PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

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1 PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE Cours Terminale S 1 Produit scalaire de deux vecteurs 1) Définition Définition 1 : Le produit scalaire dans l espace se définit de la même façon que dans le plan Les trois définitions suivantes sont équivalentes et la deuxième demande un repère orthonormal O ; i, j, k On appelle produit scalaire de deux vecteurs ux ; y ; z et ; ; noté u v tel que : Expression à l aide des normes : 1 1 u v u v v u Expression à l aide des coordonnées : uv xx yy zz Expression à l aide du cosinus : u v u v cos u, v v x y z, le nombre réel La démonstration de l équivalence de ces trois définitions est identique à la démonstration dans le plan En effet, on peut toujours trouver un plan p, passant par un point A et de vecteurs directeurs uet v Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite, on a : uv AC AH Remarque : La deuxième formule des normes peut se traduire également par 1 AC AC BC Exemple : CDEFGH est un cube d arête a u BF et v AH BG Alors BF AH BF BG BF BG cosfbg Donc uv a a a uv - 1 -

2 ) Application Soient les points A, B et C : A(6; 8; ), B(4; 9; 1) et C(5; 7; 3) 1) Déterminez la mesure de l angle géométrique BAC ) Les points A, B et C se projettent orthogonalement respectivement en A, B et O ; i, j C sur le plan (plan d équation z = 0) a) Déterminez les coordonnées des points A, B et C b) Déterminez la mesure de l angle géométrique B A C Que constatez-vous? 1) Pour calculer l angle BAC, nous utiliserons la 3 ème formule du produit scalaire AC AC AC On a : AC AC cos BAC ; par suite, cosbac Or On obtient alors cos BAC 0 Par conséquent, BAC ) a) Pour trouver les coordonnées des points A, B et C, projetés orthogonaux sur le plan ;, 6 ; 8 ; 0 B 4 ; 9 ; 1 et O i j, on annule la troisième coordonnée On obtient alors : A ; C 5 ; 7 ; 0 AC A B A C AC b) AC AC cos BAC ; par suite, cosbac Or et AC On en déduit que cosbac Par conséquent, BAC 1,5 rad 71, On constate que la projection orthogonale d un triangle rectangle n est pas nécessairement un triangle rectangle La projection orthogonale ne conserve pas les angles géométriques - -

3 3) Propriétés Propriétés 1 : Soient u, v et w trois vecteurs non nuls du plan, et k un réel, on a : Symétrie : u v v u u w u v u w Linéarité : v, u v w u w v w, ku v k u kv ku v carré scalaire : u u u u u u vecteurs orthogonaux : u et v u v et sont orthogonaux si, et seulement si, uv 0 Exemple : Dans l exemple du 1), calculons BF AG BF AG BF BG BF BF BG 0 a a - 3 -

4 3 Vecteur normal à un plan 1) Définition Définition : Le vecteur n est normal au plan p si, et seulement si, toute droite de vecteur directeur n est orthogonale au plan p ) Théorème Théorème 1 : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Démonstration (exigible au Bac) : Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan p, alors elle est orthogonale à toute droite de p, donc à deux droites sécantes de p Réciproquement, soit sécantes et Comme De plus, d de p Soit une d 1 d 1 d d une droite, de vecteur directeur n, orthogonale à deux droites de p, de vecteurs directeurs respectifs uet v est orthogonale à d 1 et, alors n u 0 et n u 0 et d sont sécantes, alors uet v forment un couple de vecteurs directeurs d droite de p, de vecteur directeur w D après ce qui précède, il existe deux réels x et y tels que w xu yv D où w n xu yv n xu n yv n x 0 y 0 0 On en déduit que d est orthogonale à la droite Corollaire : Un vecteur non nul n de l'espace est normal à un plan p s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de p 3) Applications a) Application 1 CDEFGH est un cube Démontrer que le vecteur CF est normal au plan G Dans le repère A ;, AD, AE : A a pour coordonnées 0 ; 0 ; 0 B a pour coordonnées 0 ; 1 ; 0 C a pour coordonnées 1 ; 1 ; 0 F a pour coordonnées 1 ; 0 ; 1 G a pour coordonnées 1 ; 1 ; 1-4 -

5 G et AG sont deux vecteurs non colinéaires du plan Or CF et AG CF D où CF est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan Par conséquent, CF est normal au plan b) Application G G Dans un repère orthonormé, A a pour coordonnées 1 ; ; -, B a pour coordonnées -1 ; 3 ; 1 et C a pour coordonnées ; 0 ; - Déterminer un vecteur normal au plan (C) nx ; y ; z est normal au plan C si, et seulement si, n 0 n AC 0 n 0 x y 3z 0 4y y 3z 0 z y Or n AC 0 x y 0 x y x y Si on prend et Donc ; 1 ; 1 y 1, on obtient x z 1 n est un vecteur normal au plan 4) Plans perpendiculaires C Propriété (admise) : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre 4 Équation d un plan 1) Théorème Propriété 3 : Soit n un vecteur non nul et A un point de l espace L ensemble des points M de l espace tels que n AM 0 est le plan contenant A et admettant n comme vecteur normal - 5 -

6 Démonstration : Soit () la droite contenant le point A et de vecteur directeur n Soit p le plan orthogonal à () contenant A et deux vecteurs directeurs du plan p v et v 1 Si M appartient à p, il existe deux nombres réels a et b tels que : AM av1bv n v n v, alors Puisque 1 0 et 0 n AM n av1 bv an v1 bn v n AM 0 Réciproquement, supposons est une base de l espace ; il existe donc trois nombres réels a, b et c tels que : ( v1, v, n) AM av1 bv cn Sachant que Or 1 n AM 0 n v 0, n v 0 et Par conséquent, M appartient à p n av bv cn, c est-à-dire an v1 bn v cn n 0, on a : 1 0 n n n 0, on déduit que c 0 Théorème : L'espace est muni d'un repère orthonormé O ; i, j, k Un plan p de vecteur normal na ; b ; forme ax by cz d 0, avec d un réel et, par suite, AM av1bv c non nul admet une équation cartésienne de la Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points M x ; ; ax by cz d 0, avec d un réel, est un plan Démonstration (exigible au Bac) : n a b c de p Soit un plan p, un point A de p et un vecteur normal ; ; M x ; y ; z p n AM 0 A A A a x x b y y c z z 0 ax by cz ax by cz 0 A A A ax by cz d 0 avec d ax by cz Soit e l ensemble des points ; ; A A A y z tels que M x y z tels que ax by cz d 0, avec a, b et c non tous nuls d d Comme a b 0 c 0 d d d 0, alors le point A de coordonnées ; 0 ; 0 a a appartient à e d Soit na ; b ; c, alors n AM ax by 0 cz 0 ax by cz d 0 a n a ; b ; c pour D après la propriété 3, e est donc le plan passant par A et admettant vecteur normal Exemple : Le plan d'équation cartésienne 3x y z 5 0 a pour vecteur normal ) Applications a) Application 1 3 n 1 Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan p passant par le point A(0 ; 1 ; -1) et de vecteur normal n ; 1 ; 1-6 -

7 Comme n ; 1 ; 1 est un vecteur normal au plan p, alors ce dernier a une équation de la forme x y z d 0 Or A appartient à p, alors d 0 ; par suite, Donc une équation cartésienne de p est x y z 1 0 b) Application d 1 Dans un repère orthonormé, le plan p a pour équation x - y + 3z - = 0 Soit A 1 ; ; - 3 et B -1 ; ; 0 1) Démontrer que la droite () et le plan p sont sécants ) Déterminer leur point d'intersection n est un vecteur normal au plan p 1) ; 1 ; 3 et p sont sécants si n et Or ne sont pas orthogonaux Donc ne sont pas orthogonaux n ; on en déduit alors que n et p sont sécants et x1u ) a pour représentation paramétrique y u R z 3 3u x1u y M x ; y ; z, point d intersection de et p, vérifient le système z 3 3u x y 3z 0 x1u x1u y y Or équivaut à, c est-à-dire à z 3 3u z 3 3u x y 3z 0 1 u 33 3u x 1 x 1u x1u 5 5 y y y Donc équivaut à z 3 3u z 3 3u z 3 3 5u x y 3z 0 11 u 5 Par conséquent, le point d intersection de et p a pour coordonnées ; ; 5 5 c) Application 3 Dans un repère orthonormé, les plans p et p ont pour équations respectives - x + y + z - 5 = 0 et x - y + 3z - 1 = 0 1) Démontrer que les plans p et p sont sécants ) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d 1) p et p sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires - 7 -

8 n 1 ; ; 1 est un vecteur normal au plan p n ; 1 ; 3 est un vecteur normal au plan p x x n n z z n n alors n et n ne sont pas colinéaires Par suite, p et p sont sécants x y z 5 0 ) M x ; y ; z, point d intersection de p et p, vérifient le système x y 3z 1 0 x y 5 t x y z 5 0 Posons z t ; alors équivaut à x y 1 3t x y 3z 1 0 z t x y 5 t x 4y 10 t x y 1 3 t x y 1 3t z t z t 3y115t x y 1 3t z t 11 5 y t x 1 3t t 3 3 z t 11 5 y t x t 3 3 z t 7 7 x t z t Par conséquent, d a pour représentation paramétrique y t t R - 8 -