2 ) Justifier que f est dérivable et calculer f'(x).
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- Émilien Delisle
- il y a 6 ans
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1 Eercice 1: Soit f la fonction définie sur IR - {-2 ; 0 } par f() = ( + 1) ) Donner les limites de f au bornes de son ensemble de définition 2 ) Justifier que f est dérivable et calculer f'() 3 ) Donner le tableau des variations de f 4 ) Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormal d'unité 1cm On indiquera et on tracera les asymptotes éventuelles à la courbe 5 ) Démontrer que la courbe (C) a un ae de symétrie 6 ) Déterminer l'équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 1 Tracer T Eercice 2: 1 On considère la fonction polynôme P définie pour tout réel par P a Etudier les variations complètes de P b Montrer que l équation P admet une solution réelle unique appartenant à ] 1,6 ; 1,7 [ et en déduire le signe de P 2 Soit I = ] 1 ; [ On considère la fonction f définie sur D par f On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) (on prendra comme unité 4 cm) a Etudier les limites au bornes de I et en déduire l eistence d asymptotes éventuelles b Etudier les variations de f en utilisant les résultats du 1 c Ecrire une équation de la droite D tangente à la courbe C au point d abscisse 0 wwwzribimathsjimdocom Page 1
2 Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite D dans l intervalle ] 1 ;1 [ Tracer la courbe C, la droite D et les asymptotes éventuelles Eercice 3: Pour réel, on pose ² 4 3 f ( ) 1 f( On appelle (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé 1) Quel est l'ensemble de défintion D f de f? Etudiez alors les variations de f 2) Déterminez trois réels a, b et c tels que pour tout réel dans D f, c f ( ) a b 1 Montez alors que la droite (D) d'équation "y = -5 " est asymptote à (C) Etudiez la position de (D) par rapport à (C) 3) Etudiez la limite de f en -1 Que peut-on en déduire? 4) Déterminez les points d'intersection entre (C) et l'ae des abscisses 5) En prenant = 1,828 à 0,001 près et = à 0,001 près, tracez la courbe (C), les asymptotes de (C), ainsi que les tangentes horizontales de (C) Eercice 4: Soit f une fonction définie sur l'intervalle ]0;+oo[ par : ( ) c f a b où a, b et c sont des nombres réels On sait que f est strictement croissante sur ]0;2], strictement décroissante sur [2;+oo[, f(2)=-3 et f(1) = -4 1) Formez le tableau de signes de f '() sur ]0;+oo[ Quel est le signe de f() pour > 0? 2) Eprimez f '() en fonction de a, b, c et Montrez alors que les réels a, b et c sont solutions du système: 4a 2b c 0 4ac 0 a b c 4 Déterminez alors les réels a, b et c Donnez l'epression de f() 3) Montrer que la courbe de f admet deu asymptotes à préciser Tracez l'allure de la courbe de f ainsi que ses asymptotes wwwzribimathsjimdocom Page 2
3 Eercice 5: Soit la fonction définie par f()=2+5- ² 2 On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé( O,i, j ) 1/ a) déterminer le domaine de définition de f b) calculer lim f ( ) et lim f ( ) c) montrer que la droite :y=+4 est asymptote oblique de au voisinage de + d) Montrer que possède une asymptote oblique que l'on précisera au voisinage de - 2/ étudier la dérivabilité de f à gauche en -2 et à droite en0 et interpréter graphiquement les résultats obtenus 3/ on désigne par g la restriction de f à l'intervalle]-,-2] a) Dresser le tableau de variations de g b) montrer que g réalise une bijection de]-,-2] sur un intervalle J que l'on précisera c) Montrer que g()=0 admet dans]-,-2] une solution unique et que ]-3,-2[ d) Calculer g(-3) et (g -1 )'(-1-3) 4/ Construire dans le même repère les courbes représentatives de g et g / soit la fonction h définie sur]-,- [ par h()=g( 2 sin ) a) montrer que h est dérivable sur]-,- 2 [ et déterminer h'() b) en déduire les variations de h Eercice 6: On considère la fonction f définie sur [1,+ [ par f()=-1+ ² 1 et on désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O,i, j ) 1/ déterminer lim f ( ) 2/ a) étudier la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter géométriquement le résultat obtenu b) montrer que f est dérivable sur ]1,+ [ et calculer f '() a) dresser le tableau de variations de f 3/ a) montrer que la courbe admet une asymptote oblique D que l'on déterminera b) préciser la position de par rapport à D 4/ déterminer les coordonnées su point d'intersection de et :y= wwwzribimathsjimdocom Page 3
4 5/ a) montrer que f est une bijection de [1,+ [ sur un intervalle J que l'on précisera b) déterminer f -1 () pou J 6/ tracer la droite D, les courbe et ' de f -1 7/ soit la fonction définie sur ]0,1[ par ()=f( 1 ) a) montrer que est dérivable sur ]0,1[ et calculer '() b) en déduire les variations de Eercice 7: On considère la fonction f définie sur IR par : 1 f ( ) si 1 f ( ) sin( ) si f ( ) ² 1 si 1 I/ 1/ a) étudier la continuité de f en 1 et en -1 b) en déduire le domaine de continuité de f 2/ soit g la restriction de f à ]-1,1[ a) montrer que g réalise une bijection de ]-1,1[ sur un intervalle J que l'on précisera b) Montrer que g -1 est dérivable ]-1,1[ c) Calculer (g -1 )'() pour tout ]-1,1[ II/ Soit h la restriction de f à [1,+ [ 1/ a) montrer que h est dérivable sur ]1,+ [ b) étudier la dérivabilité de h à droite en 1 2/ a) étudier les variations de h b) montrer que h la courbe représentative de h admet en + une asymptote oblique a) Etudier la position de h par rapport à cette asymptote 3/ tracer h dans un repère orthonormé direct ( O,i, j ) 4/ a) montrer que h admet une fonction réciproque h -1 b) tracer dans le même repère h -1 courbe représentatif de h - 1 wwwzribimathsjimdocom Page 4
5 Eercice 8 : Soit f la fonction définie par: f ( ) 1 1 ² ; on note la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O,i, j ) 1/ a) montrer que f est dérivable sur IR b) montrer que pour tout IR, f '( ) 1² a) Dresser le tableau de variations de f b) En déduire le signe de f() pour tout IR 2/ a) vérifier que la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation y=+1 b) étudier la position relative de par rapport à T c) démontrer que le point W(0,1) est un point d'infleion de 3/ montrer que le point W est un centre de symétrie de 4/ a) montrer que admet au voisinage de + une asymptote horizontale D dont on donnera une équation et au voisinage de - une asymptote horizontale qui est l'ae des abscisses b) étudier la position de par rapport à la droite D et à (O, i ) 5/ tracer, T et D dans le repère ( O,i, j ) 1 3 6/ a) montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l'on précisera b) tracer dans le repère ( O,i, j ) la courbe ' représentative de la fonction f -1 7/ a) étudier la dérivabilité de f -1 sur J b) montrer que pour tout ]0,2[, f( 1 2 ² )= c) donner l'epression de f -1 () pour ]0,2[ d) calculer (f -1 )'() 8/ soit g la fonction définie sur IR par g()=f()- a) montrer que g est strictement décroissante sur [0,+ [ b) En déduire que l'équation f()= admet une solution unique dans ]1,2[ wwwzribimathsjimdocom Page 5
6 Eercice 9 : Soit f la fonction définie par f()= 4 dans un repère orthonormé 1/ a) déterminer D f b) déterminer lim f ( ) 1 1, sa courbe représentative 2/ étudier la dérivabilité de f à gauche en 4 Interpréter géométriquement le résultat obtenu 3/ a) montrer que f est dérivable sur ]-1,4[ et que pour tout ]-1,4[; f'()= 5 2( 1 )² 4 1 b) dresser le tableau de variations de f 4/ a) montrer que f est une bijection de ]-1,-4[ sur un intervalle J que l'on précisera b) étudier la continuité de f -1 sur J 5/ a) montrer que f -1 est dérivable en 2 et calculer (f -1 )'(2) b) donner une équation de la tangente à la courbe de f -1 au point d'abscisse 2 6/ montrer que f -1 est dérivable sur J 7/ eplicité f -1 () pour tout J 8/ représenter dans le même repère et ' courbe représentative de f -1 9/ a) montrer que l'équation f()= admet une unique solution ]1,[ b) déterminer (f -1 )'() Eercice 10 : I/ on considère la fonction h définie par h()= 4 4 ² 1 wwwzribimathsjimdocom Page 6 1 1/ déterminer le domaine de définition et de dérivabilité de h 2/ dresser le tableau de variations de h 3/ déterminer le signe de h II/ soit f la fonction définie par f()= 4 ² 1 1/ a) déterminer le domaine de définition de f b) calculer lim f ( ) et lim f ( ) 2/ étudier la continuité de f sur son domaine de définition 3/ a) étudier la dérivabilité de f en 1 et en b) interpréter géométriquement les résultats obtenus
7 4/ a) déterminer le domaine de dérivabilité de f b) dresser le tableau de variations de f 5/ soit g la restriction de f à l'intervalle I= ]-,- 1 2 ] a) montrer que g réalise une bijection de I sur un intervalle J que l'on précisera b) Eplicité g -1 () pour tout J Eercice 11 : I/ on considère la fonction g définie sur IR par g()= ² 1 1/ déterminer lim g( ) et lim g( ) 2/ a) montrer que g est dérivable sur IR et calculer g'() b) dresser le tableau de variations de g, en déduire que g()>0, pour tout IR II/ soit la fonction f définie sur IR par f()= 4 ² 1 2 et sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j ) 1/Calculer lim f ( ) et lim f ( ) 2/a) montrer que la courbe admet deu asymptotes b) étudier la position de par rapport à l'asymptote oblique 3/ dresser le tableau de variations de f 4/a) montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l'on précisera a) montrer que f -1 est dérivable sur J 5/ calculer f -1 (1) et (f -1 )'(1) 6/ a) montrer que l'équation f()= - admet une solution unique dans ]- 2,0[ b) calculer f '() et (f -1 )'() 7/ tracer et ' courbe représentative de f -1 dans le même repère Problème 12: A/ soit f la fonction définie sur IR par : f()=1+ ² 1 1/ étudier les variations de f sur IR 2/ soit la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,, j ) préciser les asymptotes de 3/a) montrer que admet un point d infleion I que l on précisera b) écrire un équation de la tangente T à en I wwwzribimathsjimdocom Page 7 i ;
8 c) préciser la position relative de T et 4/ a) tracer et T dans le même repère (O, i, j ) b) que représente I pour? justifier 5/ a/ montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle J que l on déterminera b) calculer l epression de f -1 () pour J c) tracer la courbe de f 1 dans (O, i, j ) 6/ a) montrer que l équation f()= admet une solution réelle unique b) vérifier que ]1,2[ B/ soit la suite U définie sur IN par : U 0 réel donné 1 ; et U n+1 =f(u n ) 1/ montrer que pour tout nin ; 1 U n 1 2/ montrer que pour tout [1,+[ ; on a 0 f () / en déduire que pour tout n IN ; U n+1 - Un / montrer que pour nin ; U n+1 - ( ) n U / en déduire que U converge et déterminer sa limite 6/ on suppose que U 0 a) montrer que pour tout n IN ; on a U n b) étudier le signe de f()-, en déduire que U est monotone c) conclure wwwzribimathsjimdocom Page 8
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