Signal 3 L oscillateur harmonique

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1 Signa 3 L osciateur harmonique Lycée Poyvaent de Montbéiard - Physique-Chimie - TSI Contenu du programme officie : Notions et contenus Forces. Mouvement horizonta sans frottement d une masse accrochée à un ressort inéaire sans masse. Position d équiibre. Capacités exigibes - Utiiser es forces usuees (force de rappe d un ressort). - Étabir et reconnaître équation différentiee qui caractérise un osciateur harmonique. - Exprimer a soution compte tenu des conditions initiaes. - Caractériser e mouvement en utiisant es notions d ampitude, de phase, de période, de fréquence, de pusation. - Tracer e portrait de phase. - Contrôer a cohérence de a soution obtenue avec a conservation de énergie mécanique, expression de énergie potentiee éastique étant ici affirmée. - Déterminer, en s appuyant uniquement sur des arguments physiques et une anayse dimensionnee, a position d équiibre et e mouvement d une masse fixée à un ressort vertica. En gras es points devant faire objet d une approche expérimentae. Tabe des matières 1 La force de rappe d un ressort Présentation des ressorts Modéisation de a force de rappe du ressort Le système masse-ressort horizonta Étude dynamique L équation différentiee de osciateur harmonique Approche énergétique d un osciateur harmonique L énergie cinétique L énergie mécanique Anayse des phases du mouvement Le portrait de phase Le système masse-ressort vertica Position du probème L état d équiibre Résoution Beaucoup de systèmes en physique sont des systèmes osciants. Nous avons vu par exempe ors de étude des ondes. Si cees-ci contiennent des composantes sinusoïdaes, c est que e phénomène physique qui eur a donné naissance est sans doute aussi. Nous introduisons dans ce chapitre e modèe de osciateur harmonique qui permet de décrire ce genre de comportements. Cet exempe est fondamenta en physique, et nous e retrouverons dans une mutitude de systèmes physiques très différents, tant en mécanique qu en éectricité. 1 La force de rappe d un ressort 1.1 Présentation des ressorts Un ressort est un fi de méta torsadé. Lorsqu i est faibement déformé, éasticité naturee du matériau tend à e faire revenir à sa configuration de départ /8

2 Expérience 1 : Manipuation de ressorts On constate en imposant un effort sur es ressorts que si e ressort est comprimé, une force apparaît qui tend à étirer ; si e ressort est étiré, une force apparaît qui tend à e comprimer. Cette observation se schématise sur es figure 1. O F O F 0 0 (a) Le ressort est pus étiré que e ressort à vide, a force de rappe # F tend à e comprimer. (b) Le ressort est pus comprimé que e ressort à vide, a force de rappe # F tend à étirer. Fig. 1 Schéma de a force de rappe # F d un ressort. 1.2 Modéisation de a force de rappe du ressort Définition. Un ressort est caractérisé par sa ongueur à vide 0 qui correspond à a ongueur du ressort au repos ; sa raideur k qui s exprime en N/m. Lorsque e ressort est déformé par une extrémité, ceui-ci exerce une force de rappe sur cette même extrémité. Cette force est donnée par # F (t) = ±k((t) 0 ) # e x avec (t) a ongueur à instant t du ressort et # e x un vecteur unitaire dirigé e ong du ressort. Le signe de a force se retrouver avec un argument physique schématisé par a figure 1 si e ressort est étiré, soit 0 > 0, a force est dirigée pour e comprimer ; si e ressort est comprimé, soit 0 < 0, a force est dirigée pour étirer. Remarque : Cette modéisation n est vaabe que pour es petites déformations. En effet, si on tire trop fort sur e ressort, ceui-ci va se déformer et ne reviendra pas à sa position initiae. L hypothèse éastique ne sera aors pus vaabe. Dans un exercice, une des premières difficutés sera généraement expression de a ongueur (t) en fonction des données du probème. Cette expression doit être donnée dans e bian des forces. Par aieurs, i faut toujours matériaiser a ongueur à vide 0 sur e schéma pour pouvoir faire a discussion sur e signe de a force. La discussion sur e signe de a force est toujours importante à mener et ee doit être réaisée au moment du bian des forces à aide du schéma. La difficuté vient du fait qu i faut tenir compte de orientation de a force sur e schéma, de orientation choisie sur e schéma pour e vecteur unitaire # e x et du signe de 0 pour choisir e signe. 2 Le système masse-ressort horizonta Nous étudions dans ce paragraphe e probème d un ressort de raideur k et de ongueur à vide 0 fixé à un mur par une de ses extrémité. On attache à autre extrémité une masse m. On étire e ressort d une certaine ongueur L puis on âche a masse sans ui communiquer de vitesse initiae. Comme tout probème mécanique, nous aons réaiser toute étude à aide de a méthode présentée dans e chapitre M2. 2/8

3 2.1 Étude dynamique 1. Le système étudié est a masse m dans e référentie terrestre R T supposé gaiéen. Le probème sera étudié en coordonnées cartésiennes. 2. On fait un schéma dans une situation queconque en orientant a force de rappe. O # e x F x 0 Fig. 2 Schéma du probème du système masse-ressort horizonta. 3. Bian des forces : F # = ±k((t) 0 ) # e x. Or, sur e schéma, on a (t) 0 > 0 et a force dirigée seon # e x, ainsi, on a # F = k((t) 0 ) # e x. 4. Seconde oi de Newton : m # a = k((t) 0 ) # e x. 5. Vecteurs cinématique : La position de a masse est donnée par e vecteur position # x = (t) # e x, a vitesse vaut donc # v = (t) # e x et accéération # a = (t) # e x. 6. On projette a seconde oi de Newton sur a direction e x et i vient m (t) = k((t) 0 ). (2.1) De façon générae en physique, on écrit cette équation comme une équation différentiee sans coefficients devant a dérivée d ordre supérieure, soit (t) + k m (t) = k m 0. Remarque : A priori, e vecteur accéération peut avoir des composantes sur toutes es directions de espace. Or, en faisant a seconde oi de Newton, on constatera que accéération sur es autres directions est nue. De base, on considérera que e probème est unidirectionne car toutes es forces sont seon a même direction. 2.2 L équation différentiee de osciateur harmonique Définition. Un osciateur harmonique est un système physique décrit par a fonction (t) vérifiant équation différentiee harmonique (t) + ω 2 0(t) = ω 0 e (2.2) avec ω 0 a pusation propre du système et e a vaeur d équiibre de a fonction (t). Remarque : Cette équation différentiee est à connaître sous cette forme par cœur. Ici, a ongueur d équiibre du ressort vaut a ongueur à vide 0. Cette équation différentiee apparaît dans de très nombreux probèmes physiques, et ee apparaît d autant pus orsque on étudie des petites perturbations d un système autour d un point d équiibre. Pour résoudre cette équation, on utiise a méthode étabie dans e chapitre E3, qui est basée sur es règes mathématiques de résoution d équation différentiee. Dans e probème du ressort horizonta, on constante ω 0 = 3/8 k m.

4 Soution homogène : a soution de équation homogène est 1 (t) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t avec A et B des constantes. I y a deux constantes car équation différentiee est d ordre 2. Remarque : On peut, de manière totaement équivaente, introduire es deux constantes sous a forme 1 (t) = A cos(ω 0 t + φ) avec A et φ es constantes. Soution particuière : e second membre est constant donc a soution particuière est une constante soit 2 (t) = C = 0 + ω 2 0C = ω = 2 (t) = 0. Soution générae : (t) = 1 (t) + 2 (t) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t + 0. Conditions initiaes : i est dit dans énoncé que (0) = L et que a masse est âchée sans vitesse initiae, soit v(0) = 0. Cacuons d abord a vitesse, on a v(t) = (t) = ω 0 A sin ω 0 t + ω 0 B cos ω 0 t. Ainsi, es conditions initiaes s expriment L = A et 0 = 0 + B. I vient B = 0 et A = L 0. Ainsi, a position en fonction du temps de a masse est donnée par (t) = (L 0 ) cos ω 0 t + 0. Cette fonction est tracée figure 3. On reconnaît a phase φ(t) = ω 0 t, a pusation ω 0, a fréquence f 0 = ω 0 2π et a période T = 2π ω 0. (t) L T = 2π/ω 0 0 2(L 0 ) t Fig. 3 Représentation graphique de a position de a masse m soumise à a force d un ressort horizonta sans vitesse initiae. La masse oscie autour de a position d équiibre 0. 3 Approche énergétique d un osciateur harmonique 3.1 L énergie cinétique Définition. On définit énergie cinétique d une masse m animée d une vitesse # v R dans e référentie R par a reation E c (t) = 1 2 mv2 R(t). L énergie cinétique dépend du référentie d étude car a vitesse en dépend. Dans e probème précédent, a vitesse dans e référentie d étude vaut # v = (t) # e x = (L 0 )ω 0 sin ω 0 t, soit une énergie cinétique E c = 1 2 m 2 (t) = 1 2 m(l 0) 2 ω 2 0 sin 2 ω 0 t. 4/8

5 3.2 L énergie mécanique Repartons de équation différentiee (2.1) issue de a seconde oi de Newton, soit m (t) + k((t) 0 ) = 0 (3.1) Pour faire apparaître une équation de puissance, on mutipie par a vitesse (t). I vient On reconnaît, en utiisant a reation mathématique 2ff = (f 2 ), m (t) (t) + k (t)((t) 0 ) = 0. (3.2) m (t) (t) = d ( ) 1 dt 2 m 2 (t) = d dt (E c(t)). De a même façon, on reconnaît k (t) (t) = d dt ( 1 2 k((t) 0) 2 ). Définition. On définit énergie potentiee éastique du ressort par a reation E p (t) = 1 2 k((t) 0) 2. Appication 1 : Vérifier que cette expression a bien a dimension d une énergie. Avec cette définition et ce qui précède, on constate que a reation (3.2) devient d dt (E c(t) + E p (t)) = 0. (3.3) Remarque : Cette méthode est totaement anaogue à cee que nous avons utiisé en éectricité pour faire apparaître un bian de puissance, à savoir a mutipication de a oi des maie par e courant (ou a oi des nœuds par a tension). Définition. On définit énergie mécanique d un système comme a somme de énergie cinétique du système et de toutes es énergies potentiees, soit E m (t) = E c (t) + E p (t). On constate par équation (3.3) que énergie mécanique du système se conserve. Propriété. L énergie mécanique totae d un système décrit par une équation harmonique se conserve. Cette conservation a des conséquences fortes. En effet, osciation ne s arrête jamais, e système est toujours en mouvement. En réaité, cea n est pas possibe car i y a toujours un terme de perte d énergie, mais qui est négigeabe sur des durée suffisamment courtes. 3.3 Anayse des phases du mouvement Appication 2 : Donner expression mathématique de énergie potentiee éastique en fonction du temps. En déduire à aide de expression de énergie cinétique que énergie mécanique se conserve et donner sa vaeur. On déduit de appication que énergie potentiee éastique et énergie cinétique sont des fonction de période π/ω 0. On peut es tracer en fonction du temps, comme cea est fait figure 4. On peut trouver quatre phases du mouvement à aide de ce graphique, comme cea est visuaisé dans animation [1]. 5/8

6 E p (t), E c (t) π/ω 0 E m E m /2 t Fig. 4 Conservation de énergie dans un système masse-ressort horizonta sans vitesse initiae. Propriété. Un osciateur harmonique est un système dont énergie potentiee se transfert en énergie cinétique et inversement en permanence. 3.4 Le portrait de phase Définition. Le portrait de phase d un système est e tracé de a vitesse v du système en fonction de sa position x. I s agit d une courbe paramétrée par e temps t, appeée généraement trajectoire. Dans e cas de osciateur harmonique, on a E m = 1 2 k( 0) mv2 qui est une constante du mouvement. Dans ce cas, a position x correspond à a ongueur. Cette équation est cee d une eipse, comme cea est tracé figure 5. Pus énergie mécanique est grande, pus eipse sera grande. Pour trouver e sens de parcours du système d une trajectoire dans e portait de phase, on anayse en un point donné e signe de a vitesse. Par exempe au maximum de a vitesse, cee-ci est positive donc a position augmente, ce qui impose un sens de parcours horaire des trajectoires. v v max min 0 max v min Fig. 5 Portrait de phase d un système masse-ressort horizonta. Chaque trajectoire correspond à une énergie mécanique fixée. Propriété. Le portrait de phase d un système décrit par une équation harmonique est un ensembe eipse parcourues dans e sens horaire. 6/8

7 Remarque : Le fait que es trajectoires soient fermées dans e portrait de phase est une matériaisation de a conservation de énergie du système et du caractère périodique du mouvement. Attention, tout système dont énergie se conserve n a pas nécessairement une trajectoire dans e portrait de phase fermée. À nouveau, on peut constater es différentes phases du mouvement seon a position sur a trajectoire du portrait de phase, comme cea est réaisé sur animation animation [2]. 4 Le système masse-ressort vertica 4.1 Position du probème Considérons cette fois e même système mais vertica. C est-à-dire qu une extrémité du ressort est fixée au pafond tandis que autre est ibre. Sur cette extrémité ibre, on pace une masse m. À instant initia, on communique une vitesse initiae v 0 vers e bas à a masse qui était à sa position d équiibre. On étudie e probème dans e référentie terrestre R T supposé gaiéen et on se pacera en coordonnées cartésiennes. Bian des forces : e poids # p = m # g = mg # e z ; a force de rappe du ressort # F = ±k((t) 0 ) # e z. Ici (t) = 0 + z(t) d où # F = ±kz(t) # e z. Sur e schéma, a force est dirigée seon # e z aors que z(t) est positive, soit donc # F = kz(t) # e z. Seconde oi de Newton : En notant # a e vecteur accéération de a masse, i vient m # a = mg # e z kz(t) # e z. (4.1) # e z z = 0 z(t) Fig. 6 Schéma du probème du système masseressort vertica. Attention, origine des z est prise au niveau de a ongueur à vide du ressort. 0 O F p 4.2 L état d équiibre Lorsque a masse est à a position d équiibre z eq, son accéération est nue, ainsi a seconde oi de Newton (4.1) devient 0 = mg # e z kz eq # e z = z eq = mg k. On remarque que z eq > 0, ce qui est cohérent avec e fait que e poids aonge e ressort à équiibre. Dimensionneement, a ongueur mg/k est a seue possibe à construire avec es données du probème, ce sera donc toujours ee qui interviendra pour équiibre d un ressort vertica. Remarque : Si e ressort était vers e haut, a ongueur d équiibre serait négative car e poids ferait descendre a masse pour comprimer e ressort. Appication 3 : Vérifier que mg/k est bien homogène à une ongueur. De même, on sait que nous aons arriver à une équation d un osciateur harmonique de pusation ω 0 = k/m car c est a seue façon de construire inverse d un temps avec es données du probème. Le mouvement sera donc un mouvement sinusoïda de pusation ω 0. 7/8

8 4.3 Résoution Écrivons es vecteurs cinématiques, on a # OM = z(t) # e z et # v = ż(t) # e z et # a = z(t) # e z soit équation (4.1) devient, après projection sur axe # e z m z(t) = mg kz(t). Cette équation peut être mise sous forme d une équation différentiee et i vient z(t) + k m z(t) = g. k Or pour mettre cette équation sous forme canonique, on reconnaît ω 0 =. Par aieurs, pour mettre m équation sous a forme de équation harmonique (2.2), on veut ω 2 0 z e = g soit z e = gm/k = z eq. L équation sous forme canonique est donc z(t) + ω 2 0z(t) = ω 2 0z eq. On résout cette équation : Soution harmonique : z 1 (t) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t ; Soution particuière : c est une constante qui vaut z 2 (t) = z eq ; Soution générae : z(t) = z 1 (t) + z 2 (t) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t + z eq ; Conditions initiaes : Cacuons d abord a vitesse v(t) = Aω 0 sin ω 0 t + Bω 0 cos ω 0 t. Puis on a es conditions intiaies z(0) = z eq et ż(t) = v 0. Soit z eq = A z eq et v 0 = 0 + Bω 0. Soution du probème : on a au fina z(t) = v 0 ω 0 sin(ω 0 t) + z eq. On peut tracer cette soution figure 7. z(t) T = 2π/ω 0 z eq 2 v 0 ω 0 t Fig. 7 Représentation graphique de a position de a masse m soumise à a force d un ressort vertica avec vitesse initiae. La masse oscie autour de a position d équiibre z eq. Appication 4 : Tracer e portrait de phase de ce système. Références [1] osciateur_horizonta.php [2] php 8/8