Chapitre 4 - Vecteurs

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1 nde Chapitre 4 - Vecteurs Chapitre 4 - Vecteurs I Translation et vecteur TD1 : Déplacer une figure par translation On veut déplacer la figure F en suivant l algorithme suivant : Pour transformer un point P en un point Q, il faut : construire le milieu I du segment[bp] ; construire Q le symétrique du point A par rapport à I. 1. (a) Construire sur la figure ci-dessous, le point N, image du point M. B A C F M D (b) Quelle est la nature du quadrilatère ABN M? Le démontrer. On dit qu on a définit la translation de vecteur AB. Ce vecteur est représenté par une flèche qui va de A à B. Représenter les vecteurs AB et MN. On dit que les vecteurs AB et MN sont égaux, car ils correspondent à la même translation.. Tracer l imagef de la figuref. 3. En s appuyant sur le quadrillage, définir un algorithme de déplacement qui permet de passer de F àf. 4. On peut alors caractériser la translation de vecteur AB par un couple de nombres, noté( 4 ). (a) Quel couple de nombres caractérise la translation de vecteur DC? (b) Quel couple de nombres caractérise la translation qui transformef enf? Définition 1 Soit A et B deux points donnés. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l unique point D tel que les segments[bc] et[ad] aient le même milieu. La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB. -1-

2 nde Chapitre 4 - Vecteurs On distingue deux cas : Si C/ (AB) Si C (AB) + A C + + I + B + D + A C + I + + B + D Conséquence : Si la translation de vecteur AB transforme C en D, alors ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Dire que AB= CD signifie que D est l image de C par la translation qui transforme A en B. Par conséquent : AB= CD si et seulement si[ab] et[cd] ont le même milieu. AB= CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). Pour désigner l unique vecteur associé à la translation qui transforme A en B et C en D, on peut utiliser une lettre unique, par exemple u, en écrivant : AB= CD= u. II Somme de deux vecteurs TD : B M v u C A --

3 nde Chapitre 4 - Vecteurs Construire le point M, image de M par la translation de vecteur u, puis le point M, image du point M par la translation de vecteur v.. (a) Quelle est la nature de ABM M et de BCM M? Et de ACM M? (b) Justifier que, pour n importe quel point M, M est l image de M par une translation dont on précisera le vecteur. Par définition, ce vecteur est la somme u+ v ou AB+ BC. 3. Tracer l image de M par la translation v+ u. Que constate-t-on? Justifier. Soient A, B et C trois points du plan. Appliquer successivement la translation t 1, qui transforme A en B, puis la translation t, qui transforme B en C, revient à appliquer la translation t qui transforme A en C. Définition Soient A, B et C trois points du plan. Le vecteur AC de la translation t obtenue en appliquant successivement la translation t 1 de vecteur u= AB puis la translation t de vecteur v = BC est appelé le vecteur somme des vecteurs AB et BC. On écrit AB+ BC= AC. Cette égalité s appelle la relation de Chasles. Remarque Soient A, B et I trois points quelconques du plan. La relation de Chasles s écrit : AI= IB= AB. AB+ BA= AA= 0 = vecteur nul. On dit que le vecteur BA est l opposé du vecteur AB. On convient de poser l égalité BA= AB. -3-

4 nde Chapitre 4 - Vecteurs III Coordonnées d un vecteur TD3 : On donne ci-dessous la copie d écran d une fenêtre GeoGebra. 1. Que peut-on dire des vecteurs u et v? Justifier.. Quel est le couple de nombres associé au vecteur u dans la fenêtre algèbre? Comment peut-on lire facilement ce couple de nombres grâce au quadrillage? Ce couple de nombres est appelé couple de coordonnées du vecteur u. 3. Quelles sont les coordonnées du vecteur v? Les comparer à celles du vecteur u. 4. Comment peut-on trouver ces coordonnées à partir du point A? Et à partir des points B et C? 5. Tracer vecteurs de coordonnées( ; 3) dans le plan muni d un repère(o, I, J). Définition 3 Dans un repère(o, I, J) les coordonnées d un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que OM= u. Si M(x ; y), on note( x y ) les coordonnées du vecteur u. Remarque : Le couple( x ) correspond au déplacement effectué sur le quadrillage. y Dans un repère, si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) le vecteur AB a pour coordonnées : AB( x B x A y B y A ). -4-

5 nde Chapitre 4 - Vecteurs On retient : abscisse de l extrémité - abscisse de l origine AB( ordonnée de l extrémité - ordonnée de l origine ) Exemple : Si A( ; 3) et B(4 ; 1) on a AB( ) donc AB( ). Démonstration : Les coordonnées de AB sont les coordonnées du point M tel que OM= AB. Alors [OB] et[am] ont le même milieu. Posons M(x ; y). Les coordonnées du milieu de[ob] sont( x B+ 0 y B + 0 ; ) soit( x B ; y B ) et celles du milieu de [AM] sont( x A+ x y A + y ; ). Donc x A+ x = x B x A+ x=x B x=x B x A et y A+ y = y B y A+ y= y B y= y B y A. On a donc bien AB( x B x A ). y B y A (Admises) Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales : u( x y )= v( x y ) x=x et y= y Dans un repère du plan si u( x y ) et v( x y ) alors u+ v( x+x y+ y ) -5-

6 nde Chapitre 4 - Vecteurs IV Produit d un vecteur par un nombre réel TD4 : u u J O I 1. (a) Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs u et u= u+ u. (b) Sont-elles proportionnelles? Si oui, préciser le coefficient de proportionnalité.. Représenter le vecteur 3 u= u+ u+ u. Reprendre la question 1 pour u et 3 u. 3. (a) Proposer des coordonnées pour le vecteur 1, 5 u. (b) Représenter ce vecteur. 4. Reprendre la question 3 pour les vecteurs 1 u, 5 u et u. 5. Sur votre feuille placer points A et B tels que AB= 4 cm. Construire : (a) le point C tel que AC= 1 AB (b) le point D tel que AD= AB -6-

7 nde Chapitre 4 - Vecteurs Définition 4 Soit u un vecteur et k un nombre réel. Si u( x y ) dans un repère, le vecteur noté k u est le vecteur de coordonnées( kx ) dans le même repère. ky Exemple : Soit AB( ) et les points C et D tels que AC= 3 AB et AD= AB : 1 3 AB( ) donc AC( 6 3 ) AB( 1 ) donc AD( 4 ) Si k et k sont deux nombres réels et u et v deux vecteurs, alors : v = k u u= k 1 v si k 0 (k+ k ) u= k u+ k u k(k u)=(kk ) u k( u+ v = k u+ k v Exemples : AB= 3 AC revient à AC= 1 AB 3 u= u+ u ; 3 u= u+ u+ u u u= u 3 1 u= 3( u) Exercice : Démontrer des propriétés du cours Dans un repère(o, I, J) les vecteurs u et v ont pour coordonnées( x y ) et(x y ). On considère deux nombres réels k et k. 1. (a) Calculer les coordonnées de k u, de k u puis de k u+ k u. (b) Démontrer que k u+ k u=(k+ k ) u.. Démontrer de même que k(k u)=(kk ) u et que k u+ k v = k( u+ v). V Vecteurs colinéaires et applications en géométrie V.1 Vecteurs colinéaires Définition 5 Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel. -7-

8 nde Chapitre 4 - Vecteurs Exemple : u( 4 ) et v( 3 6 ) sont colinéaires v = 3 u. Le vecteur nul 0 est colinéaire à n importe quel vecteur u car 0= 0 u. Dans un repère, les vecteurs u( x y ) et v( x y ) sont colinéaires : si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles ; si et seulement si xy = x y. Démonstration : u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u = k v ou v = k u. C est-à-dire qu il existe k tel que x=kx et y= ky ou tel que x = kx et y = ky. Cela signifie que les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Ceci revient encore à dire que "les produits en croix" sont égaux. V. Applications en géométrie (Admise) Deux droites(ab) et(cd) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Trois points A, B et C du plan sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires Démonstration : Supposons A, B et C distincts. Les droites(ab) et(ac) ont le point A en commun. A, B et C sont alignés si et seulement si les droites(ab) et(ac) sont parallèles, c est-àdire si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Conséquence : Un point M appartient à la droite(ab) si et seulement si AM et AB sont colinéaires. Exemple : Soit A( ; 1) et B( 3 ; 1) dans un repère. Un point M(x ; y) appartient à(ab) si et seulement si AM( x y+ 1 ) et AB( 5 ) sont colinéaires. Donc M(x ; y) appartient à(ab) si et seulement si(x ) =(y+1) ( 5) qui devient x 4= 5y 5 ou y= 5 x 1. On retrouve ainsi une équation de la droite(ab). 5-8-

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