Séquence 7. Trigonométrie

Transcription

1 Séquence 7. Trigonométrie I. RAPPELS DE SECONDE 1 ) ORIENTATION DU PLAN Dans le plan muni d'un repère (O,I,J) et orienté positivement, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Par convention, le sens positif est le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre : il est appelé sens direct ou sens trigonométrique. Soit D la tangente au cercle trigonométrique au point I et K le point de D de coordonnées (1;1). (I,K) est donc un repère de l'axe D. Par le procédé de l'enroulement de D autour du cercle : à tout point de l'axe D d'abscisse x, correspond un point M du cercle. tout point du cercle est associé à une infinité de points de l'axe, donc à une infinité de nombres réels. Propriété : Soit x un réel, et M le point du cercle trigonométrique associé au réel x, alors le point M est associé à tous les réels de la forme x+ k π, avec k entier. En d'autres termes,les points de D d'abscisses..., x 4, x π, x + π, x + 4 π,, etc... se retrouvent également en M après enroulement du cercle. ) MESURE DES ANGLES EN RADIAN Soit K le point de D d abscisse 1. Par enroulement de D autour du cercle, on lui associe le point R telle que la longueur de l'arc IR est égale à 1. Le radian ( rad ) est la mesure de l'angle géométrique I ÔR qui intercepte, un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique. Conséquence : Soit A et B deux points du cercle trigonométrique, la mesure en radians de l'angle AOB est égale à la longueur de l'arc intercepté AB. Propriété : La mesure d'un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degré. Le tableau ci-dessous fournit les mesures remarquables : mesures en degré mesures en radian 1 rad 57, 1 = 180 rad 0,0175 rad

2 ) COSINUS ET SINUS D'UN ANGLE Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x. l'abscisse du point M est le cosinus de x ( noté cos x ) l'ordonnée y M du point M est le sinus de x ( noté sin x ) Exemples : cos 0= 1 et sin 0 = 0 ; cos = 1 et sin = 0 ; cos = 0 et sin =1 ; cos = 0 et sin = 1 VALEURS REMARQUABLES DU SINUS ET DU COSINUS x (en degré) x (en radian) sin x 0 1 cos x 1 Propriétés : Pour tout réel x, on a : k Z, cos ( x + k π )=... et sin ( x + k π ) = cos x... et... sin x... sin x + cos x =... cos ( x) =... et sin ( x )=

3 II. MESURES D'UN ANGLE ORIENTÉ DE VECTEURS 1) ANGLE ORIENTÉ DE DEUX VECTEURS NON NULS Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,I,J). Soit u et v deux vecteurs non nuls. On construit sur le cercle trigonométrique les points A et B tel que OA soit colinéaire et de même sens que u et OB soit colinéaire et de même sens que v. Alors : La mesure de l'angle orienté ( u, v ) est égale à celle de l'angle orienté ( OA, OB ). Pour tout réel a associé au point A et tout réel b associé au point B, b a est une mesure en radian de l'angle orienté ( OA, OB ). Concrètement, une mesure de l'angle orienté ( OA, OB ) en radian est égale à la longueur de l'arc ÂB, à un multiple de π près. Remarque : Si b a et une mesure en radian de l'angle orienté ( OA, OB ) alors les mesures de cet angle orienté sont tous les réels b a+ k π. On note :( OA, OB ) = b a+ k π=b a(π). Attention : l'ordre est important! ( OB, OA ) = - ( OA, OB ) Exemple : Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O, I, J ), on considère le dodécagone régulier direct ABCDEFGHKLMN. D 1) Déterminer une mesure positive en radian de chacun des angles orientés suivants : E C ( OA, OB ) = ( OA, OE ) = ( OA, OH ) = ) Déterminer une mesure négative en radian des angles orientés suivants : ( OA, OD ) = ( OA, OK ) = G F J O I B A ) Déterminer une mesure en radian des angles orientés suivants : ( OB, OE ) = ( OK, OG ) = 4 ) Que dire du triangle GOF? En déduire la mesure en radian de ( GO, GF ). H K L M N 5 ) Quelle est la mesure de l'angle ( AG, AE )? voir savoir faire : exercice 1 p. 9

4 ) MESURE PRINCIPALE D'UN ANGLE ORIENTÉ DE VECTEURS Parmi toutes les mesures en radian d'un angle orienté( u, v ), il en existe une seule appartenant à l'intervalle ] π ; π ]. On l'appelle mesure principale de l angle orienté ( u, v ). Remarque : La valeur absolue de la mesure principale de l angle orienté ( u, v )est la mesure de l angle géométrique formé par ces deux vecteurs. Exemple : 0... π=(...+ ) π= π ; la mesure principale est π=... La mesure principale est... et l'angle géométrique associé a pour mesure... Remarque : Soit A et B deux points du cercle trigonométrique. La mesure principale de l'angle ( OA, OB ) est égale à la longueur du plus court chemin partant de A et allant vers B, affecté du signe si on s'est déplacé dans le sens indirect. ) PROPRIÉTÉ DES ANGLES ORIENTÉS Propriété : angle nul ou plat : Soit u et v deux vecteurs non nuls : 1) Si u et v sont colinéaires et de même sens, ( u, v)=0( π). ) Si u et v sont colinéaires et de sens contraires, ( u, v)=π( π). Propriété : relation de Chasles sur les vecteurs Soit u, v, et w trois vecteurs non nuls : ( u, v)+ ( v, w )=( u, w)( π). Exemple : A B ABCD est un carré. Construire le point E tel que DEB est un triangle isocèle. ( DC, DE ) = ( DC, DB ) + (...,.) ( π) = π +...( π)=...( π) 4 ( DE, DA ) =... D C Conséquences de la Relation de Chasles :

5