Corrigé de l épreuve de mathématiques - section maths session principale

Transcription

1 ac-0 Eercice : Fau La courbe (C ) de la dérivée f est au dessus de l ae des abscisses donc pour tout entier de,5, f () > 0 D où la courbe (C) de f n admet aucune tangente de coefficient directeur - Vrai A(,0) appartient à (C) équivaut à f() = 0 et (3,) appartient à (C) équivaut à f(3) = 3 L aire de la partie hachurée est 3 3 Vrai f est continue et strictement décroissante sur f d f f 3 f 0,5 De plus, f,5 Donc l équation, f () = admet une unique solution sur,5 Et par suite, la courbe (C) admet une tangente de coefficient directeur 4 Vrai f est dérivable sur [, 3] et pour tout de [,3], f b f a b a f f donc pour tout a et b de [,3], Farid AIDI Lycée IN KHALDOUN RADES page - 7

2 ac-0 Eercice : a) CIJ est un triangle isocèle en C tel que CI, CJ donc rc I J b) r ti r ti r A Comme AJ est un triangle isocèle en tel que A, J alors r A J Par suite : r t I J c) On a : r t est la composée d une rotation d angle et d une translation donc r t est une rotation d angle Or r est une rotation d angle C et r ti r I C Donc r t rc Soit K =t(c) K C C K r t C rc C r t C C r K C 3 a) On a : O est le milieu de [AC] don SO A C Et t(c) = CK IA IAKC est un parallélogramme K,C C,K Comme O est le milieu de [AC] alors O est le milieu de [IK] d où SO I K Soit O D' S D, DA DI DA,DI donc DC DK D'C,D'K Or C K C,K alors D = Ainsi, SO D Farid AIDI Lycée IN KHALDOUN RADES page - 7

3 ac-0 On conclue que l image du triangle DIA par la symétrie centrale b) O est le milieu de [AC] et de [D] donc ACD est un parallélogramme S O est le triangle KC Eercice 3 : a) Comme AE 0 et AF 0, il eiste une unique similitude directe S de centre A qui transforme E en F AF 3 donc le rapport de S est 3 AE zf z A 3 3 AE, AF arg arg arg i zeza i donc l angle de S est Farid AIDI Lycée IN KHALDOUN RADES page 3-7

4 ac-0 b) L image de la droite S O,u O,v O,u par S est la perpendiculaire à O,u passant par S(E) = F donc c) N est un point de O,u donc S(N) = N est un point de D autre part, S(N) = N AN, AN' S O,u O,v donc le triangle ANN est rectangle en A Or ANP est rectangle en A et P appartient à O,v alors N = P Ainsi, S(N) = P d) L écriture complee de S est : 3 i z' za e z za z' 3i iz 3i z' 3i iz i z' iz i 3 3 a) Soit N(, 0) et P(0, y), S(N) = P iy i i y y 3 b) Résolvons dans l équation (E): 3 + y = 3 On a : = 3 donc (,5) est une solution particulière de l équation (E) D où 3( -) + (y 5) = 0 équivaut à 3(- ) = -(y 5) Comme 3 et divise 3( - ) alors divise donc il eiste un entier tel que = ou encore = + 3 = -(y 5) donc y 5 = -3 d où y = Inversement : si (, y) = ( +, ) avec alors 3 + y = 3( + ) + (-3 + 5) = =3 Donc N( +, 0) et P(0, ) avec Eercice 4: a) p(x > 0) = 005,5 e e 0,8 Farid AIDI Lycée IN KHALDOUN RADES page 4-7

5 ac-0 b) p( X < 0,5) = - 0,5 0,05 e e 0,00 a) Soit Y la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p(x < 0) = 0,8 n p p(y 0) 0,8 0,74 b) n n p 0,999 0,74 0,999 0,74 0,00 nln074 ln0,00 ln 0,00 n ln 074 n Or ln 0,00 ln 074 commander 5,5, donc n = est le nombre minimum d oscilloscopes que le responsable peut Eercice 5: I] Soit f () = ² - ln a) lim f et b) 0 ln lim f lim f ln lim lim donc la courbe O,j au voisinage de c) f est dérivable sur 0, et pour tout > 0, admet une branche parabolique de direction f 0 + f () f() M,ln et M, donc a) On a, pour tout > 0 : MM ym y M ln Farid AIDI Lycée IN KHALDOUN RADES page 5-7

6 ac-0 Comme (C) est au dessus de ( ) alors pour tout > 0, ln donc MM ln f b) La droite d équation = coupe ( ) en I et coupe (C) en I, on a donc f() = II La droite d équation = e coupe ( ) en J et coupe (C) en J, on a donc f JJ e La droite d équation = coupe ( ) en K et coupe (C) en K, on a donc f KK c) Voir figure II] ) a) Pour tout > 0, f Farid AIDI Lycée IN KHALDOUN RADES page - 7

7 ac-0 b) f 0 0 D autre part : f D où le tableau de signe de f : 0 + f () Ainsi f admet un minimum en égal à ln f ln ln ln c) Pour tout > 0, MM y y ln ln f minimale de MM est ln a) pour tout car M M ln, ln u ln ln ln donc la valeur ln lim ln u lim 0 donc On a ln u 0 lim u lim e e ln AA u f u 0 u b) ln ln lim AA lim u lim u 0 donc Farid AIDI Lycée IN KHALDOUN RADES page 7-7