LES NOMBRES COMPLEXES

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1 LES NOMBRES COMPLEXES I FORME ALGÉBRIQUE D UN NOMBRE COMPLEXE 1) Définitions générales Théorème 1 Il existe n ensemble, noté, d éléments appelés nombres complexes, tel qe : contient ; est mni des opérations + (addition) et (mltiplication) qi sient les mêmes règles de calcl qe dans ; contient n élément i tel qe i ² = 1 ; tot nombre complexe s écrit de manière niqe sos la forme = a + i b (o = a + b i), aec a et b réels Définition 1 Soit n nombre complexe = a + i b, aec a et b réels L écritre a + i b est appelée la forme (o l écritre) algébriqe de Le réel a est appelé la partie réelle de et on note a = Re () Le réel b est appelé la partie imaginaire de et on note b = Im() Un nombre complexe de forme algébriqe i b, aec b réel, est n imaginaire pr L ensemble des imaginaires prs est noté i Porqoi la ie des hommes est-elle complexe? Parce q elle possède ne partie réelle et ne partie imaginaire Remarqes : L article défini «la» est jstifié d après l énoncé d théorème 1 (nicité) Attention, la partie imaginaire Im () d n nombre est n réel Lorsqe l on parlera de forme algébriqe a + i b il sera sos-entend qe a et b sont des réels Si b = 0 alors = = a + 0 i = a est n réel On retroe En dehors des réels on n écrit pas d inégalités aec des complexes On ne dit pas q il est positif o négatif Le symbole reste réseré ax réels positifs Exercice 1 Compléter : Re (5 3i) = ; Im (5 3i) = ; Re (4,32i) = ; Im ( i) = ; Re (7,2) = ; Im (7,2) = ; Re (3 2i ²) = ; Im (3 2i ²) = ; Re (0) = ; Im (0) = Théorème 2 Dex nombres complexes sont égax si, et selement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire Re() = Re( ) = Im() = Im( ) Ce théorème réslte de l énoncé d théorème 1 En particlier : = 0 = i Re () = Im () = 0 Théorème 3 Soit et dex complexes = 0 = 0 o = 0 Exercice 2 Factoriser ² + 4 pis résodre dans l éqation ² + 4 = 0 2) Calcls dans Conjgés Exercice 3 Soit = 2 + 3i et = 4 6i Déterminer la forme algébriqe de + ; ; 3 6 ; 3 et ² Définition 2 On appelle conjgé d nombre complexe = a + i b (aec a et b réels) le complexe = a i b On dit qe et sont des nombres complexes conjgés Théorème 4 Tot nombre complexe non nl = a + i b (aec a et b réels) admet n niqe inerse 1, et on a : 1 = = 1/5

2 Por troer la forme algébriqe d n qotient (aec 0) on écrit : = Exercice 4 1) Déterminer la forme algébriqe de l inerse de = 3 + 2i 2) Résodre dans l éqation i 2 i = (2 i) + 1 (soltion sos forme algébriqe) Théorème 5 Por tos nombres complexes ( 0 por et ) et et tot entier natrel n : ' = ; = ; ' = ; n = n 1 ', = ; = Théorème 6 = Im () = 0 et i + = 0 Re () = 0 + = = Exercice 5 2i = ; i ( 3 3i ) = ; 3) Représentation géométriqe d n nombre complexe ( 5 2i ) 4 i = ; = i i, = Définition 3 ( O ;, ) est n repère orthonormal d plan, appelé plan complexe Soit le nombre complexe = a + i b, aec a et b réels Le point M ( a ; b ) d plan complexe est appelé le point image de o l image de, et noté M () Le ecter w ( a ; b ) est appelé le ecter image de, et noté w () Soit le point M ( a ; b ) et le ecter w ( a ; b ) d plan complexe Le complexe = a + i b est appelé l affixe d point M o l affixe d ecter w On le note M o w L axe (O ; ) est appelé axe des réels et l axe (O ; ) est appelé axe des imaginaires prs «Affixe» est n nom féminin Exercice 6 1) Donner les affixes des points A, B, C et D 2) Placer les points E, F, G et H d affixes respecties 1 i ² ; 2 i ; 1 i ² 2 i et i Exercice 7 Dans le repère ( O ;, ), on considère les points A ( 2 ; 1) A 0 1 et B (0 ; 5), et la droite d d éqation y = x + 3 D Déterminer l affixe d n point M appartenant à d B Exercice 8 Soit le complexe Z = x ² + y ² 4 + i (2x + y + 1), aec x et y réels 1) Déterminer l ensemble (E 1 ) des nombres complexes = x + i y tels qe Z soit n réel, pis représenter (E 1 ) 2) Déterminer l ensemble (E 2 ) des nombres complexes = x + i y tels qe Z soit n imaginaire pr, pis représenter (E 2 ) 3) Déterminer l ensemble (E 3 ) des nombres complexes = x + i y tels qe Z soit nl, pis représenter (E 3 ) C 1 Théorème 7 Soit ( O ;, ) n repère orthonormal d plan complexe B( B ) L affixe d ecter + est, celi de k est k (k ) k L affixe d ecter AB est = AB B A L image S de A + B est le 4 e sommet d parallélogramme OASB L affixe d barycentre G des points pondérés (A ; a), (B ; b) et (C ; c) est G = a A + b B + c C a + b + c O A( A ) En particlier l affixe d milie I de [AB] est I = 2/5

3 II ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS Théorème 8 Soit a, b, c trois réels aec a 0, et Δ = b 2 4 a c le discriminant de l éqation a 2 + b + c = 0 b Si Δ 0 alors l éqation dans admet dex soltions réelles : 1 = Si Δ < 0 alors l éqation dans admet dex soltions complexes conjgées : b i b i 1 = et 2 = Dans les dex cas on a : a 2 + b + c = a ( 1 ) ( 2 ) et 2 = Dans le cas où Δ = 0 on a 1 = 2 = b On dit qe l éqation admet ne soltion doble 0 = b Exercice 9 Résodre dans les éqations 4 ² + 3 = 0 et ² = 0 b III MODULE ARGUMENTS FORME TRIGONOMÉTRIQUE D UN COMPLEXE NON NUL Dans la site d cors le plan complexe est rapporté a repère orthonormal direct ( O ;, ) 1) Modle et argments Définition 4 Soit n complexe non nl et (r ; ) les coordonnées polaires de M() dans le repère ( O ; ) On dit alors qe : le rayon polaire r de M() est le modle de, noté ; Le modle de 0 est 0 : 0 = 0 l angle polaire ) est n argment de On note arg = [2] O OM = M arg () 0 est le sel complexe qi n a pas d argment car n angle de ecters n existe pas lorsq n des ecters est nl Si R, la aler absole de et son modle sont égax La notation est cohérente Un argment de est ne mesre en radians de l angle orientés (, OM ) : (, OM ) = arg [2 ] Théorème 9 Soit n complexe = a + i b, aec a et b réels Soit M son point image et w son ecter image = OM = w = = a ² + b ² Exercice 10 Déterminer graphiqement le modle et n argment de 4i ; 2 ; i ; 3 et 2 + 2i 2) Forme trigonométriqe d n nombre complexe non nl Théorème 10 Si est n complexe non nl de forme algébriqe = a + i b (a et b réels) et n argment de, alors : a = cos et b = sin et = ( cos + i cos ) Définition 5 Une écritre d n nombre complexe non nl sos la forme = ( cos + i cos ), où est n argment de, est appelée ne forme trigonométriqe de Théorème 11 Si n complexe non nl s écrit sos la forme = r ( cos + i cos ), où r est n réel strictement positif et n réel, alors : = r et = arg [2] Théorème 12 Soit et dex complexes non nls = = et arg () = arg ( ) [2 ] 3/5

4 Exercice 11 1) Déterminer la forme algébriqe d complexe de modle 5 et dont n argment est 2 /3 2) Déterminer la forme trigonométriqe de 1 = 1 i 3 ; 2 = 2 cos 6 2 i sin 6 ; 3 = 3 (cos 5 + i sin 5 ) 3) Propriétés des modles et des argments Théorème 13 Por tos complexes et Por tos complexes et non nls aec n argment de : = 0 = 0 arg = 0 [ ] ; arg = 2 [ ] = = = arg = ; arg ( ) = = arg ( ) = arg + arg [2 ] n = n aec n arg ( n ) = Si 0, Si 0, 1 = 1 = arg 1 = arg [2 ] arg = + + Exercice 12 1) Déterminer la forme trigonométriqe de 1 = (1 + i) 3 + i 4 1 ; 2 = 1 i ; 3 = 1 i i 2) Déterminer la forme algébriqe de 1 En dédire le cosins et le sins de 5/12 IV FORME EXPONENTIELLE D UN COMPLEXE NON NUL et 4 = (1 + i) 5 Définition 6 Por tot réel on note e i le nombre complexe de modle 1 et d argment cos + i cos = e i ; e i = 1 et arg e i = [2 ] Tot complexe non nl d argment pet s écrire = e i Cette écritre est ne forme exponentielle de e i se lit : «exponentielle i thêta» Il y a ne infinité d argments de donc ne infinité de formes exponentielles de Exemples fondamentax : 1 = e ; 1 = e ; i = = e ; i = e Exercice 13 Donner les trois formes (algébriqe, trigonométriqe, exponentielle) des complexes siants : 1 = i (1 + i) ; 2 = 5 (2 cos i sin ) et i 3 = 2 e 4 On pet reformler les propositions,, et d théorème 11 à l aide des formes exponentielles aec lesqelles on calcle comme aec les pissances (d où l intérêt) Théorème 14 Soit r, r dex réels strictement positifs, et dex réels et n n entier relatif r e i r e i = r r e i ( + ) ; ( r e i ) n = r n e i n ; 1 r e i = 1 r e i = 1 r e i ; r e i r e i = r r e i ( ) Por mltiplier dex complexes on mltiplie lers modles et on ajote lers argments Por éleer n complexe à la pissance n on élèe à la pissance n son modle et on mltiplie par n n de ses argments Por prendre l inerse d n complexe on inerse son modle et on prend l opposé d n de ses argments Por diiser dex complexes on diise lers modles et on sostrait les argments Exercice 14 Soit les complexes 1 = 5 e 6 i et 2 = 3 e 3 Déterminer la forme exponentielle de 1 2 ; 1 ; i 1 ; i 1 ; 1 ; 2 ( 2 ) 5 ; i et /5

5 V NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE 1) Interprétation d n qotient d affixes Théorème 15 Soit A ( A ), B( B ), C( C ), D( D ) des points d plan complexe tels qe A B et C D AB = B A et (, AB ) = arg ( B A ) [2] CD AB = D C et ( AB ; CD ) = arg B A D B C A [2] Exercice 15 Soit les points A, B, C d plan complexe d affixes respecties A = 1 + i 3, B = 1 i 3, C = 2 B C 1) Déterminer la forme trigonométriqe de En dédire la natre d triangle ABC 2) Soit M n point d plan complexe d affixe, tel qe M A et M C On pose Z = a) Déterminer l ensemble f 1 des points M tels qe Z = 1 b) Déterminer l ensemble f 2 des points M tels qe Z c) Déterminer l ensemble f 3 des points M tels qe Z d) Déterminer l ensemble f 4 des points M tels qe Z soit n imaginaire pr 2) Écritre complexe d ne transformation d plan A C 1i 2 Définition 7 Soit F ne transformation qi dans le plan complexe associe à tot point M le point M On li associe ne fonction f qi a complexe, affixe d point M, associe le complexe, affixe d point M = f ( ) est l écritre complexe de la transformation F 3 Théorème 16 On pose = Transformation t est la translation de ecter w h est l homothétie de centre et de rapport k (k 0) r est la rotation de centre et d angle t (M) = M h (M) = M Por M M, Définition géométriqe MM = w Écritre complexe associée = + w M' = k M = k ( ) r (M) = M M = M ( M, M ) = [2 ] = e i ( ) Exercice 16 Soit les points A, B, C d plan complexe d affixes respecties A = 1 + i, B = 2 i, C = 2 1) a) Donner l écritre complexe de l homothétie h de centre et de rapport 3 b) Déterminer l affixe de l image par h d point B et l affixe de son antécédent par h 2) a) Donner l écritre complexe de la rotation r de centre et d angle 2 b) Déterminer l affixe de l image par r d point B et l affixe de son antécédent par r 3) Déterminer la natre de la transformation plane f d écritre complexe : = i Exercice 17 Soit f 1 et f 2 les transformations d écritres complexes respecties : = i et = i i Démontrer qe f 1 et f dmettent chacne n niqe point inariant En dédire ler natre 3) Éqation paramétriqe complexe d n cercle Théorème 17 M appartient a cercle de centre et de rayon r si, et selement si, il existe n réel ] : ] tel qe : = + r e i Cette égalité étant appelée éqation paramétriqe complexe d cercle Exercice 18 Déterminer l ensemble des points M() d plan complexe tels qe : = 3 i + 2 e i, aec ] : ] 5/5

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