FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE

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1 FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE I/ Fonctions polynômes et rationnelles a- Fonctions polynômes Une fonction polynôme (ou plus simplement un polynôme) est une fonction définie sur R par: f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0 où n est un entier naturel et a 0, a 1. a n des nombres réels fixés. Si an 0, on dit que le polynôme est de degré n (On note deg f = n ) et a 0, a 1. a n sont appelés coefficients du polynôme. f (x) = x + 5 Fonction polynôme de degré f (x) = 5x 6 x 3 + x 1 Fonction polynôme de degré f (x) = x 3 x +1 Remarque : La forme f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0 est appelée «forme développée, réduite et ordonnée» du polynôme f. Un polynôme est ordonné suivant les puissances décroissantes de x. Propriété : Un polynôme s écrit de façon unique sous forme développée, réduite et ordonnée. Remarques : La fonction définie sur R, par x 0 est la fonction polynôme nulle. Ce polynôme n a pas de degré. Toute fonction constante non nulle est un polynôme de degré 0. b- Egalité de deux polynômes Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Exemple : Trouver des nombres réels a, b, c tels que, pour tout x : ax + bx + x + ax + 6 c = 0 Deux polynômes sont égaux si et seulement si : Ils ont le même degré Les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux. 1S 1

2 Propriétés : 1/ la somme, la différence, le produit, la composée de deux fonctions polynômes est une fonction polynôme. / la somme f + g des deux polynômes f et g, est soit le polynôme nul, soit d un degré inférieur ou égal au plus grand des degrés de f et de g. 3/ le produit de deux fonctions polynômes f et g est une fonction polynôme. Si f et g sont distincts deg fg = deg( f) + deg( g ). du polynôme nul, alors ( ) Définition : On dit que le réel α est «racine» du polynôme f lorsque f ( α ) = 0. Ainsi, α est «racine» du polynôme f si et seulement si α est solution de l équation f( x ) = 0. Remarque : Si ax + bx + c possède une racine parmi les nombres : 1, -1,, -, on dit que le trinôme a une racine évidente. (Il suffit de vérifier si le polynôme s annule pour ces valeurs) Dans ce cas, si α est cette racine, le trinôme est factorisable par ( x α ). x 5x + 3 possède comme racine évidente car Factorisation : 3x x+10 possède comme racine évidente car Factorisation : 1S

3 3 Px ( ) = x 6x + 11x 6 c- Fonctions rationnelles Soit f et g deux polynômes. La fonction h définie, pour g(x) 0, par h(x) = f (x) est appelée fonction rationnelle. g(x) II/ Fonctions polynômes du 1 er degré. Définition : Un polynôme du premier degré est une fonction P, définie sur R, de la forme P: x ax+ b avec a R et b R. L équation ax + b = 0 (avec a 0 ) admet une unique solution Le signe de ax + b (avec a 0 ) est donné par le tableau suivant : x ax + b La représentation graphique de la fonction P: x ax+ b est une droite D, de coefficient directeur a. Si a 0, la fonction est croissante et si a 0, la fonction est décroissante. 1S 3

4 III/ Trinôme du second degré Dans toute la suite, a, b et c sont des nombres réels avec a 0. a- Définition On appelle trinôme du second degré, toute fonction polynôme, définie sur R, qui peut s écrire sous la forme x ax + bx + c. Par abus de langage, on utilise souvent l expression trinôme du second degré ax + bx + c au lieu de trinôme du second degré x ax + bx + c. (Trinôme : somme de 3 termes) La fonction x x x est un trinôme du second degré, avec a=..., b=... et c=... La fonction 3 x ( x+ 1) ( x ) est un trinôme du second degré, car ( x+ 1) ( x 1) = donc, a=..., b=... et c=... ( ) ( ( ) ( ) La fonction x x+ 1 x ) 1 n est pas un trinôme du second degré, car x+ 1 x 1 = b- Discriminant On appelle discriminant d un polynôme ax + bx + c, le réel : c- Forme canonique Pour tout trinôme du second degré, on a : b ax + bx + c = a ( x + ) a 4a On dit qu on a mis le trinôme sous forme canonique. Démonstration : b b 4ac = a ( x+ ) a 4a 1S 4

5 Exemple : Px x x ( ) = 3 1 d- Equation du second degré : Résolution et factorisation Définition : Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s écrire sous la forme : ax bx c + + = 0, où a, b et c sont des réels et a 0. Soit le trinôme du second degré f : x ax + bx+ c ( a 0 ), l équation ax + bx + c = 0 s écrit aussi f( x ) = 0. Résoudre cette équation dans R, c est trouver tous les réels u qui vérifient appelées racines du trinôme f. f( u ) = 0. Ces solutions sont Pour résoudre une telle équation, on utilise la forme canonique : Si <0 : L équation. car un carré n est jamais strictement négatif Dans ce cas, on ne peut pas factoriser le trinôme en produit de polynômes du premier degré. Si =0 : L équation admet une unique solution dans R : appelée racine double du trinôme Factorisation du trinôme : ax + bx + c = 1S 5

6 Si >0 : L équation admet deux solutions distinctes dans R : Factorisation du trinôme : ax + bx + c = Résoudre dans R et factoriser les équations suivantes : 6x x 1= 0 x 3x+ 4= 0 x 1x +18 = 0 1S 6

7 Remarques : Il n est pas toujours utile de calculer le discriminant. Il faut penser aux factorisations classiques vues en classe de nde. 4x 9= 0 5x 4 x=0 Lorsque a et c sont de signes contraires, l équation distinctes car 4ac >0 donc > 0. ax bx c + + = 0 admet deux solutions Lorsque l équation ax + bx + c = 0 admet deux racines x1 et x, alors : x 1 + x = b a et x 1 x = c a Démonstration : Application de ces formules : - Vérifier le calcul des solutions de l équation a x + b x + c = 0. - Trouver une racine connaissant l autre. ex : 1 est une solution évidente de x 5 x + 3 = 0, donc l autre racine est : - Déterminer le signe des racines sans en connaître les valeurs. Exemple : 4x 9x+ 1=0 1S 7

8 e- Variations et représentations graphiques Le trinôme du second degré f : x ax + bx+ c ( avec a 0 ), peut aussi s exprimer sous la forme f : x a ( x α) + β. Ainsi f est une fonction associée à la fonction carrée x x. La courbe représentative est obtenue à partir de la parabole P d équation y = x en effectuant une translation de vecteur (α i + β j), puis une dilatation de coefficient a, c est à dire une une multiplication par a. La représentation graphique de la fonction f : x ax + bx+ c, dans un repère orthogonal, est une parabole, dont le sommet est S ( α ; β ) soit, x - b a a > 0 a < 0 ) f ( x ) f ( x ) f ( b a f admet un minimum en b a + x - b a f ( b a + f admet un maximum en b a ) La droite d équation x = b est un axe de symétrie de P. a Si a > 0, les branches de la parabole sont tournées vers le haut. Si a < 0, les branches de la parabole sont tournées vers le bas. y = x + 4 x + 1 1S 8

9 y = 0.5 x + x + Dresser le tableau de variations de la fonction définie par f x x x ( ) = + 3 Dresser le tableau de variations de la fonction définie par gx x x ( ) = f- Signe du trinôme a x + b x + c Etudions le signe de f (x) = ax + bx + c ( a 0 ) Si > 0. Soit x 1 et x les racines du trinôme, avec, par exemple x1 < x f ( x) = a x x x x On obtient le polynôme factorisé : ( )( ) 1 x - x 1 x + x x 1 x x ( x x1)( x x) f ( x) = a( x x )( x x ) 1 1S 9

10 Si 0, on utilise la forme canonique : ax + bx + c = a b x + a 4a b Si < 0, x + est strictement positif et donc, a 4a pour tout réel x, f ( x) est.. b Si = 0, ax + bx + c = a x + et donc, a b Pour x =, f( x) =. a b pour tout réel x, f ( x) est.. a Pour résumer : a x + b x + c est toujours du signe de a sauf entre les racines si elles existent Résoudre dans R l inéquation f( x ) < 0 avec f x x x ( ) = Résoudre dans R l inéquation gx> ( ) 0 avec gx x x ( ) = S 10

11 III/ RECAPITULATIF ET LIENS AVEC LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES > 0 = 0 < 0 Racines de f x 1 = Erreur! et x = Erreur! x 0 = Erreur! Pas de racine Factorisation f ( x ) = a ( x x 1 ) ( x x ) f ( x ) = a ( x - x 0 ) ² = a ( x + Erreur! ) ² Pas de factorisation a > 0 x x x x x x Signe de f ( x ) x x x x x x a < 0 Signe de f ( x ) S 11