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2 T A B L E D E S M A T I È R E S ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS PREMIER DEGRÉ... 3 ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS SECOND DEGRÉ... 7 FACTORISATION ET DÉVELOPPEMENT LES VECTEURS PARALLÉLISME LES IDENTITÉS REMARQUABLES LE TRIANGLE LES LONGUEURS ET LES AIRES FRACTIONS VITESSE, POURCENTAGE, ÉCHELLE PPCM ET PGCD LES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES THÉORÈME DE PYTHAGORE LES QUADRILATÈRES LES RACINES CARRÉES ÉQUATIONS A 2 INCONNUES SENS DE VARIATION THÉORÈME DE THALÈS LES TRIANGLES TRIGONOMÉTRIE ET RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE UNITÉS ET CONVERSIONS STATISTIQUES STATISTIQUES NIVEAU Page 2 sur 36

3 Le présent mémento répertorie en majorité les notions de bases à avoir. Cependant, des recherches supplémentaires sont à prévoir pour les domaines spécifiques. É Q U A T I O N S E T I N É Q U A T I O N S P R E M I E R D E G R É I. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue : Exemple : résoudre l'équation Solution : Page 3 sur 36

4 II. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue : Exemple : résoudre l'inéquation Solution : III. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues : Exemple : résoudre le système : Page 4 sur 36

5 Solution par addition : on multiplie (1) par 2 : Solution par déterminants : Page 5 sur 36

6 Solution graphique : Page 6 sur 36

7 É Q U A T I O N S E T I N É Q U A T I O N S S E C O N D D E G R É 1. Résoudre une équation du second degré Exemple : résoudre l'équation Méthode algébrique : Solution algébrique : Page 7 sur 36

8 Solution graphique : 2. Factoriser le trinôme du second degré Exemple : factoriser le trinôme Méthode : Solution : Page 8 sur 36

9 3. Résoudre une inéquation du second degré Exemple : résoudre l'inéquation : Méthode : Solution : Page 9 sur 36

10 F A C T O R I S A T I O N E T D É V E L O P P E M E N T 1. Développement : Développer un produit, c est l écrire sous la forme d une somme ou d une différence. - k (a + b) = ka + kb - (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd 2. Factorisation : Factoriser une somme ou une différence, c est l écrire sous forme d un produit. On a ka + kb = k (a + b). On dit que k est mis en facteur. Ex : (X + 1) (3X+2) (X+1) = (X+1) (3X+2-1) = (X+1) (3X+1) L E S V E C T E U R S 1. Généralités : A tout couple de points (A, B) est associé un vecteur ABv {AB}. Lorsque A=B, on pose AAv {AA} = 0v{0} (vecteur nul). La norme du vecteur ABv {AB} est la longueur AB, elle est notée _ABv {AB} Page 10 sur 36

11 2. Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux lorsqu ils sont nuls tous les deux, ou bien lorsqu ils ont même sens, même direction, même longueur. Lorsque les points A, B, C, D ne sont pas alignés, ABv {AB} = CDv {CD} signifie que ABCD est un parallélogramme. 3. Addition de vecteurs : La relation de Chasles : ABv {AB} + BCv {BC} = ACv {AC} La règle du parallélogramme : ABv {AB} + ACv {AC} = ADv {AD} 4. Vecteurs colinéaires : Dire que deux vecteurs non nuls ABv {AB} et CDv {CD} sont colinéaires signifie qu ils ont la même direction, c est-à-dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Dire que deux vecteurs non nuls ABv {AB} et CDv {CD} sont colinéaires signifie qu il existe un nombre k tel que ABv{AB} = k CDv{CD}. P A R A L L É L I S M E 1. Parallélisme de droites Définition : Dans l espace, deux droites distinctes sont parallèles si : d une part, elles sont situées dans un même plan ; d autre part, elles n ont pas de point commun. Page 11 sur 36

12 Dans l espace, deux droites qui n ont pas de point commun ne sont pas nécessairement parallèles. 2. Parallélisme de droites et de plan Définition : Un droite D est parallèle à un plan P si elle n a pas de point commun avec P, ou si elle est contenue dans P. Propriété : Si une droite D est parallèle à une droite D d un plan P, alors D est parallèle à P. Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur intersection. 3. Parallélisme de plans Propriété : Pour qu un plan Q soit parallèle à un plan P, il faut et il suffit que deux droites sécantes de Q soient parallèles à P. Propriété : Un plan sécant à deux plans parallèles les coupe suivant deux droites parallèles. 4. Droites orthogonales Définition : Deux droites de l espace sont orthogonales si les parallèles à ces droites menées par un point quelconque sont perpendiculaires. 5. Droites orthogonales à un plan Définition : Une droite est orthogonale à un plan lorsqu elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Propriété : Les droites perpendiculaires à une droite donnée D et passant par un point I de D sont situées dans un même plan : le plan orthogonal à D en I. Page 12 sur 36

13 Propriétés : Si une droite D est orthogonale à deux droites sécantes de P, alors D est orthogonale à P ; Une droite D est orthogonale à une droite est incluse dans un plan orthogonal à D. Par un point A, il passe une droite et une seule orthogonale à un plan P. Par un point A, il passe un plan et un seul orthogonal à une droite D. Deux droites D et D orthogonales à un même plan sont parallèles. Deux plans P et P orthogonaux à une même droite sont parallèles. L E S I D E N T I T É S R E M A R Q U A B L E S Il y a 3 identités remarquables à connaitre par cœur : (a +b) ² = a² + b² + 2 ab. On peut vérifier l identité en développant (a+b) ² = (a+b) (a+b) (a - b) ² = a² + b² - 2 ab. On peut vérifier l identité également en développant l expression. (a + b) (a b) = a² - b² On peut de même vérifier l identité en développant l expression. Page 13 sur 36

14 L E T R I A N G L E 1. Le triangle : Un triangle ABC est un polygone à 3 côtés. Les points A, B et C sont les sommets du triangle. Aire d un triangle Définition : L aire d un triangle est égale au demi-produit de la base par la hauteur associée. bxh 2 2. Triangles particuliers : Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur. Un triangle rectangle est un triangle qui a deux côtés perpendiculaires (Soit, qui a un angle droit). Page 14 sur 36

15 3. Angles d un triangle Propriété : La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180. Cas particuliers : 1) Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60. 2) Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des angles aigus est égale à 90. 3) Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. 4) Dans un triangle rectangle isocèle, les angles à la base mesurent chacun 45. L E S L O N G U E U R S E T L E S A I R E S Unité de longueur et d aire Unités de longueur Unité d aire km hm dam m dm cm mm km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 ha a ca unités agraires correspondantes F R A C T I O N S On va vous demander de simplifier des fractions, de les additionner, de les multiplier ou de les diviser entre elles. Page 15 sur 36

16 Simplifier : On applique a a c b b c où a, b et c sont des entiers avec b et c étant non nuls. Il faut obtenir une fraction irréductible, c est-à-dire telle que PGCD de a et b = 1. Pour une fraction a ', on calcule le PGCD c de a et b (non nul) et on divise a et b par c. b ' 15 Ex : Additionner ou soustraire : Pour additionner ou soustraire 2 fractions entre elles, il faut les réduire au même dénominateur, c est-àdire calculer le PPCM Multiplier : On applique a b c d ac bd avec a, b, c, d étant des entiers et b et d étant non nuls. Diviser : a b c d a b d c avec b, c et d non nuls. Page 16 sur 36

17 V I T E S S E, P O U R C E N T A G E, É C H E L L E Vitesse On applique la formule v = d/t avec d pour la distance et t pour le temps. D où les autres équations, d = v x t et t = d/v. Si on demande de convertir des km/h en m/s, il faut multiplier par 1000 et diviser par 3600, c est-à-dire diviser par 3,6. Pourcentage Le pourcentage (%) est une fraction particulière. 2 cas peuvent se présenter : Le pourcentage exprime une partie. Par exemple, Donner 10 % de On fait alors : Le pourcentage est une variation. Par exemple, une action qui vaut 100 augmente de a =10 %. On fait alors : 100 a 100 soit ici 1001, Une baisse de 10 % revient à prendre a = - 10, soit ici 90. Page 17 sur 36

18 Attention aux successions de variations Une action de 100 qui augmente de 50 % puis baisse de 100 % ne baisse pas de 50 %. On fait : 100 x 1,5 x 0,5 = 100 x 0,75 = 75 Échelle Une échelle au 1/ signifie par exemple que 1 cm sur une carte représente cm en distance réelle. Il suffit ensuite de convertir les cm en m ou en km. P P C M E T P G C D PPCM et PGCD s utilisent pour les calculs sur les fractions. PPCM ou Plus Petit Commun Multiple Soient deux entiers a et b. Le PPCM est le plus petit nombre entier p tel qu il existe 2 entiers c et d tels que p = a c et p = b d. Pour trouver le PPCM de 2 entiers, on décompose ce nombre en facteurs premiers, c est-à-dire en nombres qui ne sont divisibles que par 1 ou par eux-mêmes. Ensuite, pour obtenir le PPCM, on multiplie ensemble tous les facteurs premiers des 2 nombres mais on ne compte qu une fois ceux qui sont communs aux deux nombres. Le PPCM de 45 (3 x 3 x 5) et 18 est de même 2 x 3 x 3 x 5 = 90. Page 18 sur 36

19 PGCD ou Plus Grand Commun Diviseur Pour trouver le PGCD de 2 nombres, on décompose les deux nombres en facteurs premiers (voir PPCM) mais on ne multiplie que les facteurs communs aux 2 nombres. Ex : Le PGCD de 15 et 18 est 3. Le PGCD de 45 et 18 est 3 x 3 = 9 L E S P R O B A B I L I T É S C O N D I T I O N N E L L E S THÉ O R È M E D E P Y T H A G O R E 1. Théorème de Pythagore Le théorème de Pythagore permet e calculer le troisième côté d un triangle rectangle connaissant les deux autres. Énoncé : dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés. Pour la figure ci-dessous : BC 2 = AC 2 + AB 2 On pourra décliner ses formules pour pouvoir calculer les autres côtés : Page 19 sur 36

20 AC 2 = BC 2 AB 2 AB 2 = BC 2 AC 2 2. Réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle (ABC), la propriété BC 2 = AB 2 + AC 2 est vérifiée, alors (ABC) est un triangle rectangle en A. L E S Q U A D R I L A T È R E S 1. Quadrilatères Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. La somme des angles d un quadrilatère est égale à 360. On appelle diagonale le segment qui rejoint deux sommets opposés d un quadrilatère. 2. Quadrilatères particuliers Trapèze Un trapèze est un quadrilatère qui possède deux côtés parallèles. Page 20 sur 36

21 Parallélogramme Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leurs milieux. Rectangle Le rectangle est un parallélogramme qui possède 1 angle droit. Ses diagonales sont de même longueur et tous ses angles sont droits. Losange Le losange est un parallélogramme dont les deux côtés consécutifs sont égaux. Il en résulte que les 4 côtés sont de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires. Carré Le carré est à la fois un losange et un rectangle et possède toutes leurs propriétés. L E S R A C I N E S C A R R É E S 1. Définition Soit a un nombre positif, la racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a. On la note a. On a en particulier 0 0 Page 21 sur 36

22 La racine carrée équivaut à une puissance ½, a ½ = a 2. Équation Soit X² = a, avec a positif. On a X = a ou X = a 3. Operations - a ² = a avec a positif. - a b = ab avec a et b positifs. - a / b = a avec a positif et b positif et non nul. b É Q U A T I O N S A 2 I N C O N N U E S 1. Définition Ce sont des systèmes de la forme suivante : ax +by Avec a, b, c et d non nuls. cx dy Ces systèmes ont un couple de solutions unique (X ; Y). Page 22 sur 36

23 2. Solution rapide pour les qcm Le plus rapide est souvent de remplacer les valeurs proposées dans le QCM dans les équations. Sinon, voici les méthodes de résolution. 3. Résolution Il y a 2 méthodes, par substitution et par addition. A. Méthode par substitution On calcule X en fonction de Y grâce à la première équation, puis on remplace X dans la deuxième équation. X Y 4X Y De la première équation, on tire X 2Y. On remplace X dans la deuxième équation, ce qui donne B. Méthode par addition Le but est d'éliminer une des 2 inconnues en additionnant ou en soustrayant les 2 équations membre à membre. Dans notre exemple, la solution est évidente. En soustrayant membre à membre, on obtient = 2 3 Page 23 sur 36

24 Si on avait eu dans la première équation X Y membre de l'équation par 2 soit 2X Y S E N S D E V A R I A T I O N 1. Définition Le sens de variation d une fonction consiste à se demander si une fonction est croissante (f (X) f ( X ) pour X > X ), ou décroissante. On peut préciser de même si elle est strictement croissante (f (X) > f ( X )) ou strictement décroissante. 2. Dérivée et sens de variation C est le signe de la dérivée (f (X)) qui donne le sens de variation de f(x) : - f > 0 f est strictement croissante et bijective. - f < 0 f est strictement décroissante et bijective. - f 0 f est décroissante. - f 0 f est croissante. 3. Cas ou la dérivée s annule Lorsque f s'annule, par exemple pour X = c, la courbe admet alors une tangente horizontale au point d abscisse X = c. Si la dérivée change de signe en X = c, alors, on a un extremum (minimum ou maximum). Page 24 sur 36

25 T H É ORÈ M E D E T H A L È S Rappel de cours Configuration de Thalès : Un triangle et une droite parallèle mais non confondue à un des côtés du triangle. Deux cas de figure : Configuration «triangle» Configuration «sablier» La droite parallèle coupe le triangle La droite parallèle est extérieure au triangle Si les droites (EF) et (BC) sont parallèles, la propriété de Thalès permet d affirmer : AE AB AF AC EF BC Réciproque de Thalès AE Si AB AF AC EF BC alorslesdroites(ef) et(bc) sont parallèles. Page 25 sur 36

26 L E S T R I A N G L E S Rappel de cours : Un triangle est un polygone à trois côtés. Dans un triangle, la somme des angles est égale à Droites particulières d un triangle Médiatrice Droite perpendiculaire à un côté passant par le milieu. Au point de concours des médiatrices se trouve le centre du cercle circonscrit au triangle. Médiane Droite issue d un sommet d un triangle passant par le milieu du côté opposé. Le point de concours des médianes d un triangle s appelle le centre de gravité. Hauteur Droite issue d un sommet d un triangle et perpendiculaire au côté opposé. Le point de concours des hauteurs d un triangle s appelle l orthocentre. Page 26 sur 36

27 Bissectrice Droite séparant un angle en deux angles égaux. Le point de concours des bissectrices d un triangle est le centre inscrit à l intérieur du triangle. 2. Triangles particuliers Triangle isocèle Triangle qui possède deux côtés de même longueur. Les angles à la base sont égaux. Triangle équilatéral Triangle dont les trois côtés sont égaux. Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux à 60. Et les hauteurs sont aussi les médianes, les médiatrices et les bissectrices. Triangle rectangle Triangle possédant un angle droit Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le plus grand côté du triangle. Il se situe à l opposé de l angle droit. Le centre de ce cercle circonscrit se situe au milieu de l hypoténuse. Page 27 sur 36

28 T R I G O N O M É T R I E E T R E L A T I O N S M É T R I Q U E S D A N S L E T R I A N G L E 1. Les formules d addition : Théorème : Pour tout a et b réels, cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b sin ( a b) = sin a cos b + sin b cos a sin ( a + b) = sin a cos b - sin b cos a Corollaire : Pour tout réel a, cos 2a = cos 2 a - sin 2 a sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = 1-2 sin 2 a cos 2a = 2 cos Relations métriques dans le triangle : Théorème : Soit ABC un triangle quelconque. Page 28 sur 36

29 L usage est de noter : BC = a, AC = b, AB = c; S l aire du triangle; A = BAC, B = CBA, C = BCA. Théorème d Al-Kashi : (Avec les notations précédentes) a2 = b2 + c2 2bc cos A b2 = a2 + c2 2ac cos B c2 = a2 + b2 2ab cos C Théorème : (Avec les notations précédentes) S = 2 1 bc sin  S = 2 1 ac sin Bˆ S = 2 1 ab sin C Théorème : (Avec les notations précédentes) a sin A = a sin B = c sin C Page 29 sur 36

30 U N I T É S E T C O N V E R S I O N S 1. Unités La plupart des unités ont le même mode de fonctionnement : le même préfixe est utilisé pour désigner par exemple 10 unités ou par exemple un centième d unité : 1000 unités = 1 kilo (k). Ex : 1 km = 1000 m. 100 unités = 1 hecto (h). Ex : 1 hg = 100 g. 10 unités = 1 déca (da). Ex : 1dam = 10 m. 1/10 d unité = 1 déci (d). Ex : 1dm = 0,1 m. 1/100 d unité = 1 centi (c). Ex : 1 cl = 0,01 l. 1/1000 d unité = 1 milli (m). Ex : 1ml = 0,001 l. 2. Conversions Dans le cas où il faut additionner des hectomètres et des décamètres par exemple, le mieux est de mettre tout en mètres. Pour les grands ou les très petits nombres, on peut utiliser les puissances de 10. Attention aux unités de surface ou de volume 1 km2 = x m2 = m2 = 106 ml 1 m3 = 100 x 100 x 100 = = 106 cm3 Page 30 sur 36

31 S T A T I S T I Q U E S 1. Tracer l histogramme représentant une série statistique : Exemple : répartition suivant leur âge des employés d une entreprise Méthode : on construit des rectangles dont les aires sont proportionnelles aux effectifs des classes correspondantes. La première classe ayant une amplitude double de celle des autres sera représentée par un rectangle de hauteur 2 fois plus petite. De même la dernière classe est représentée par un rectangle de hauteur 3 fois plus petite. Solution : Page 31 sur 36

32 2. Établir le tableau permettant d obtenir les caractéristiques de la série 3. Déterminer la moyenne pondérée de la série : 4. Déterminer la médiane à l aide des polygones des effectifs cumulés : Solution : Page 32 sur 36

33 5. Calculer la médiane de la série : Calculer l écart-type de la série : S T A T I S T I Q U E S N I V E A U 2 1. Rappel : série statistique à une variable La moyenne X est X = N 1 i ni X i Page 33 sur 36

34 La variance est V (X) = N 1 (i n i (X i - X ) ²) = N 1 (i n i X i ²) ( X ) ² L écart type est (X) = V (X ) 2. Ajustement d une série statistique a 2 variables par une droite affine Le but est de trouver un lien entre les caractères X i et les caractères Y i d une série statistique à 2 variables. On essaie ici de voir si on peut modéliser la relation entre X et Y par une droite, dite : "Droite de régression". Le coefficient de corrélation r mesurera la pertinence de la modélisation, c est-à-dire si les points X i et Y i sont proches de la droite. Il est compris entre 1 et 1. La corrélation est forte si r est proche de 1 ou de 1. Soit Y = a X + b la droite de régression, a = i i i i ² i = cov ; V Page 34 sur 36

35 Cette droite passe par le point moyen G ; et a pour équation Y = a + r = ; cov Auteur : M. Yann BOROT Page 35 sur 36

36 Page 36 sur 36