Examen Final - 16 mai 2013 Durée : 2 heures. L utilisation de documents, de calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdite.

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1 Universié Toulouse 3 Année -3 L Mahémaiques/Mécanique TC4 - Calcul inégral Examen Final - 6 mai 3 Durée : heures. L uilisaion de documens, de calcularice ou de ou aure appareil élecronique es inerdie. Pour cee épreuve on pourra uiliser sans démonsraion la formule donnan l aire d un disque de R. Exercice. On considère le domaine. Tracer D.. Calculer : D D {x, y R x < 7, 8 x < y, y < x + }. dx dy. x + y Exercice. On considère la forme différenielle ω xdx sin y dy, ainsi que la courbe Γ définie par e orienée dans le sens rigonomérique.. Dessiner Γ.. Calculer l inégrale curviligne ω. Γ {x, y R x + y x, y < x} Exercice 3.. Éan donné a >, calculer l aire de l ellipse E a. Calculer le volume du solide S Exercice 4. On considère l applicaion Γ F : x { x, y R x + y 4 { x, y, z R 3 z, z + x + y 4 9. Monrer que F es bien définie sur ], + [. e x arcan d.. Pour x > on pose Gx xf x. Monrer que Gx 3. Monrer que G es de classe C sur ], + [. 4. En déduire que F es C sur ], + [ e que x >, xf x + F x + xf x x. e x + d. }. 9 a }.

2 + Exercice 5. Le bu de ce exercice es de calculer la valeur de l inégrale On adme que cee inégrale es convergene.. On considère sur R \ {, } la forme différenielle ω e y x sinx y cosx dx + x cosx + y sinx dy. x + y Monrer que ω es fermée.. Soi R >. On considère le domaine D R { x, y R y >, } R < x + y < R, sinx x e on noe Γ R son conour, oriené de sore à laisser D R sur sa gauche. Déerminer la valeur de ω. Γ R 3. Pour r > on noe γ r le demi-cercle {x, y R y >, x + y r }, oriené dans le sens rigonomérique, puis I r γ r ω. a. Éudier la limie de I r lorsque r end vers. b. Monrer que I r end vers lorsque r end vers +. sinx 4. En déduire la valeur de x dx. dx.

3 Corrigé Exercice. [ + ps] Pour x R on a 8 x x + x 7. Ainsi D 7 dx dy x + y x 7 7 x 7 x+ y8 x ln 5 8 x + y dy dx dx x x 7 [ ] x+ dx x + y y8 x [ ] 7 lnx Exercice. [ + ps] On a Γ {x, y R x + y e y < x} Ainsi la courbe Γ parcour dans le sens rigonomérique les rois quars du cercle de cenre, e de rayon, du poin, jusqu au poin,. Pour calculer l inégrale on peu faire un calcul direc, ou observer que l applicaion f x / + cosy es une primiive de ω sur R, de sore que ω f, f, + cos cos. Γ Pour [ le ] calcul direc on peu uiliser le paramérage θ + cosθ, sinθ pour θ π, π, e on rerouve bien : Γ ω π π + cosθ sinθ sinsinθ cosθ dθ [ cosθ + cos θ + cossinθ ] π π cos. Exercice 3. [ +,5 ps]. On considère l applicaion { R R ϕ : x, y x, 3y Alors ϕ es de classe C sur R, c es une bijecion d inverse ϕ X, Y X, Y 3 e la réciproque ϕ es elle-même de classe C, donc ϕ es un C -difféomorphisme de R dans R. On noe D a le disque de cenre e de rayon a. Soien x, y R e X, Y ϕx, y x, 3y. Alors on a X, Y E a x 4 + 3y 9 a x + y a x, y D a.

4 Ainsi on a E a ϕd a. D après le héorème de changemen de variables on a alors AireE a dx dy dx dy de Jac ϕx, y dx dy E a ϕd a D a 6 dx dy 6 AireD a 6πa. D a On a uilisé le fai que pour ou x, y R on a de Jac ϕx, y En somman par ranches, on a VolS AireE z dz 6π z dz 3π. Exercice 4. [,5 +, ,5 ps]. Soi x R +. Pour ou R + on a e x arcan π e x. Or on a A π e x π x e Ax A + Ainsi l inégrale + π e x d es convergene, e par comparaison pour des foncions à valeurs posiives, c es aussi le cas pour l inégrale + arcane x d.. Soi x R +. Pour A > on a par inégraion par paries : A Puisque e A arcan l inégrale + π x. xe x arcan d [ e x arcan ] A A + e x + d. A +, on obien par passage à la limie A + que e x + d es convergene e vau xf x. 3. Pour, x R + R + on pose g, x e x +. L applicaion g es de classe C sur R + R + comme quoien de foncions de classe C don le dénominaeur ne s annule pas e pour ou, x R + R + on a g e x, x x + puis g x, x e x +. Soi a >. Pour R + e x > a on a g, x x e a Or l inégrale + e a d es inégrable, donc d après le héorème de dérivaion sous l inégrale on obien que G es de classe C sur ]a, + [ e pour x > a : G x + e x + d.

5 De même pour R + e x > a on a g, x x e a, donc G es de classe C sur ]a, + [ e pour x > a : G x + e x + d. Ceci éan valable pour ou a >, on obien que G es de classe C sur ], + [. En oure, les expressions pour G e G son valables sur ], + [. 4. Pour ou x > on a F x Gx/x. Ainsi F es de classe C sur ], + [ comme quoien de deux foncions de classe C don le dénominaeur ne s annule pas. En oure pour ou x > on a xf x + F x + xf x G x + Gx Exercice 5. [,5 +, ,5 ps]. Pour ou x, y R \ {, } on noe P x, y e y x sinx y cosx x + y + e x d x. e Qx, y e y x + y x cosx + y sinx. Les foncions P e Q son de classe C e pour x, y R \ {, } on a P x, y y e y xx + y sinx + yx + y cosx x + y cosx xy sinx + y cosx x + y e Q x, y x e y x + y cosx xx + y sinx + yx + y cosx x cosx xy cosx. x + y On a donc donc P Q x, y x, y. y x Cela signifie que la forme ω es fermée sur R \ {, }.. D après la formule de Green-Riemann, on a P Q ω x, y x, y dx dy. Γ R y x D R 3. Soi r >. La courbe γ r peu êre paramérée par l applicaion θ r cosθ, r sinθ pour θ [, π]. On a alors I r π + π π r sinθ e r r sinθ e r r cosθ sinθ sinr cosθ + r sinθ cosr cosθ dθ r cosθ cosr cosθ + r sinθ cosθ sinr cosθ dθ e r sinθ cosr cosθ dθ.

6 Pour ou r > e pour ou θ [, π] on a e r sinθ cosr cosθ. En oure pour ou θ ], π[ on a e r sinθ cosr cosθ r e e r sinθ cosr cosθ r +. D après le héorème de convergence dominée on a donc 4. Pour ou R > on a ω I R I /R + Γ R Cela prouve que I r r π e I r r +. I R I /R + R R R R + π + R + + sin sin sin sin d π. d + d d. R R sin d