Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré"

Transcription

1 Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré 1 Rappels 1. Carré d une somme : 2. Carré d une différence : 3. Différence de deux carrés : Pour tous réels a et b, a + b) 2 = Pour tous réels a et b, a b) 2 = Pour tous réels a et b, a b)a + b) = Fonctions polynômes et rationnelles Définitions : Soit a 0 et p un entier naturel et une variable réelle x : l expression ax p est appelée monôme de degré p. On appelle polynôme toute expression pouvant s écrire comme somme de monômes. On appelle fraction rationnelle toute fonction pouvant s écrire comme quotient de deux polynômes. Remarques 1. Lorsque p = 0, l expression ax p est en fait constante : elle ne dépend plus de la variable x et vaut : On peut écrire des monômes, des polynômes de plusieurs variables x, y, z,... Par exemple : 2x 3 y, 5 + y 4 + 2xz 2. Exercice 1 : Développer et réduire les expressions suivantes. ) Ces fonctions sont-elles des polynômes? a) x 2 Px) = x 2 + 2)x 3) 2x b) Qx) = + x. 3 Théorème [admis] et définitions : Tout polynôme P non nul possède une unique écriture de la forme : Px) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 où n N, a n R {0} et a i R, pour tout i {0,...,n 1}. L entier n est appelé degré de P et se note deg P ou d P. a i est le coefficient du monôme de degré i dans P. Remarques 1. L expression a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 se note plus correctement 2. Une fonction constante est un polynôme de degré... ; une fonction affine est un polynôme de degré.... n a i x i. Exercice 2 : Déterminer le degré, ainsi que les coefficients, des polynômes de l exercice 1. Exercice 3 : On considère la fonction rationnelle f définie sur R {2} par fx) = x2 3x + 1. x 2 Prouver qu il existe trois réels a, b et c tels que pour tout x 2, fx) = ax + b + c x 2. Définition : Soit P un polynôme. On appelle racine de P tout réel a tel que Pa) = 0. i=0 Exercice 4 : Déterminer la valeur de m de sorte que le polynôme x 2 mx + 3 admette 1 pour racine. 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 1/7

2 3 Trinômes du second degré 3.1 Définitions Définition : On appelle polynôme ou trinôme) du second degré toute expression pouvant s écrire sous la forme ax 2 + bx + c, où a, b et c sont trois nombres réels, a non nul. Ainsi, les expressions x 2 a =..., b =..., c =...), x 2x 2 3x 1 a =..., b =..., c =...), 16 4x 2 a =..., b =..., c =...), x 3) 2 a =..., b =..., c =...) sont des fonctions trinômes du second degré. Définition : Soit ax 2 + bx + c un trinôme du second degré, alors on note, et on appelle discriminant du trinôme, le nombre = b 2 4ac 3.2 Forme canonique Théorème : Soit fx) = ax 2 + bx + c un trinôme du second degré. Alors fx) peut s écrire sous la forme suivante, dite forme canonique du trinôme, fx) = ax α) 2 + β où α = b et β = fα) = 4a Exercice 6 : Si fx) = 2x 2 8x on commence par factoriser a dans les deux premiers termes : fx) = 2x 2 4x) dans la parenthèse, on reconnaît le début du développement d un carré : x 2 4x +... = x...) 2 3. on en déduit une nouvelle façon d écrire l expression entre parenthèses : x 2 4x = x...) on remplace dans l expression de départ : fx) = 2 [ x...) 2... ] on termine en faisant fx) = 2x...) = 2x...) IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 2/7

3 4 Etude des fonctions trinômes 4.1 Courbe représentative Représentation graphique d une fonction trinôme du second degré : Soit f la fonction trinôme du second degré définie par fx) = ax 2 +bx+c, et soit C f sa courbe représentative. Soit P la parabole d équation y = ax 2 ). On obtient C f en appliquant à P une translation de vecteur b ı 4a j. Ainsi, C f est elle-même une parabole. La droite d équation x = b est axe de symétrie de C f. Exercice 7 : On veut représenter la fonction f définie par fx) = 2x 2 8x + 11 = 2x...) , alors il suffit d appliquer une translation de vecteur... ı +... j à la parabole d équation y = 2x 2 ) P 2 1 j ı Variations On peut déduire des tableaux de de la fonction x ax 2 le tableau de de la fonction f ; cela dépend du signe de a : Si a > 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le... de x ax 2 de x fx) Si a < 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le... de x ax 2 de x fx) 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 3/7

4 5 Factorisation d un trinôme du second degré On se donne le trinôme du second degré Tx) = ax 2 + bx + c = 0. La forme canonique du trinôme T est donnée par Tx) = a x + b ) 2 4a où = b 2 4ac est le discriminant du trinôme. On peut l écrire également sous la forme suivante en factorisant le coefficient dominant a) : [ Tx) = a x + b ) ] 2 4a 2 Il est alors, dans certains cas, possible de factoriser l expression entre crochets : si le discriminant est négatif, alors l expression entre crochets n est pas factorisable. si le discriminant est nul, alors le trinôme T est déjà factorisé, puisqu il s écrit Tx) = a x + b ) 2 si le discriminant est positif, alors l expression entre crochets est du type A 2 B 2, avec A = ) x + b et B =. On a alors la factorisation suivante de la forme A B)A + B)) : Tx) = a x + b ) + x + b ) Pour résumer : si Tx) = ax 2 + bx + c, de discriminant = b 2 4ac Si < 0 Si = 0 Si > 0 pas de Tx) = a x α) 2 Tx) = ax x 1 )x x 2 ) Factorisation de T : factorisation où α = b possible où x 1 = b et x 2 = b+ Exercice 8 : Factoriser si possibles les expressions suivantes : Tx) = 2x 2 5x + 7 : = Tx) = 3x x 27 : = Tx) = 5x 2 x 4 : = IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 4/7

5 6 Résolution algébrique des équations du second degré Grâce aux résultats précédents, on établit une procédure de résolution des équations du type ax 2 +bx+c = 0 : nous savons que cette équation peut s écrire sous la forme [ a x + b ) ] 2 4a 2 = 0 si le discriminant est négatif alors l expression entre crochets est égale à un carré 2) x + ) b auquel on ajoute un nombre strictement positif 4a ). 2 Cette expression entre crochets ne pourra donc jamais être égale à 0 ; autrement dit, l équation ax 2 +bx+c = 0 n a pas de solution dans R. si le discriminant est nul alors l équation peut s écrire a x + b ) 2 = 0 ce qui nous permet d affirmer que l équation ax 2 + bx + c = 0 n a qu une seule et unique solution dans R, qui est : b. si le discriminant est positif alors le trinôme ax 2 + bx + c peut se factoriser, et l équation devient a x + b ) + x + b ) = 0 ce qui nous donne deux solutions distinctes dans R, qui sont : b et b+ Pour résumer : si Tx) = ax 2 + bx + c, de discriminant = b 2 4ac, et que l on veut résoudre l équation Tx) = 0 : Si < 0 Si = 0 Si > 0 Résolution de Tx) = 0 : solution α = b pas de Une seule solution : Deux solutions distinctes : dans R x 1 = b x 2 = b + Exercice 9 : Résoudre dans R les équations suivantes 2x 2 5x + 2 = 0 : = x 2 + x 1 = 0 : = IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 5/7

6 7 Signe du trinôme Résolution algébrique des inéquations du second degré On utilise à nouveau les résultats acquis dans le paragraphe 4 pour déterminer le signe du trinôme Tx) = ax 2 + bx + c selon les valeurs de x : si le discriminant est négatif alors Tx) = a [ x + b ) ] 2 4a 2 et l expression entre crochets est égale à un carré 2) x + ) b auquel on ajoute un nombre strictement positif 4a ). Cette expression entre crochets est donc strictement positive ; autrement dit, le trinôme 2 Tx) est du même signe que son coefficient dominant a. Signe de Tx) si le discriminant est nul alors le trinôme peut s écrire Tx) = a x + b ) 2 Cette expression, on l a vu, est nulle pour x = α = b. Mais pour les autres valeurs du nombre x, cette expression est un carré 2) x + ) b multiplié par un nombre réel a ; on peut en déduire que ce trinôme sera alors du même signe que son coefficient dominant a. x α + Signe de x α) 2 Signe de Tx) = ax α) 2 si le discriminant est positif alors le trinôme ax 2 +bx+c peut se factoriser, et le trinôme peut s écrire Tx) = a x + b ) + x + b ) Il est alors possible de compléter un tableau de signes : les valeurs frontières sont les racines x 1 = b et x 2 = b+, et on a en supposant que x 1 < x 2, sinon il n y a quà inverser) : x x 1 x 2 + Signe de x x 1 Signe de x x 2 Signe de Tx) = ax x 1 )x x 2 ) 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 6/7

7 Exercice 11 : Résoudre dans R les inéquations suivantes : 3x 2 5x + 2 > 0 =... On a donc... racines) :... Tableau de signes du trinôme Tx) = 3x 2 5x + 2 : Signe de Tx) L ensemble des solutions de cette inéquation est donc donné par... x 2 + x 2 0 =... On a donc... racine. Tableau de signes du trinôme Tx) = x 2 + x 2 : Signe de Tx) L ensemble des solutions de cette inéquation est donc donné par... 1 IB MATH SL Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Page 7/7

1.1 Définition. 1.2 Déterminer la forme canonique. 1.3 Remarques importantes

1.1 Définition. 1.2 Déterminer la forme canonique. 1.3 Remarques importantes 1. Fonction du second degré 1.1 Définition Une fonction f définie sur R dont l expression peut se mettre sous la forme = ax 2 +bx +c (où a, b et c sont des réels avec a non nul) est une fonction du second

Plus en détail

D. CRESSON. 15 octobre D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre / 8

D. CRESSON. 15 octobre D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre / 8 Polynômes D. CRESSON 15 octobre 2008 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 1 / 8 I fonction polynôme On appelle monôme, une expression du type ax n, où n est un entier naturel, a une constante

Plus en détail

CHAPITRE 01 LES FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ

CHAPITRE 01 LES FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ CHAPITRE 01 LES FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ I OBJECTIFS L objectif de ce chapitre est de maîtriser parfaitement les fonctions polynômes du second degré, différentes formes, racines du polynôme,

Plus en détail

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ On appelle fonction polynôme, toute fonction f définie sur IR pour laquelle, il existe un entier naturel n et des réels a 0 ; a ; a 2 ;... ; a n avec a n 0 tels que : f(x) = a 0

Plus en détail

Les polynômes du second degré. Niveau : Première S. Vincent OBATON, Enseignant de mathématiques au lycée Stendhal de Grenoble

Les polynômes du second degré. Niveau : Première S. Vincent OBATON, Enseignant de mathématiques au lycée Stendhal de Grenoble Les polynômes du second degré Niveau : Première S Vincent OBATON, Enseignant de mathématiques au lycée Stendhal de Grenoble 1 I. Les trinômes du second degré 1. Grille d'auto-évaluation AN01 AN0 AN03 A

Plus en détail

Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré

Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré Extrait du programme : I. Forme canonique d un polynôme du second degré Définition : Dire qu une fonction f définie sur est une fonction polynôme de degré

Plus en détail

Fonction carrée Problèmes du second degré

Fonction carrée Problèmes du second degré Fonction carrée Problèmes du second degré Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Quelques rappels 2 1.1 Les identités remarquables........................................ 2 1.2 Développement..............................................

Plus en détail

Exercice corrigé application de la dérivée. 1 er décembre 2010

Exercice corrigé application de la dérivée. 1 er décembre 2010 application de la dérivée 1 er décembre 2010 Enoncé On considère la fonction f définie sur R par : f : x 6x 3 3x 2 + 1 2 x + 24 1 Étudier les variations de f. 2 Justifier que l équation f(x) = 0 admet

Plus en détail

Fonctions polynômes du second degré Trinômes Résolutions d équations et d inéquations, factorisations et étude de trinômes

Fonctions polynômes du second degré Trinômes Résolutions d équations et d inéquations, factorisations et étude de trinômes Fonctions polynômes du second degré Trinômes Résolutions d équations et d inéquations, factorisations et étude de trinômes Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes

Plus en détail

Chapitre 7 : Exercices d approfondissement

Chapitre 7 : Exercices d approfondissement Chapitre 7 : Exercices d approfondissement Corrigés des exercices du chapitre 7 Exercice I Dans chaque cas, on va travailler avec la forme la plus adaptée aux données. Ici, on connaît le sommet S (3 ;

Plus en détail

0.2.3 Polynômes Monômes Opérations entre monômes... 4

0.2.3 Polynômes Monômes Opérations entre monômes... 4 Table des matières 0 Rappels sur les polynômes et fractions algébriques 1 0.1 Puissances............................................... 1 0.1.1 Puissance d un nombre réel.................................

Plus en détail

Exercices supplémentaires Second degré

Exercices supplémentaires Second degré Exercices supplémentaires Second degré Partie A : Forme canonique, équations, inéquations, factorisation Mettre sous forme canonique les trinômes suivants 8 ; 3 1 ; 5 ; 3 4 Exercice On considère : 5 6

Plus en détail

Notions d algèbre. ( ) m, sauf si a < 0 et n pair. ANNEXE. Définition. Produits remarquables Carré d une somme. Théorème

Notions d algèbre. ( ) m, sauf si a < 0 et n pair. ANNEXE. Définition. Produits remarquables Carré d une somme. Théorème Exposants et radicaux Exposant Si n est un nombre entier positif, et a un nombre réel, alors le produit de a par lui-même n fois est noté : a a a... a 14 2 34 = an n fois où n est appelé l exposant et

Plus en détail

Les fonctions polynômes du second degré définies par des formules de la

Les fonctions polynômes du second degré définies par des formules de la LE SECOND DEGRÉ Chapitre 1 I) Une transformation incontournable : la forme canonique Application 1 : factorisation éventuelle d une expression du nd degré Application : résolution des équations du nd degré

Plus en détail

LEÇON N 17 : Équations du second degré à coefficients réels ou complexes.

LEÇON N 17 : Équations du second degré à coefficients réels ou complexes. LEÇON N 17 : Équations du second degré à coefficients réels ou complexes Pré-requis : Nombres complexes : définition et propriétés ; Notions d anneaux, de corps ; Théorème de Liouville) 171 Équations du

Plus en détail

CHAPITRE 1 EQUATIONS ET INEQUATIONS

CHAPITRE 1 EQUATIONS ET INEQUATIONS CHAPITRE 1 EQUATIONS ET INEQUATIONS 1- EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE La forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue est Ax = B où A et B sont des constantes et x l'inconnue.

Plus en détail

Fonctions polynômes Définition et factorisation Exercices corrigés

Fonctions polynômes Définition et factorisation Exercices corrigés Fonctions polynômes Définition et factorisation Exercices corrigés Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Les fonctions numériques suivantes sont-elles des fonctions polynômes? Correction de l exercice

Plus en détail

Étude des fonctions polynômes du second degré

Étude des fonctions polynômes du second degré Étude des fonctions polynômes du second degré Définitions Définition d une fonction polynôme de degré 2 Une fonction, définie sur est une fonction polynôme de degré 2 lorsqu il existe trois réels et avec

Plus en détail

S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D UN POLYNOME MESURANT LES COTES D UN TRIANGLE

S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D UN POLYNOME MESURANT LES COTES D UN TRIANGLE S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D UN POLYNOME MESURANT LES COTES D UN TRIANGLE Equations de degré 3 Soit P X) = X 3 + bx 2 + cx + d un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On peut écrire P

Plus en détail

LES FONCTIONS. Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y.

LES FONCTIONS. Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. LES FONCTIONS I - RAPPELS I-1 - Définition Une fonction est une application qui pour tout «x» appartenant à I associe un unique «y» appartenant à J tel que f(x)=y. L ensemble des point tel f(x)=y est représenté

Plus en détail

6. Exercices et corrigés

6. Exercices et corrigés . Exercices et corrigés n 1 p.8 : Dans chacun des cas suivants, écrivez le trinôme fx) sous sa forme canonique. a) fx) x + x b) fx) x + x c) fx) x + x 1 d) fx) xx ) Corrigé du n 1 p.8 : Dans chacun des

Plus en détail

Polynômes du second degré et fonctions homographiques 2nde

Polynômes du second degré et fonctions homographiques 2nde Fonctions de référence Polynômes du second degré et fonctions homographiques 2nde Table des matières I. Fonctions homographiques...1 A. La star de la famille : La fonction inverse (Normalement vous connaissez

Plus en détail

EQUATIONS ET INEQUATIONS : rappels

EQUATIONS ET INEQUATIONS : rappels Chapitre 3 EQUATIONS ET INEQUATIONS : rappels 3.1 EQUATIONS 3.1.1 Remarques importantes 1. Considérons l équation (x 2)x = 3(x 2) (3.1) (a) Si on divise les deux membres de l équation (3.1) par x 2, on

Plus en détail

Fonctions de référence, cours, première S

Fonctions de référence, cours, première S Fonctions de référence, cours, première S F.Gaudon 8 mai Table des matières Fonction carré Fonction inverse Fonction racine carrée 4 Fonctions anes 5 Fonctions polynômes 4 5. Dénitions............................................

Plus en détail

RAPPELS SUR LES FONCTIONS

RAPPELS SUR LES FONCTIONS T ale STI Fonctions : rappels 008/009 RAPPELS SUR LES FONCTIONS Table des matières I Fonctions affines I. Variations............................................... I. Signe deax +b............................................

Plus en détail

On factorise par a : et on remarque que x 2 + b a x = x2 + 2 b. EXERCICE N O 2 Donner la forme canonique des expressions suivantes :

On factorise par a : et on remarque que x 2 + b a x = x2 + 2 b. EXERCICE N O 2 Donner la forme canonique des expressions suivantes : CAL1 1 DU CÔTÉ DU SECND DEGRÉ TRAVAILLER AVEC DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 U 3 CADRE DE TRAVAIL ET/U NTATINS) UTILISÉES) Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, a, b c désigneront trois réels avec notamment

Plus en détail

SECOND DEGRE ACTIVITES

SECOND DEGRE ACTIVITES SECOND DEGRE ACTIVITES Activité 1 : Forme canonique d un polynôme de degré 2. Définition : f est une fonction polynôme de degré 2 définie sur par : f ( x) ax² bx c ( a 0 ). Nous montrerons à la fin de

Plus en détail

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan Pour démarrer la classe de terminale S Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S Paul Milan 8 novembre 015 Table des matières 1 Second degré 7 1 Forme canonique............................. 7 Racines du

Plus en détail

Equations et inéquations

Equations et inéquations 1. Equations polynomiales CHAPITRE Equations et inéquations Partie A : Equations Définition. Une équation polynomiale d'inconnue est une équation de la forme (ou équivalente à) p ( ) =, où p est un polynôme

Plus en détail

Correction Composition de mathématiques n 1

Correction Composition de mathématiques n 1 Page1 Correction Composition de mathématiques n 1 Exercice 1 Soit la fonction f définie sur [ 10 ; 7] par f(x) = x² + 2x + 3 1. Trouver la forme factorisée de f(x). a = 1 ; b = 2 ; c = 3 = 2² 4 ( 1) 3

Plus en détail

2 Calculer la valeur d une expression littérale

2 Calculer la valeur d une expression littérale 1 Expressions littérales OBJECTIF 1 DÉFINITION Une expression littérale est un calcul contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres. Une expression littérale peut servir à décrire une méthode

Plus en détail

FICHE METHODE sur les EQUATIONS de DEGRE DEUX I) A quoi sert une équation de degré 2?

FICHE METHODE sur les EQUATIONS de DEGRE DEUX I) A quoi sert une équation de degré 2? FICHE METHODE sur les EQUATIONS de DEGRE DEUX I) A quoi sert une équation de degré 2? Exemples : 1 Je veux une piscine carrée d aire égale à 40m²! Quelle doit-être la mesure du coté du carré? x² = 40 2

Plus en détail

NOM : SECOND DEGRE 1ère S

NOM : SECOND DEGRE 1ère S Exercice 1 Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que AD = BE = x. Déterminer x pour que l aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle

Plus en détail

Fiche d exercices 2 : équations et inéquations

Fiche d exercices 2 : équations et inéquations Document disponible à http://www.univ-montp3.fr/miap/ens/aes/xa0m/index.html. XA0M méthodologie Année 2003 2004 Fiche d exercices 2 : équations et inéquations Principes généraux Résolution des équations

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Généralités 1.1 Définitions................................................. 1. Règles de calcul dans C.........................................

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

Concours externe pour le recrutement de contrôleurs stagiaires de l INSEE

Concours externe pour le recrutement de contrôleurs stagiaires de l INSEE Concours externe pour le recrutement de contrôleurs stagiaires de l INSEE Exercice 1 Partie A Correction (non officielle) de l épreuve de Mathématiques et de Statistiques du 29/01/2013 Nicolas ZERR 1)

Plus en détail

Chapitre 1 Les nombres complexes

Chapitre 1 Les nombres complexes Chapitre 1 Les nombres complexes A) Définition et propriétés de base (rappels) 1) Définition a) On appelle C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe s'écrit z a bi, où a et b sont des réels

Plus en détail

TP 4 : Polynômes et Fractions rationnelles

TP 4 : Polynômes et Fractions rationnelles TP 4 : Polynômes et Fractions rationnelles Définitions Une fonction polynôme est une fonction P : définie par une expression du type : P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +... + a 1 x + a 0 - Les nombres a 0,...,a

Plus en détail

Calcul littéral, équations, inéquations

Calcul littéral, équations, inéquations Calcul littéral, équations, inéquations 1) Calcul littéral a. Égalités des expressions littérales Des expressions sont littérales quand elles sont écrites avec des lettres. Elles sont égales quand elles

Plus en détail

Trinôme du second degré -

Trinôme du second degré - Trinôme du second degré - La calculatrice est autorisée. Correction 1S Khôlle n o 1 Corrigé de l exercice 1 Donner la forme canonique de chacun des trinômes du second degré ci-dessous : A(x) = 9x + 18x

Plus en détail

Chapitre VI : Complexes (1) Forme algébrique

Chapitre VI : Complexes (1) Forme algébrique Forme algébrique. Ensemble des nombres complexes. Notion de nombres complexes Théorème l existe un ensemble, noté, appelé ensemble de nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : R l addition

Plus en détail

Équations à une inconnue en 3 e

Équations à une inconnue en 3 e Équations à une inconnue en 3 e par Z, auctore 1. Premier degré. En classe de 4 e, on a appris à résoudre un certain nombre d équations. Dans cette section, on rappelle une méthode de résolution. Elle

Plus en détail

Fonctions dérivées Applications

Fonctions dérivées Applications Fonctions dériées Applications Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 04/05 Table des matières Quelques rappels. Nombre dérié Tangente......................................... Notion de fonction dériée.........................................3

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

Formulaire des fonctions usuelles

Formulaire des fonctions usuelles Université d Orléans Formulaire des fonctions usuelles Licence 1 de Mathématiques Groupe 2 Baptiste Morelle 29/09/2008 Page 1 sur 28 Page 2 sur 28 Table des matières Fonctions particulières... 4 Fonction

Plus en détail

LA FONCTION " CARRÉ " et LE SECOND DEGRÉ

LA FONCTION  CARRÉ  et LE SECOND DEGRÉ Index I- Définition... 1 I-1 Rappel... 1 I-2 Définition:... 2 II- Une propriété de la fonction carré:... 2 II-1 Observation... 2 Remarque et définition:... 2 II-2 Interprétation graphique de cette propriété...

Plus en détail

Etude de la fonction bénéfice B telle que B(x) = -9x² + 450x 4050 pour un prix des places x variant de 0 à 50 : x [0 ; 50]

Etude de la fonction bénéfice B telle que B(x) = -9x² + 450x 4050 pour un prix des places x variant de 0 à 50 : x [0 ; 50] Fonctions du second degré - Exemple d étude d un problème. Activité. La recette R(x) d un spectacle dépend du prix x de la place suivant la relation R(x) = 450x 9x². Pour chaque spectacle, les frais fixes

Plus en détail

Thème 9: Division de polynômes et fractions rationnelles

Thème 9: Division de polynômes et fractions rationnelles DIVISION DE POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES 15 Thème 9: Division de polynômes et fractions rationnelles 9.1 Valeur numérique d un polynôme Définition : On appelle valeur numérique d un polynôme p(x)

Plus en détail

FONCTONS USUELLES - INTRODUCTION

FONCTONS USUELLES - INTRODUCTION FONCTONS USUELLES - INTRODUCTION Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page perso JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de seconde générale

Plus en détail

Formules importantes pour la fonction quadratique

Formules importantes pour la fonction quadratique Formules importantes pour la fonction quadratique Avec la forme générale f(x) = ax 2 + bx + c 1- Orientation de la parabole Si a> 0, la parabole sera ouverte vers le haut Si a

Plus en détail

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point

Plus en détail

1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit

1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit Exercice 1 : On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB] comme l indique la figure ci-dessous. 1) Existe-t-il

Plus en détail

Dérivation Continuité

Dérivation Continuité Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé 2 1.1 Nombre dérivé.......................................... 2 1.2 Fonction dérivée.........................................

Plus en détail

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Dans ce module, retour sur la notion de nombre dérivé vue en première. La classe de terminale s attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité

Plus en détail

Nombres complexes. Lycée du parc. Année

Nombres complexes. Lycée du parc. Année Nombres complexes Lycée du parc Année 2014-2015 Introduction historique Au début du XVI ème siècle en Italie, Scipione del Ferro, découvre une formule permettant de résoudre les équations du type x 3 +

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG

Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG F.Gaudon 3 juillet 2015 Table des matières 1 Fonction dérivée 2 2 Opérations sur les fonctions dérivables 2 2.1 Somme..............................................

Plus en détail

Chapitre 9. Les polynômes. Définitions et structures. I.1 Définitions. K sera le corps R ou C.

Chapitre 9. Les polynômes. Définitions et structures. I.1 Définitions. K sera le corps R ou C. Chapitre 9 Les polynômes Motivation : Les polynomes sont les seules fonctions dont on sache calculer les images des rationnels. K sera le corps R ou C. I Définitions et structures I.1 Définitions Définition

Plus en détail

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction FONCTIONS Activité de recherche : Stratégie d entreprise Une entreprise fabrique des ballons de rugby. Sa production quotidienne peut varier de à 000 ballons. Le coût total, en centaines d euros, pour

Plus en détail

ÉQUATIONS et INÉQUATIONS

ÉQUATIONS et INÉQUATIONS ÉQUATIONS et INÉQUATIONS 1. Équations 1) Vocabulaire Une équation est une égalité dans laquelle figure une quantité inconnue (ou plusieurs). On désigne cette quantité inconnue par des lettres (x, y,...).

Plus en détail

Chapitre X : Nombres Complexes

Chapitre X : Nombres Complexes Chapitre X : Nombres Complexes I : L ensemble des complexes Il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, qu on note C et qui possède les propriétés suivantes : 1. C contient R (on note

Plus en détail

CHAPITRE II : FONCTIONS DE RÉFÉRENCE ET ÉTUDE DE FONCTIONS

CHAPITRE II : FONCTIONS DE RÉFÉRENCE ET ÉTUDE DE FONCTIONS CHAPITRE II : FONCTIONS DE RÉFÉRENCE ET ÉTUDE DE FONCTIONS Premières fonctions de référence Les fonctions linéaires, qui traduisent la proportionnalité des grandeurs, et les fonctions affines, qui traduisent

Plus en détail

MATH Pratique des Fonctions Numériques. Livret d exercices III Chapitres 3 & 4 : Continuité - Dérivabilité

MATH Pratique des Fonctions Numériques. Livret d exercices III Chapitres 3 & 4 : Continuité - Dérivabilité UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre 1 MATH 101 - Pratique des Fonctions Numériques Livret d exercices III Chapitres 3 & 4 : Continuité - Dérivabilité

Plus en détail

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : calculs dans l ensemble des nombres complexes (addition, soustraction, multiplication,

Plus en détail

Chapitre 4 : Fonctions de référence (1)

Chapitre 4 : Fonctions de référence (1) La notion de fonction a été vue au chapitre 1. Cette leçon met l'accent sur certaines fonctions que l'on retrouve au lycée : fonction carrée, fonction inverse, fonction racine carrée,... etc. La deuxième

Plus en détail

Etude des fonctions usuelles

Etude des fonctions usuelles Etude des fonctions usuelles 1. Introduction Soit f une fonction réelle de la variable réelle, on a vu que ces fonctions sont souvent définies par des formules, c est-à-dire définies par des epressions

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0 Savoir calculer avec des logarithmes Simplifier les expressions suivantes : Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com a) ln 6 ln 2 b) ln e 2 c) ln 1 e x d) e ln

Plus en détail

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 Université de Tours Année 2015-2016 Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES (12 h) 1 Nombres complexes 1.1 Introduction

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014 Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique 25 août 2014 1 1 Calculs dans R 1.1 Fractions Eercice 1 Pour a = 4/9 et b = 5/12, calculer a + b, a b, ab et a/b. On donnera le

Plus en détail

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES

CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES CONTINUITE - EXERCICES CORRIGES Exercice n. x si x Soit f la fonction numérique définie par : f( x) = 5 x si x > f est-elle continue sur son ensemble de définition? x pour x Mêmes questions avec : f (

Plus en détail

Chapitre : FONCTIONS. Exercice 1

Chapitre : FONCTIONS. Exercice 1 Exercice 1 Dans un repère ( ; i ; j ) orthonormal, on considère les fonctions f et g définies par f(x) = (x )(x + 3) + 5 et g(x) = x + 3 sur l intervalle [ ; ]. 1) Tracer les courbes représentatives de

Plus en détail

CALCUL ALGEBRIQUE. Pour effectuer un développement, on utilise certaines formules, ou identité remarquables :

CALCUL ALGEBRIQUE. Pour effectuer un développement, on utilise certaines formules, ou identité remarquables : CALCUL ALGEBRIQUE I. FACTORISATION, DEVELOPPEMENT a. Développement Lorsqu une expression se présente sous la forme d un produit, dire qu on développe, c est dire qu on le transforme en une somme : (3a

Plus en détail

1 Introduction. 2 Où chercher les solutions?

1 Introduction. 2 Où chercher les solutions? 1 Introduction Une équation algébrique est une équation mettant en jeu une inconnue x qui n intervient que par ses puissances. Par exemple, les équation x 2 +5x = 7 et x 6 = x 5 +1 sont algébriques, mais

Plus en détail

Les polynômes. Chapitre Définitions et exemples. Définition. Un monôme de la variable x est une expression de la forme.

Les polynômes. Chapitre Définitions et exemples. Définition. Un monôme de la variable x est une expression de la forme. 1. Définitions et exemples Chapitre 6 Les polynômes Définition. Un monôme de la variable x est une expression de la forme a et n. a est appelé le coefficient et n est appelé le degré du monôme. Exemples

Plus en détail

1. Généralités sur les fonctions et fonctions polynômes

1. Généralités sur les fonctions et fonctions polynômes Comment faire pour Généralités sur les fonctions et fonctions polnômes86 Repérage 88 Dérivation90 Comportements asmptotiques et étude de fonctions9 5 Calcul vectoriel et barcentre 96 6 Produit scalaire

Plus en détail

Chapitre 3 Compléments sur les fonctions

Chapitre 3 Compléments sur les fonctions Chapitre 3 Compléments sur les fonctions A) Fonction valeur absolue f(x) = x 1) Définition La valeur absolue d un nombre réel est obtenue en retirant le signe s il est négatif. Autrement dit, x = x si

Plus en détail

LES FONCTIONS DE REFERENCE

LES FONCTIONS DE REFERENCE L équipe des professeurs de mathématiques Lycée Stendhal J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion. Stendhal

Plus en détail

Devoir commun de Mathématiques Correction - Premières S

Devoir commun de Mathématiques Correction - Premières S Devoir commun de Mathématiques Correction - Premières S EXERCICE 1 : ( points) Restitution organisée de connaissances Dans un repère, (d) et (d ') sont les droites d'équations cartésiennes respectives

Plus en détail

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques à variables réelles

Généralités sur les fonctions numériques à variables réelles «I» : Définitions 1/ Fonction Généralités sur les fonctions numériques à variables réelles Une fonction numérique à variable réelle f est une «machine mathématique» qui associe à chaque réel, soit un unique

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 04 05 L Économie Cours de M. Desgraupes Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques Séance 0 : Fonctions usuelles

Plus en détail

Chapitre 6. Fonctions trigonométriques

Chapitre 6. Fonctions trigonométriques Chapitre 6 Fonctions trigonométriques Corrigés des exercices-tests Vrai La hauteur issue de M dans le triangle OIM est également médiane Donc le triangle OIM est isocèle en M Étant aussi isocèle en O,

Plus en détail

Résoudre une équation quadratique veut dire qu on veut trouver les valeurs de x pour lesquelles y = 0. Il y a deux racines car le x est au carré.

Résoudre une équation quadratique veut dire qu on veut trouver les valeurs de x pour lesquelles y = 0. Il y a deux racines car le x est au carré. Module L algèbre (10 cours) 3. Exploiter les relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des prédictions et prendre des décisions éclairées. RÉSULTATS D APPRENTISSAGE SPÉCIFIQUES

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Chapitre 6 Terminale S Ce que dit le programme : Les nombres complexes CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 1ère partie Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient. Équation du second degré

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

Chapitre 1 : Calcul dans R

Chapitre 1 : Calcul dans R Chapitre 1 : Calcul dans R PTSI B Lycée Eiffel 6 septembre 13 Le calcul que vous trouvez si mauvais est pourtant celui de toutes les passions. Des années entières de poursuite, pour la jouissance d un

Plus en détail

Fonctions de référence, classe de seconde

Fonctions de référence, classe de seconde Fonctions de référence, classe de seconde F.Gaudon 3 juillet 2009 Table des matières 1 fonctions anes 2 2 Fonctions carré 4 3 Fonction inverse 6 4 Équations 8 5 Fonctions polynômes du second degré 9 1

Plus en détail

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2.

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2. Chapitre III : Dérivées de fonctions composées et primitives I. Dérivées de fonctions composées a) Formule Propriété : g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur

Plus en détail

Leçon : Les fonctions

Leçon : Les fonctions Leçon : Les fonctions 1. Notion de fonction et généralités 1.a) Fonction Soit D une partie R. Définir une fonction sur un ensemble D, c est associer à chaque réel x de D, un unique réel, appelé image de

Plus en détail

Suites arithmétiques Exercices corrigés

Suites arithmétiques Exercices corrigés Suites arithmétiques Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : reconnaissance d une suite arithmétique Exercice 2 : calcul d une raison et des termes d une suite arithmétique Exercice

Plus en détail

Correction devoir de mathématiques n 3

Correction devoir de mathématiques n 3 Page1 Correction devoir de mathématiques n 3 Calculatrice autorisée. Le sujet contient 4 pages. Rendre le sujet avec la copie. Le détail des calculs doit figurer pour l attribution des points. Le barème

Plus en détail

Formulaire de mathématiques

Formulaire de mathématiques NOM : Prénom : Classe : Formulaire de mathématiques Ce formulaire contient l essentiel de la matière de 3 ème ainsi que des synthèses de 4 ème. Complète-le, prends-le avec toi au cours et au remédiations

Plus en détail

1 S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N 4 SUJET A 5/04/ H

1 S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N 4 SUJET A 5/04/ H S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N SUJET A 5/0/0 H Nom prénom Exercice : Soit q un réel différent de,prouver l égalité : points + q + q + q 3 +...q n = qn+ q Exercice :. Calculer la somme des 00 premiers multiples

Plus en détail

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005 DENOMBRABILITE P. Pansu 14 mai 2005 1 Motivation Il y a t il plus de réels dans ]1, + [ ou dans l intervalle ]0, 1[? Oui, bien sûr. Des droites passant par l origine dans le plan, il y en a-t-il autant

Plus en détail

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : résoudre une équation de la forme Exercice 2

Plus en détail

Leçon 6 Les fonctions numériques, généralités

Leçon 6 Les fonctions numériques, généralités Leçon 6 Les fonctions numériques, généralités Il faut revoir les fonctions de référence car ce cours prolonge évidemment ce qui a été vu en seconde. Il y a en premier lieu les fonctions affines par morceaux.

Plus en détail