Comparaison de méthodes d ajustement d une distribution de Weibull à 3 paramètres sur une base de données de mesures de ténacité

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1 Comparason de méthodes d ajustement d une dstrbuton de Webull à 3 paramètres sur une base de données de mesures de ténacté M. Marquès, N. Pérot, N. Devctor Laboratore de Condute et Fablté des Réacteurs DEN/DER/SESI Centre d Etude Nucléare de Cadarache St-Paul-lez-Durance Cedex

2 Contexte et Objectfs The knowledge of the behavour of the pressure vessel s of prme mportance n the nuclear power plant lfetme program F K IC Evaluaton of the falure rsk for a reactor vessel subjected to pressursed thermal shock transent ( K ) = P( K IC K - K K ) = 1- exp - K 0 - K mn mn α Thescattern theresultsof steel toughness measures s modelsed (Master curve) by a Webull dstrbuton

3 Base de données de ténacté EPRI Base de données EPRI : 254 données de ténacté K Jc, 18 matéraux, 26 < K Jc < 163 MPa Normalsés par RT NDT : -214 C < T RT NDT < 18 C Kc (MPaVm) T - RTndt ( C)

4 Context and Objectves Charactersaton of the toughness databases by the master Curve model does not seem suffcent α= 4, Kmn = 20 MPa m too conservatve Toughness s very dependent on materal temperature Developpement of a methodology based on 5 estmaton technques for fttng a 3-parameter Webull dstrbuton on a toughness database The result of these methods s a Webull dstrbuton where the 3 parameters are functons of the temperature

5 Descrpton de la méthodologe Base de données Ténacté Ajustement Global drect Sous-échantllonnage Ajustement des paramètres sur chaque échantllon Ajustement global Ajuster chaque paramètre / la température FK IC ( K ) = 1- exp - K - µ ( T ) β ( T ) α ( T )

6 Méthodes d ajustement nécesstant un sous-échantllonnage Base de données de ténacté US Electrc Power Research Insttute (EPRI) Sous-échantllonnage séquentel Sous-échantllonnage par fenêtre glssante

7 Méthodes d ajustement local sur chaque échantllon 1. Ajustement basé sur la méthode des moments 2. Ajustement basé sur la méthode du maxmum de vrasemblance 3. Ajustement basé sur le mxage des méthodes 1 et 2 4. Ajustement basé sur le maxmum de vrasemblance estmé par un algorthme génétque

8 Ajustement basé sur la méthode des moments 1. Pour α (paramètre de forme) varant sur [a;b] avec un pas h, l estmaton de K 0 -K mn et K mn est obtenue par la méthode des moments. 2. Seuls les trplets (α, (K 0 -K mn ) *, K mn* ) ayant un sens physque sont acceptés. 3. Un crtère de qualté de l ajustement est calculé : Cramer von Mses (CMV), Kolmogorov-Smrnov (K-S) Aderson-Darlng (AD) 4. Le trplet (α, (K 0 -K mn ) *, K mn* ) sélectonné mnmse le crtère sélectonné.

9 Ajustement basé sur la méthode du maxmum de vrasemblance Foncton de maxmum de vrasemblance pour la dstrbuton de Webull avec (x 1,,x n ) l échantllon n α -1 α x - Kmn x = - K L( α, K 0 - Kmn, Kmn ) exp K = Kmn K0 - Kmn K0 - K mn mn α 1. Pour tout K mn (paramètre de poston) varant sur [a;b] avec un pas h, l estmaton de α et K 0 -K mn est obtenu par la méthode du maxmum de vrasemblance. 2. Un crtère de qualté de l ajustement est calculé : Cramer von Mses (CMV) Kolmogorov-Smrnov (K-S) Aderson-Darlng (AD) 3. Le trplet ( α*, (K 0 -K mn ) *, K mn* ) sélectonné mnmse le crtère chos.

10 Ajustement basé sur une méthode combnée MM-ML Wllams and Dckson (1982) 1. Intalsaton de la valeur de K mn (paramètre de poston). Cette valeur dot être nféreure à la valeur mnmum observée dans l échantllon. 2. Pour cette valeur K mn, Les estmatons du paramètre d échelle (K 0 -K mn ) * et du paramètre de forme α * sont obtenus par ML. 3. Pour l estmateur ML α *, calcul par la méthode MM du paramètre de poston K mn ** et du paramètre d échelle (K 0 -K mn ) **. 4. Sot δ = K K mn Kmn ** mn Tant que δ > ε (tolerance), la poston du paramètre K mn est ncrémentée par une valeur fxée h et les étapes 1 à 3 sont répétées. 5. S δ ε, le trplet (α*, (K 0 -K mn ) *, K mn ** ) est sélectonné comme melleure estmaton des 3 paramètres de l échantllon.

11 Ajustement basé sur l estmaton de ML par un algorthme génétque Cette méthode consste à calculer La melleure estmaton (α *, (K 0 -K mn ) *, K mn* ) des 3 paramètres en maxmsant drectement le logarthme de la foncton vrasemblance Avec un algorthme génétque sur chaque échantllon

12 Descrpton de la méthode avec algorthme génétque Crtère à maxmser : Adaptaton = log-vrasemblance Soent les n données { } { } n x t T X, 1, ; ; L = = ( ) ( ) ( ) ,, ;,, ;,, ; c b a t k c b a t h c b a t g = = = γ α µ ( ) ( ) = n x f T X L γ α µ γ α µ,, ; ln,,, ; ln ( ) = x x x f α α γ µ γ µ γ α γ α µ exp,, ; 1 Log-vrasemblance

13 Descrpton de la méthode avec algorthme génétque A chaque génératon Sélecton : désgne les plus aptes à survvre et à transmettre leurs gènes à la génératon suvante Crosement : échange de gènes au hasard pour produre 2 descendants Mutaton : trage au hasard d une nouvelle valeurs d un gène pour un ndvdu tré lu même au hasard dans la populaton avec une Probablté P m Optmsaton locale : recherche d un optmum local dans la dmenson d un gène tré au hasard

14 Estmaton de K mn

15 Estmaton de α

16 Estmaton de K 0 K mn

17 Ajustement global Cette fgure présente dfferents fractles de la dstrbuton de Webull obtenus avec les paramètres ajustés localement pus sur tout le domane de température

18 Ajustement global After estmatng the parameters on each sample global fttng of the parameters* on the whole temperature doman. The two tests of goodness of ft (χ 2 and Cramer Von Mses) accept ths prelmnary fttng. However ths fttng s not fully acceptable because some data ponts are below the curve of K mn. Ths s due to the procedure whch cumulates the error of fttng of the dfferent parameter.

19 Quanttatve comparson of the four methods ˆ - ˆ - ˆ = e e e e e e e e e γ γ γ α α α µ µ µ ξ Comparson was made on smulated data and the error of fttng s defned by

20 Ajustement global drect sur tout le domane de température The drect global fttng s more accurate because there s no ntermedary fttng of the functons and also because the genetc algorthm allows to add the supplementary constrant that any data ponts must be over the K mn curve. Descrpton 1. Prelmnary fttng n order to choose the type of functons of temperature for the parameters of the Webull dstrbuton 2. Bootstrap calculaton to estmate confdence ntervals for each coeffcents of the chosen functon 3. Genetc algorthm calculaton n order to fnd the optmal values of the coeffcents nsde the confdence ntervals obtaned n the step 2.

21 Drect global fttng Ths fgure presents dfferent fractles of the Webull dstrbuton obtaned by ths drect global fttng and the toughness data ponts. The two tests of goodness of ft (χ 2 and Cramer Von Mses) accept the global fttng. We can check that there s no data ponts below the K mn curve.

22 Comparason sous-échantllonnage/ajustement local et Ajustement global drect Sous-échantllonnage/ajustement local Ajustement global drect

23 Concluson La méthodologe développée propose l alternatve : 1. Sous-échantllonnage/méthodes d ajustement local 2. Méthode d ajustement global drect plus précse et plus pussante. Un logcel a été développé pour mplémenter ces méthodes dans l envronnement MATLAB : Wolf 3

24 Perspectves Étude de la robustesse de la méthodologe dans le cas d un fable nombre de données Quelle est la talle mnmale de l ensemble de données pour lequel la méthodologe reste robuste? Que fare pour des ensembles de données de talle nféreure à cette lmte?! Bootstrap, ensemble flous. Améloraton des technques d ajustement en queues de dstrbuton Valdaton des modèles dans les très bas fractles de la dstrbuton de ténacté.! Test ET, GPD