ANGLES ORIENTES ET TRIGONOMETRIE

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1 GLES RETES ET TRGETRE ) UE UVELLE ESURE D'GLE Exercice préparatoire: Soit le cercle de centre et de raon 1. n donne les points,, et D de ce cercle tels que = 5, = 90 et D = 180 alculer les longueurs des arcs, et D. n dit que ces nombres sont les mesures en radian des angles et D. D E Définition: un cercle de centre et de raon 1 Le radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte sur ce cercle un arc de longueur 1 1 rad 1 1 Remarque : sur un cercle de raon 1, la longueur de l'arc et la mesure en radian de l'angle au centre qui l'intercepte sont exprimés par le même nombre. onversion entre degrés et radians. ompléter le tableau suivant: degrés radians 6 ) GLE RETE DE DEUX VETEURS UTRES ET RD Soit un repère orthonormal direct ;,. le cercle de centre et de raon 1 muni du sens direct ou sens + (sens contraire des aiguille d'une montre). e cercle est appelé cercle trigonométrique. Soit D la tangente à en muni du repère ( ;' ) avec '=. tout réel x, on peut associer un point d abscisse x sur D. n imagine que l on enroule D comme un fil autour de. n obtient ainsi un point unique sur. ' x rad ' x Définition: Le réel x est appelé mesure en radian de l arc orienté d origine et d'extrémité ou mesure de l angle orienté,. ' ompléter le tableau suivant: x Donner tous les réels qui sont représentés par, et.

2 Exercice : Soit un cercle de raon 3. Quelle est la longueur d un arc intercepté par un angle au centre de 6 rad La longueur d un arc intercepté par un angle au centre de x rad sur un cercle de raon r est ) GLE RETE DE DEUX VETEURS ULS v Soient u et v deux vecteurs non nuls et les points 1, et tels que = u u 1 et = v v Donc et sont unitaires. u Définition : n appelle mesure de l angle orienté u,v toute mesure de l angle orienté, Un angle orienté a une infinité de mesures. Si est une mesure, toutes les autres sont de la forme + k avec k Z. n écrit u,v [] Ex 1 et Un angle orienté possède une seule mesure dans ] -;]. ette mesure s appelle la mesure principale de cet angle. -u -v v u u,v + v,w = + k avec k Z. v,u = + k avec k Z. u, v = + k avec k Z. u,v = + k avec k Z. v,u = + k avec k Z. = + k avec k Z. Somme des angles dans un triangle, +, +, = + k avec k Z. lignement de trois points soient, et trois points deux à deux distincts, et sont alignés, = + k avec k Z. ou, = + k avec k Z. [], = + k avec k Z

3 issectrice () est la bissectrice de, =, + k avec k Z ngle inscrit Soit un cercle de centre et et deux points distincts de. Pour tout point de distincts de et on a :, =, + k avec k Z V) SUS ET SUS D U GLE Le plan est muni d un repère orthonormal direct ;,. Définition Soit un cercle trigonométrique, et x un réel auquel on peut associer un point unique de tel que, = x. n appelle cos ( x) l abscisse de et sin ( x ) l ordonnée de. sin(x) x cos(x) H x Propriétés : Pour tout réel x : cos (x) sin (x) cos (x) + sin (x) = En utilisant le triangle rectangle et le cercle de centre de raon 1 montrer que : cos ( ) = et sin ( ) = H En utilisant un triangle rectangle isocèle et un triangle équilatéral EFG, compléter le tableau suivant : x cos x sin x

4 V) GLES SSÉS n donne un point de tel que, = x, placer sur les points 1,, 3,, 5, 6 tels que, 1 =x+ ;, = - x ;, 3 = x+ ;, = -x ;, 5 = x et, 6 = - x o Exprimer en fonction de cos x et sin x : cos (x+) = sin ( x+ ) = cos (- x ) = sin ( - x ) = cos ( x+ ) = sin ( x+ ) = cos ( - x ) = sin ( - x ) = cos ( x+ ) = sin ( x+ ) = cos ( - x ) = sin ( - x ) =

5 V) REPERGE PLRE D U PT DS LE PL Le plan est muni d un repère orthonormé direct ; i, j. Définition : Soit, on appelle cordonnées polaires de dans le repère ( ; i ) le couple de réels ( r ; ) où r = et = i, - Si ( r ; ) dans le repère ( ; i ) alors ( ; ) dans le repère ; i, j - Si ( x ; ) repère ; i, j alors ( ; ) dans le repère ( ; i ) avec cos ( ) = et sin ( ) = EX 3 o ' V) L FT TGETE Définition : Pour tout x + k avec k Z et x + k avec k Z tan (x) = sin x cosx Rq : tan(x) est l'abscisse de T dans le repère ( ; ) avec = où T est l'intersection de () et de la tangente à en. Dans un triangle rectangle tan = opp adj. o T

6 EXERES EXERE 1 : Déterminer les mesures principales de : 18 ; 3 ; 7 ; 17 3 ; 7 6 ; 95 7 EXERE : n donne le cercle trigonométrique, donner deux mesures (une positive et une négative) des angles qui sont représentés par les points suivants : F E D ' G H ' L EXERE 3: Le plan est muni d un repère orthonormé direct ; i, j. 1) n donne les coordonnées de ( 3 ; 3 cartésiennes de dans le repère ; i, j ) dans le repère ( ; i ), déterminer les coordonnées ) n donne les coordonnées de (6 ; ) dans le repère ( ; i ), déterminer les coordonnées cartésiennes de dans le repère ; i, j 3) n donne les coordonnées cartésiennes de (- 7 ; 7 ) repère ; i, j déterminer les coordonnées polaires de dans le repère ( ; i ) ) n donne les coordonnées cartésiennes de ( 5 ; 53 ) repère ; i, j déterminer les coordonnées polaires de dans le repère ( ; i ) EXERE : 1) Résoudre l'équation cos(x) = 1 dans chacun des intervalles [0;[ ; ]-;] [0;]. ) ême question avec l'équation et les inéquations suivantes : sin(x) = ; cos(x) > 3 et sin(x) < 1