limités), puis il est indiqué sur l énoncé : «on admetra que...». On rassemble ses informations dans un unique tableau de variation. Si des points particuliers apparaissent, on les signale dans le tableau. Dans le cas où un point n est particulier que pour l une des fonctions, on donne alors la valeur de l autre fonction en ce point. Eemple: Pour l astroïde, on a : t) 3 cos t sin t, y t) 3 cos t sin t. On a donc le tableau de variation : t π 4 Signe de t) Variation de t) 4 4 Signe de y t) Variation de yt) Points particuliers + A 4 4 B

11 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN On ne sais pas quelle est la forme de la tangente en A, ), mais on a : t) cos 3 t) 3 t + ot3 ) }{{} u) 3 u u 3u + ou)) 3u + ou) t 3 t + ot ) et : yt) sin 3 t) t t t t t t t3 + ot4 ) ) 3 3 t 3 t + ot3 ) }{{} t 3 + o)) t 3 + o)) t 3 + ot 3 ) yt) Ainsi, t), on admet que cela prouve que la la tangente au point A M), ) est horizontale. Le point B M ) ) π 4 est régulier, la tangente est dirigée par le vecteur,. Eemple: Pour la fonction : ) t) t + t) yt) t t, on a : t) y t) t ) + t ) > t t < sur ], ] Il est clair de plus que lim t + t) + et lim t + yt). D où le tableau de variation :

12 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN t Signe de t) Variation de t) Signe de y t) Variation de yt) Points particuliers + + A On voit que la tangente au point A est horizontale. III.3 Étude des branches infinies Cette partie est aussi hors programme. On peut avoir des calculs de limites mais la conséquence sur les branches infinies est admises. Eemple: Pour la courbe, ) t) yt) t + t t t On a : t) t + t, et yt) yt) t + t, d où on voit que t). D où l idée de calculer : t + yt) + t) t. On admet que cela implique que la droite : y est asymptote oblique à Γ. t + ). III.4 Tracé de la courbe Γ Avec toutes ses informations on trace alors la courbe en faisant apparaître le maimum d information. Les figures. et. montrent l astroïde et la courbe : ) t) t + t Γ : ) yt) t t. III.5 Eemple des courbes de Lissajous Soit : ) θ) sin θ 3 Γ : ). yθ) sin θ Il est clair qu il s agit d une courbe définie sur R, et C sur R. Pour le domaine d étude on a :

13 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 3 Figure. L astroïde Figure. La courbe Γ

14 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 4 θ) et yθ) sont π périodique, et impaires, on se restreint donc à θ [, 6π], on a : 6π θ) sin π θ ) θ), et 3 6π θ) sin 3π θ ) yθ). On va donc se restreindre à θ [, 3π], les valeurs pour θ [3π, 6π], étant obtenues par symétrie d ae vertical. donc on étudie sur [, 3π]. On a : θ) 3 cos θ 3 y θ) cos θ. Puis on a : θ) > si θ [, 3π [, et y θ) > si θ [, π[. D où le tableau de variation : θ Signe de θ) π 3π π 3π 3 + Variation de θ) 3 3 Signe de y θ) Variation de yθ) Points particuliers + O A B C D Au point A 3, ) la tangente est horizontale, et en B, ), la tangente est verticale. Enfin en O, ), la tangente est dirigé selon 3, ). D où le graphique figure.3

15 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 5 y Figure.3 Courbe de Lissajou

16 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 6 Feuille d eercices Étude de fonctions et de courbes dans le plan BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Eercice Ecricome On considère la fonction f définie sur R par :. Montrer que f est continue sur R +. ln si f) si. Étudier la dérivabilité de f en. En donner une interprétation graphique. 3. Étudier la conveité de f sur R +, puis dresser son tableau de variations. 4. Étudier la nature de la branche infinie, tracer l allure de la courbe représentative de f. 5. Montrer que f réalise une bijection de R + sur un intervalle J que l on précisera. 6. Quel est le sens de variation de f? Dresser son tableau de variations. 7. Justifier que pour tout entier naturel k, il eiste un unique réel positif k tel que f k ) k. a) Donner un encadrement de à la calculette). b) Donner un encadrement de et de à.5 près. c) Eprimer k à l aide de f puis justifier que la suite k ) k N est croissante et déterminer sa limite lorsque k tend vers +. Eercice École de hautes études commerciales du nord Pour tout entier naturel, on définit la fonction f n par : R, f n ) +e + n. On appelle C n ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé, i, j ).. a) Déterminer pour tout réel, f n) et f n). b) En déduire que la fonction f n est strictement croissante sur R.. a) Calculer lim f n ) ainsi que lim + f n ). b) Montrer que les droites D n ) et D n ) d équations y n et y n + sont asymptotes de C n ). c) Déterminer les coordonnées du seul point d infleion, noté A n de C n ). d) Donner l équation de la tangente T ) à la courbe C ) en A puis tracer sur un même dessin les droites D ) D )et T ) ainsi que l allure de la courbe C. 3. a) Montrer que l équation f n ) possède une seule solution sur R notée u n. b) Montrer que l on a : n N, n < u n <. c) En déduire la limite de la suite u n ). d) En revenant à la définition de u n, montrer que u n n + n.

17 CHAPITRE. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 7 Eercice 3 Leminscate de Bernoulli Étudier et tracer : t) t +t 4, t R yt) t3 +t 4 Eercice 4 Oral de l Agro Soient, i, j ) un repère orthonormé de R et Γ la courbe paramétrée de R : R R t) t yt) cost) cos 3t) 5. Déterminer la plus petite période strictement positive) commune au fonctions : t cost) et t cos ) 3t 5 Donner un eemple d intervalle I de la forme [, a] où a est une réel strictement positif) sur lequel il suffit d étudier les fonctions et y pour obtenir toute la courbe.. Un logiciel donne la partie du tracé correspondant à t [, 5π ] : Indiquer en le justifiant le tracé de Γ pour tout t I. 3. Pour quelle valeur du paramètre t I la courbe passe-t-elle par l origine? Déterminer l équation de la tangente de Γ en.