LES NOMBRES COMPLEXES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LES NOMBRES COMPLEXES"

Transcription

1 LES NOMBRES COMPLEXES I FORME ALGÉBRIQUE D UN NOMBRE COMPLEXE 1) Définitions générales Théorème 1 Il existe n ensemble, noté, d éléments appelés nombres complexes, tel qe : contient ; est mni des opérations + (addition) et (mltiplication) qi sient les mêmes règles de calcl qe dans ; contient n élément i tel qe i ² = 1 ; tot nombre complexe s écrit de manière niqe sos la forme = a + i b (o = a + b i), aec a et b réels Définition 1 Soit n nombre complexe = a + i b, aec a et b réels L écritre a + i b est appelée la forme (o l écritre) algébriqe de Le réel a est appelé la partie réelle de et on note a = Re () Le réel b est appelé la partie imaginaire de et on note b = Im() Un nombre complexe de forme algébriqe i b, aec b réel, est n imaginaire pr L ensemble des imaginaires prs est noté i Porqoi la ie des hommes est-elle complexe? Parce q elle possède ne partie réelle et ne partie imaginaire Remarqes : L article défini «la» est jstifié d après l énoncé d théorème 1 (nicité) Attention, la partie imaginaire Im () d n nombre est n réel Lorsqe l on parlera de forme algébriqe a + i b il sera sos-entend qe a et b sont des réels Si b = 0 alors = = a + 0 i = a est n réel On retroe En dehors des réels on n écrit pas d inégalités aec des complexes On ne dit pas q il est positif o négatif Le symbole reste réseré ax réels positifs Exercice 1 Compléter : Re (5 3i) = ; Im (5 3i) = ; Re (4,32i) = ; Im ( i) = ; Re (7,2) = ; Im (7,2) = ; Re (3 2i ²) = ; Im (3 2i ²) = ; Re (0) = ; Im (0) = Théorème 2 Dex nombres complexes sont égax si, et selement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire Re() = Re( ) = Im() = Im( ) Ce théorème réslte de l énoncé d théorème 1 En particlier : = 0 = i Re () = Im () = 0 Théorème 3 Soit et dex complexes = 0 = 0 o = 0 Exercice 2 Factoriser ² + 4 pis résodre dans l éqation ² + 4 = 0 2) Calcls dans Conjgés Exercice 3 Soit = 2 + 3i et = 4 6i Déterminer la forme algébriqe de + ; ; 3 6 ; 3 et ² Définition 2 On appelle conjgé d nombre complexe = a + i b (aec a et b réels) le complexe = a i b On dit qe et sont des nombres complexes conjgés Théorème 4 Tot nombre complexe non nl = a + i b (aec a et b réels) admet n niqe inerse 1, et on a : 1 = = 1/5

2 Por troer la forme algébriqe d n qotient (aec 0) on écrit : = Exercice 4 1) Déterminer la forme algébriqe de l inerse de = 3 + 2i 2) Résodre dans l éqation i 2 i = (2 i) + 1 (soltion sos forme algébriqe) Théorème 5 Por tos nombres complexes ( 0 por et ) et et tot entier natrel n : ' = ; = ; ' = ; n = n 1 ', = ; = Théorème 6 = Im () = 0 et i + = 0 Re () = 0 + = = Exercice 5 2i = ; i ( 3 3i ) = ; 3) Représentation géométriqe d n nombre complexe ( 5 2i ) 4 i = ; = i i, = Définition 3 ( O ;, ) est n repère orthonormal d plan, appelé plan complexe Soit le nombre complexe = a + i b, aec a et b réels Le point M ( a ; b ) d plan complexe est appelé le point image de o l image de, et noté M () Le ecter w ( a ; b ) est appelé le ecter image de, et noté w () Soit le point M ( a ; b ) et le ecter w ( a ; b ) d plan complexe Le complexe = a + i b est appelé l affixe d point M o l affixe d ecter w On le note M o w L axe (O ; ) est appelé axe des réels et l axe (O ; ) est appelé axe des imaginaires prs «Affixe» est n nom féminin Exercice 6 1) Donner les affixes des points A, B, C et D 2) Placer les points E, F, G et H d affixes respecties 1 i ² ; 2 i ; 1 i ² 2 i et i Exercice 7 Dans le repère ( O ;, ), on considère les points A ( 2 ; 1) A 0 1 et B (0 ; 5), et la droite d d éqation y = x + 3 D Déterminer l affixe d n point M appartenant à d B Exercice 8 Soit le complexe Z = x ² + y ² 4 + i (2x + y + 1), aec x et y réels 1) Déterminer l ensemble (E 1 ) des nombres complexes = x + i y tels qe Z soit n réel, pis représenter (E 1 ) 2) Déterminer l ensemble (E 2 ) des nombres complexes = x + i y tels qe Z soit n imaginaire pr, pis représenter (E 2 ) 3) Déterminer l ensemble (E 3 ) des nombres complexes = x + i y tels qe Z soit nl, pis représenter (E 3 ) C 1 Théorème 7 Soit ( O ;, ) n repère orthonormal d plan complexe B( B ) L affixe d ecter + est, celi de k est k (k ) k L affixe d ecter AB est = AB B A L image S de A + B est le 4 e sommet d parallélogramme OASB L affixe d barycentre G des points pondérés (A ; a), (B ; b) et (C ; c) est G = a A + b B + c C a + b + c O A( A ) En particlier l affixe d milie I de [AB] est I = 2/5

3 II ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS Théorème 8 Soit a, b, c trois réels aec a 0, et Δ = b 2 4 a c le discriminant de l éqation a 2 + b + c = 0 b Si Δ 0 alors l éqation dans admet dex soltions réelles : 1 = Si Δ < 0 alors l éqation dans admet dex soltions complexes conjgées : b i b i 1 = et 2 = Dans les dex cas on a : a 2 + b + c = a ( 1 ) ( 2 ) et 2 = Dans le cas où Δ = 0 on a 1 = 2 = b On dit qe l éqation admet ne soltion doble 0 = b Exercice 9 Résodre dans les éqations 4 ² + 3 = 0 et ² = 0 b III MODULE ARGUMENTS FORME TRIGONOMÉTRIQUE D UN COMPLEXE NON NUL Dans la site d cors le plan complexe est rapporté a repère orthonormal direct ( O ;, ) 1) Modle et argments Définition 4 Soit n complexe non nl et (r ; ) les coordonnées polaires de M() dans le repère ( O ; ) On dit alors qe : le rayon polaire r de M() est le modle de, noté ; Le modle de 0 est 0 : 0 = 0 l angle polaire ) est n argment de On note arg = [2] O OM = M arg () 0 est le sel complexe qi n a pas d argment car n angle de ecters n existe pas lorsq n des ecters est nl Si R, la aler absole de et son modle sont égax La notation est cohérente Un argment de est ne mesre en radians de l angle orientés (, OM ) : (, OM ) = arg [2 ] Théorème 9 Soit n complexe = a + i b, aec a et b réels Soit M son point image et w son ecter image = OM = w = = a ² + b ² Exercice 10 Déterminer graphiqement le modle et n argment de 4i ; 2 ; i ; 3 et 2 + 2i 2) Forme trigonométriqe d n nombre complexe non nl Théorème 10 Si est n complexe non nl de forme algébriqe = a + i b (a et b réels) et n argment de, alors : a = cos et b = sin et = ( cos + i cos ) Définition 5 Une écritre d n nombre complexe non nl sos la forme = ( cos + i cos ), où est n argment de, est appelée ne forme trigonométriqe de Théorème 11 Si n complexe non nl s écrit sos la forme = r ( cos + i cos ), où r est n réel strictement positif et n réel, alors : = r et = arg [2] Théorème 12 Soit et dex complexes non nls = = et arg () = arg ( ) [2 ] 3/5

4 Exercice 11 1) Déterminer la forme algébriqe d complexe de modle 5 et dont n argment est 2 /3 2) Déterminer la forme trigonométriqe de 1 = 1 i 3 ; 2 = 2 cos 6 2 i sin 6 ; 3 = 3 (cos 5 + i sin 5 ) 3) Propriétés des modles et des argments Théorème 13 Por tos complexes et Por tos complexes et non nls aec n argment de : = 0 = 0 arg = 0 [ ] ; arg = 2 [ ] = = = arg = ; arg ( ) = = arg ( ) = arg + arg [2 ] n = n aec n arg ( n ) = Si 0, Si 0, 1 = 1 = arg 1 = arg [2 ] arg = + + Exercice 12 1) Déterminer la forme trigonométriqe de 1 = (1 + i) 3 + i 4 1 ; 2 = 1 i ; 3 = 1 i i 2) Déterminer la forme algébriqe de 1 En dédire le cosins et le sins de 5/12 IV FORME EXPONENTIELLE D UN COMPLEXE NON NUL et 4 = (1 + i) 5 Définition 6 Por tot réel on note e i le nombre complexe de modle 1 et d argment cos + i cos = e i ; e i = 1 et arg e i = [2 ] Tot complexe non nl d argment pet s écrire = e i Cette écritre est ne forme exponentielle de e i se lit : «exponentielle i thêta» Il y a ne infinité d argments de donc ne infinité de formes exponentielles de Exemples fondamentax : 1 = e ; 1 = e ; i = = e ; i = e Exercice 13 Donner les trois formes (algébriqe, trigonométriqe, exponentielle) des complexes siants : 1 = i (1 + i) ; 2 = 5 (2 cos i sin ) et i 3 = 2 e 4 On pet reformler les propositions,, et d théorème 11 à l aide des formes exponentielles aec lesqelles on calcle comme aec les pissances (d où l intérêt) Théorème 14 Soit r, r dex réels strictement positifs, et dex réels et n n entier relatif r e i r e i = r r e i ( + ) ; ( r e i ) n = r n e i n ; 1 r e i = 1 r e i = 1 r e i ; r e i r e i = r r e i ( ) Por mltiplier dex complexes on mltiplie lers modles et on ajote lers argments Por éleer n complexe à la pissance n on élèe à la pissance n son modle et on mltiplie par n n de ses argments Por prendre l inerse d n complexe on inerse son modle et on prend l opposé d n de ses argments Por diiser dex complexes on diise lers modles et on sostrait les argments Exercice 14 Soit les complexes 1 = 5 e 6 i et 2 = 3 e 3 Déterminer la forme exponentielle de 1 2 ; 1 ; i 1 ; i 1 ; 1 ; 2 ( 2 ) 5 ; i et /5

5 V NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE 1) Interprétation d n qotient d affixes Théorème 15 Soit A ( A ), B( B ), C( C ), D( D ) des points d plan complexe tels qe A B et C D AB = B A et (, AB ) = arg ( B A ) [2] CD AB = D C et ( AB ; CD ) = arg B A D B C A [2] Exercice 15 Soit les points A, B, C d plan complexe d affixes respecties A = 1 + i 3, B = 1 i 3, C = 2 B C 1) Déterminer la forme trigonométriqe de En dédire la natre d triangle ABC 2) Soit M n point d plan complexe d affixe, tel qe M A et M C On pose Z = a) Déterminer l ensemble f 1 des points M tels qe Z = 1 b) Déterminer l ensemble f 2 des points M tels qe Z c) Déterminer l ensemble f 3 des points M tels qe Z d) Déterminer l ensemble f 4 des points M tels qe Z soit n imaginaire pr 2) Écritre complexe d ne transformation d plan A C 1i 2 Définition 7 Soit F ne transformation qi dans le plan complexe associe à tot point M le point M On li associe ne fonction f qi a complexe, affixe d point M, associe le complexe, affixe d point M = f ( ) est l écritre complexe de la transformation F 3 Théorème 16 On pose = Transformation t est la translation de ecter w h est l homothétie de centre et de rapport k (k 0) r est la rotation de centre et d angle t (M) = M h (M) = M Por M M, Définition géométriqe MM = w Écritre complexe associée = + w M' = k M = k ( ) r (M) = M M = M ( M, M ) = [2 ] = e i ( ) Exercice 16 Soit les points A, B, C d plan complexe d affixes respecties A = 1 + i, B = 2 i, C = 2 1) a) Donner l écritre complexe de l homothétie h de centre et de rapport 3 b) Déterminer l affixe de l image par h d point B et l affixe de son antécédent par h 2) a) Donner l écritre complexe de la rotation r de centre et d angle 2 b) Déterminer l affixe de l image par r d point B et l affixe de son antécédent par r 3) Déterminer la natre de la transformation plane f d écritre complexe : = i Exercice 17 Soit f 1 et f 2 les transformations d écritres complexes respecties : = i et = i i Démontrer qe f 1 et f dmettent chacne n niqe point inariant En dédire ler natre 3) Éqation paramétriqe complexe d n cercle Théorème 17 M appartient a cercle de centre et de rayon r si, et selement si, il existe n réel ] : ] tel qe : = + r e i Cette égalité étant appelée éqation paramétriqe complexe d cercle Exercice 18 Déterminer l ensemble des points M() d plan complexe tels qe : = 3 i + 2 e i, aec ] : ] 5/5

6

Tout nombre réel est aussi un nombre complexe. En effet si x IR alors on a x =.+ i donc x. On dira que IR est inclus dans IC et on écrira IR.

Tout nombre réel est aussi un nombre complexe. En effet si x IR alors on a x =.+ i donc x. On dira que IR est inclus dans IC et on écrira IR. GÉOMÉTRIE CHAPITRE 1 Page 1 sr 9 LES NOMBRES COMPLEXES Comment sont appars les nombres complexes? En 1545 Jérôme CARDAN fornit des formles de résoltion de l éqation x 3 = px + q. Une des soltions de cette

Plus en détail

GEOMETRIE PLANE : NOMBRES COMPLEXES

GEOMETRIE PLANE : NOMBRES COMPLEXES GEOMETRIE PLANE : NOMBRES COMPLEXES I Les points du plan et les nombres complexes - Notion de nombre complexe Dans ce chapitre, on définit un ensemble noté C, qui prolonge l ensemble R, muni d une addition

Plus en détail

Trigonométrie. AOB = 1 rad

Trigonométrie. AOB = 1 rad Trigonométrie ) Radian et cercle trigonométriqe: définition (rappel) : Un cercle trigonométriqe est n cercle de rayon sr leqel on distinge dex sens de parcors : le sens direct (sens inerse des aigilles

Plus en détail

ANGLES ET ROTATIONS. Rappel : un cercle de rayon 1, orienté, sur lequel est fixé un point " origine I " est appelé trigonométrique.

ANGLES ET ROTATIONS. Rappel : un cercle de rayon 1, orienté, sur lequel est fixé un point  origine I  est appelé trigonométrique. ANGLES ET RTATNS Rappel : n cercle de rayon 1, orienté, sr leqel est fixé n point " origine " est appelé trigonométriqe. + À tot point d cercle trigonométriqe, on associe ne famille de nombres réels appelés

Plus en détail

TRIGONOMÉTRIE 1 ) ORIENTATION DU PLAN 2 ) MESURE DES ANGLES EN RADIAN. 1 rad 57,3 1 = rad 0,0175 rad

TRIGONOMÉTRIE 1 ) ORIENTATION DU PLAN 2 ) MESURE DES ANGLES EN RADIAN. 1 rad 57,3 1 = rad 0,0175 rad TRIGNMÉTRIE 1 ) RIENTTIN DU PLN rienter n cercle, c'est choisir n sens de parcors sr ce cercle appelé sens direct ( o positif ). L'atre sens est appelé sens indirect (négatif o rétrograde) rienter le plan,

Plus en détail

Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES

Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES I - Ecriture algébrique des nombres complexes 1) Définition Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES Définition 1 : On admet qu il existe un ensemble de nombres, noté C, vérifiant les propriétés suivantes

Plus en détail

CH2 Géométrie : Angles orientés

CH2 Géométrie : Angles orientés CH2 Géométrie : Angles orientés 3 ème Maths Octobre 2009 A LAATAOUI 1 ) ORIENTATION DU PLAN Orienter n cercle, c'est choisir n sens de parcors sr ce cercle appelé sens direct ( o positif ) L'atre sens

Plus en détail

Les angles orientés (3) Propriétés des angles orientés. 1 ère S. Dans tout le chapitre, le plan est orienté.

Les angles orientés (3) Propriétés des angles orientés. 1 ère S. Dans tout le chapitre, le plan est orienté. 1 ère S Les angles orientés () Propriétés des angles orientés Dans tot le chapitre, le plan est orienté Les formles de ce chapitre permettent d éiter le recors à la création de points On détermine des

Plus en détail

1 ère S Les angles orientés

1 ère S Les angles orientés 1 ère S Les angles orientés I Introdction 1 ) onnaissances sr les angles géométriqes 1 y ) orrespondance x Le périmètre de est égal à P 1 et sont dex points de diamétralement opposés x y : angle saillant

Plus en détail

Chapitre 0, Troisième partie : Produit vectoriel, Produit mixte

Chapitre 0, Troisième partie : Produit vectoriel, Produit mixte Chapitre 0, Troisième partie : Prodit ectoriel, Prodit mixte On appelle V l ensemble des ecters de l espace. On rappelle qe dex ecters non-colinéaires définissent n plan ectoriel et qe trois ecters non-coplanaires

Plus en détail

Chapitre VII Les nombres complexes

Chapitre VII Les nombres complexes Chapitre VII Les nombres complexes Extrait du programme : I. Ensemble des nombres complexes 1. Existence Théorème (admis) : Il existe un ensemble noté, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède

Plus en détail

Remarque : A chaque translation correspond un vecteur qu on appelle vecteur de la

Remarque : A chaque translation correspond un vecteur qu on appelle vecteur de la Vecters I. Notion de vecters a) Vecters et translations Définition : A et B désignent dex points d plan. La translation qi transforme A en B associe à tot point C d plan l'niqe point D tel qe les segments

Plus en détail

Limites de fonctions Limites en + Définitions : On dit que f (x) tend vers l lorsque x tend vers a lorsque tout intervalle ouvert contenant l.

Limites de fonctions Limites en + Définitions : On dit que f (x) tend vers l lorsque x tend vers a lorsque tout intervalle ouvert contenant l. Limites de fonctions Limites en + Définitions : On dit qe f () tend ers l lorsqe tend ers + lorsqe tot interalle oert contenant l contient totes les alers de f () por sffisamment grand. On note f () =

Plus en détail

Nombres complexes. I. Conventions

Nombres complexes. I. Conventions Nombres complexes I. Conventions On admet qu il existe un ensemble, noté que : d éléments appelés nombres complexes tel contient Les opérations dans prolongent celles dans avec des propriétés analogues

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Définitions

NOMBRES COMPLEXES. I Définitions NOMBRES COMPLEXES Objectifs Définitions C, nombre complexe, forme algébrique, parties réelles imaginaires, imaginaire pur. Plan complexe, affixe, image, axe imaginaire, axe réel Introduction. Inclusions

Plus en détail

Géométrie vectorielle

Géométrie vectorielle I. Notion de vecters a) Vecters et translations Définition : et désignent dex points d plan. La translation qi transforme en associe à tot point d plan l'niqe point D tel qe les segments [] et [D] ont

Plus en détail

On suppose que l on a choisi une unité de longueur dans le plan. Rappel. Les vecteurs sont utilisés en 3 pour caractériser les translations.

On suppose que l on a choisi une unité de longueur dans le plan. Rappel. Les vecteurs sont utilisés en 3 pour caractériser les translations. Seconde Vecters Repérage I Vecters d plan On sppose qe l on a choisi ne nité de longer dans le plan Rappel Les ecters sont tilisés en 3 por caractériser les translations Un ecter c est : ne direction,

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes 8 novembre 009 Table des matières Définitions Forme algébrique Représentation graphique Opérations sur les nombres complexes Addition et multiplication Inverse d un nombre complexe

Plus en détail

ANGLES ORIENTES DE VECTEURS

ANGLES ORIENTES DE VECTEURS NGLES RIENTES DE VETEURS 1 1 ) RIENTTIN DU PLN rienter n cercle, c'est choisir n sens de parcors sr ce cercle appelé sens direct ( o positif ). L'atre sens est appelé sens indirect (négatif o rétrograde)

Plus en détail

Géométrie vectorielle Multiplication d un vecteur par un réel - Colinéarité

Géométrie vectorielle Multiplication d un vecteur par un réel - Colinéarité Mltiplication d n ecter par n réel - olinéarité I Mltiplication d n ecter par n réel a) Définition désigne n ecter non nl et k n nombre réel non nl. Le prodit d ecter par le réel k est le ecter k tel qe

Plus en détail

et z B alors le vecteur AB a pour affixe le iy B. Alors par définition les coordonnées = x B, z B, z C et z D, z C = z B

et z B alors le vecteur AB a pour affixe le iy B. Alors par définition les coordonnées = x B, z B, z C et z D, z C = z B Chapitre 9 Nombres complexes et géométrie Dans tout ce chapitre on se place dans un repère orthonormal direct du plan complexe O ; i ; j. 1. Affixe d un vecteur Définitions et conséquences Définition :

Plus en détail

Bac Mathématiques. Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 20/20. alainpiller. fr

Bac Mathématiques. Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 20/20. alainpiller. fr Bac Mathématiques Série S - 017 Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 0/0 alainpiller fr SAVOIR I A Définition de l ensemble des nombres complexes : L ensemble des nombres complexes est un

Plus en détail

II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS

II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS Terminale S (3-4) I GÉNÉRALITÉS I. Présentation des nombres complexes Définition - Théorème : (admis) Il existe un ensemble noté C, contenant R, vérifiant les conditions suivantes : C est muni d une addition

Plus en détail

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec 1/Les Nombres Complexes Chapitre 4 Les Nombres Complexes. I. Définitions Objectif : On veut «construire» un ensemble de nombres contenant l ensemble des nombres réels, muni de deux opérations qui généralisent

Plus en détail

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 I) Forme exponentielle ) Argument du produit Propriété : Soient deux nombres complexes et d'arguments respectifs θ et θ. A B A B Alors un

Plus en détail

Chapitre : ISOMETRIES PLANES

Chapitre : ISOMETRIES PLANES [COURS DE MATHEMATIQUES NIVEAU TC] 15 jin 2012 Chapitre : ISOMETRIES PLANES I. GENERALITES 1. Définition On appelle isométrie d plan tote transformation plan dans li-même qi conserve les distances ; c'est-à-dire

Plus en détail

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes CHAPITRE 4 : Les nombres complexes 1 Définition... 1.1 Théorème... 1. Définitions... 1.3 Théorème... Nombre complexe conjugué... 3.1 Définition... 3. Théorème 1... 3.3 Théorème... 3.4 Théorème 3... 5 3

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes 1 Un peu d histoire En 157, l italien NICCLÓ FNTANA dit TARTAGLIA le bègue) découvre une méthode de résolution d équations du troisième degré. Il la dévoile à CARDAN. Celui que les

Plus en détail

VECTEURS REPÈRES CARTÉSIENS

VECTEURS REPÈRES CARTÉSIENS VECTEURS REPÈRES CRTÉSIENS I Vecters d plan Exercice 0 Placer le point tel qe = Placer le point C tel qe C = + v Placer les points D et E tels qe D = + v et CE = - v Jstifier qe CD est n parallélogramme.

Plus en détail

GEOMETRIE ELEMENTAIRE PLANE : CORRIGES

GEOMETRIE ELEMENTAIRE PLANE : CORRIGES GEOMETRIE ELEMENTIRE PLNE : CORRIGES Exercice GEP : (N Enoncé Soient d et d dex droites d éqations respectives ax + by + c = et ax ' by ' c' ( a b ( ', ', + + = avec ( ab, (, a qelle condition ces dex

Plus en détail

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Lycée Paul Doumer 0-04 TS Cours Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Contents Équation du second degré. Racines carrées..................................... Équation du second degré à

Plus en détail

Une transformation f du plan est une fonction du plan dans lui-même qui, à tout point M associe un point M bien défini.

Une transformation f du plan est une fonction du plan dans lui-même qui, à tout point M associe un point M bien défini. Transformations d plan FICHE Dans ce cors, on va étdier des transformations d plan P : Une transformation f d plan est ne fonction d plan dans li-même qi, à tot point M associe n point M bien défini f

Plus en détail

Repérage et vecteurs. 1- Egalité de vecteurs. Palomèque Nicolas Géométrie vectorielle Bac Pro EDPI Détermination d un vecteur

Repérage et vecteurs. 1- Egalité de vecteurs. Palomèque Nicolas Géométrie vectorielle Bac Pro EDPI Détermination d un vecteur Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI Repérage et ecters 1- Egalité de ecters 1.1- Détermination d n ecter Un ecter non nl est déterminé par : - sa direction - son sens - sa longer o norme.

Plus en détail

Nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

Nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : Nombres complexes 1 Ensemble des nombres complexes 1.1 Forme algébrique d un nombre complexe Théorème Admis 1. Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes, tel que : C contient

Plus en détail

I- FORME EXPONENTIELLE D UN NOMBRE COMPLEXE

I- FORME EXPONENTIELLE D UN NOMBRE COMPLEXE I- FORME EXPONENTIELLE D UN NOMBRE COMPLEXE Définition 1 : soit θ un nombre réel. On pose : cossin Théorème 1 (admis) : soit et deux nombres réels. Alors : Définition : soit r un nombre réel strictement

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Définition Deux nombres complexes Z = a + i b et Z = a + i b' sont égaux si et seulement si a = a et b = b

NOMBRES COMPLEXES. Définition Deux nombres complexes Z = a + i b et Z = a + i b' sont égaux si et seulement si a = a et b = b NOMBRES COMPLEXES I- s et règles de calcul dans C Un nombre complexe est un nombre de la forme Z = a + i b où a et b sont des réels et i un nombre vérifiant i² = 1 L'ensemble des nombres complexes est

Plus en détail

TS Applications géométriques des nombres complexes Cours

TS Applications géométriques des nombres complexes Cours TS Applications géométriques des nombres complexes Cours I. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul (O ; u ; v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe 1. Module et argument d un

Plus en détail

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe Chapitre 7 Les nombres complexes Objectifs du chapitre : item références auto évaluation forme algébrique d un nombre complexe résolution d équation du second degré dans C forme exponentielle d un nombre

Plus en détail

Géométrie dans l espace On désigne par E l ensemble des points de l espace et par w l ensemble k est Wmuni de la base B i

Géométrie dans l espace On désigne par E l ensemble des points de l espace et par w l ensemble k est Wmuni de la base B i Maths site Résmé d cors Géométrie dans l espace On désigne par E l ensemble des points de l espace et par w l ensemble o, i, j, k est Wmni de la base B i, j, k des vecters de l espace. E est mni d n repère

Plus en détail

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3 I Forme algébrique d un nombre complexe 1 Il existe un ensemble noté et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes : " ; L'ensemble est muni d'une addition et d'une multiplication

Plus en détail

Terminale S - Nombres Complexes

Terminale S - Nombres Complexes Exercice - 1 Terminale S - Nombres Complexes Ecrire le nombre complexe z = 1 + i 3 sous sa forme exponentielle En déduire la forme algébrique de z 5 Exercice - 2 2iπ On pose ω = e 5 1 Calculer ω 5 et prouver

Plus en détail

Le produit scalaire dans le plan (3) Propriétés du produit scalaire

Le produit scalaire dans le plan (3) Propriétés du produit scalaire ère S Le prodit scalaire dans le plan (3) Propriétés d prodit scalaire Introdction : Le prodit scalaire est ne sorte d opération dans l ensemble des ecters. La difficlté c est q on a la mêler ax dex opérations

Plus en détail

Chapitre 9 Les nombres complexes

Chapitre 9 Les nombres complexes Chapitre 9 Les nombres complexes Vocabulaire-représentation Définition des nombres complexes Définition Nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire) On introduit i, un nombre qui vérifie i = On

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes Les nombres complexes. Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés..........................., tels que : C contient l ensemble............... ; C contient un élément i tel

Plus en détail

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes 1 Corps C des nombres complexes Théorème 1. Il existe un ensemble C des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : C contient R. C est muni d une addition et d une multiplication qui suivent

Plus en détail

Nombre complexe. 1. Il existe un nombre noté i, (ou j dans les matières comportant de l électricité), tel que

Nombre complexe. 1. Il existe un nombre noté i, (ou j dans les matières comportant de l électricité), tel que Nombre complexe I. Forme algébrique, Représentation géométrique 1. Il existe un nombre noté i, (ou j dans les matières comportant de l électricité), tel que 2. On appelle nombre complexe tout nombre de

Plus en détail

Sujets de bac : Complexes

Sujets de bac : Complexes Sujets de bac : Complexes Sujet n 1 : extrait d Asie juin 2002 1) Dans le plan complexe ; ;, on considère quatre points,, et d affixes respectives 3 ; 4 ; 2 3 et 1. Placer les points,, et dans un plan.

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Complexes

Exercices supplémentaires : Complexes Exercices supplémentaires : Complexes Partie A : Calculs et propriétés algébriques Exercice 1 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : 1 3 2 5 7 4 1 4 1 2 2 7 5 1 1 1 3 2 1 3 2 8 1

Plus en détail

Nombres complexes. I.2 Représentation géométrique des nombres complexes

Nombres complexes. I.2 Représentation géométrique des nombres complexes MTA - ch3 Page 1/11 Nombres complexes I L'ensemble C des nombres complexes I.1 Écriture des nombres complexes Il existe un ensemble noté C de nombres dits complexes vériant : R C C contient le nombre i

Plus en détail

Terminale STI-GE

Terminale STI-GE Le programme : Les premiers éléments de l'étude des nombres complexes ont été mis en place en première. L'objectif est de compléter cet acquis pour fournir des outils utilisés en algèbre, en trigonométrie

Plus en détail

Cours : Vecteurs repérage dans le plan

Cours : Vecteurs repérage dans le plan Cors : Vecters repérage dans le plan I. Repères et coordonnées a) repérage sr ne droite Choisir n repère sr ne droite, c est se donner dex points distincts O et I de, pris dans cet ordre. O est l origine

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71 NMBRES CMPLEXES I - Représentation géométrique Rappel Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k. Il est noté 3 k ou aussi k n a par

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE PROUIT SLIR NS L'SP I éfinition - Propriétés éfinition (rappel) ( voir animation ) Soient et v dex vecters d plan. On considère n point O et les points et tels qe : O = et O = v. On appelle prodit scalaire

Plus en détail

Cours de terminale S Les nombres complexes

Cours de terminale S Les nombres complexes Cours de terminale S Les nombres complexes V. B. et S. B. Lycée des EK 20 décembre 2014 Définition Vocabulaire Conséquences Définition Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes,

Plus en détail

Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique

Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique FORMULES ET THÉORÈMES Carré du nombre i On définit le nombre i de la façon suivante. i = 1 Forme algébrique d'un nombre complexe Tout nombre complexe z peut s'écrire sous une forme algébrique. z = a +

Plus en détail

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Géométrie BAC MATHS δmaths M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Nombres complexes * +. Si, alors il existe un unique couple tel que. est la forme algébrique du nombre complexe. : la partie réelle de. : la partie

Plus en détail

Etude de fonctions. Pour reprendre contact n p 45

Etude de fonctions. Pour reprendre contact n p 45 Etde de fonction S 1 Etde de fonctions Por reprendre contact n 1 2 3 4 5 p 45 I. Fonctions racine carrée Por a réel positif o nl, la racine carrée de a est le réel positif o nl b tel qe b² = a. Atrement

Plus en détail

COMPLEXES. Sujets. septembre Antilles-Guyane. novembre Amérique du Sud. avril Pondichéry. mai Liban.

COMPLEXES. Sujets. septembre Antilles-Guyane. novembre Amérique du Sud. avril Pondichéry. mai Liban. COMPLEXES Sujets septembre 01 novembre 01 avril 01 mai 01 Antilles-Guyane Amérique du Sud Pondichéry Liban Formulaire COMPLEXES 1 Antilles-Guyane septembre 01. EXERCICE Le plan complexe est rapporté à

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Définition - Représentation géométrique. II Forme trigonométrique - Module - Argument. Exercice 01 Apprendre le cours!...

NOMBRES COMPLEXES. I Définition - Représentation géométrique. II Forme trigonométrique - Module - Argument. Exercice 01 Apprendre le cours!... NOMBRES COMPLEXES I Définition - Représentation géométrique Exercice 0 Apprendre le cours!... Exercice 0 Soit z + i ; z' i - 5. Calculer et écrire sous la forme algébrique z + z' ; z - z' ; z - z' ; z.z'

Plus en détail

Vecteurs. I) Vecteurs et translation : a) notion de translation :

Vecteurs. I) Vecteurs et translation : a) notion de translation : I) Vecters et translation : a) notion de translation : Vecters Por aller de à, le marcher se déplace : dans le sens indiqé par la flèche sr ne longer correspondant à celle de [] dans la direction indiqée

Plus en détail

Vecteurs, bases et repères

Vecteurs, bases et repères hapitre 4 Vecters, bases et repères I Q est-ce q n ecter d plan? Nos ne poons pas, à notre niea, donner ne définition rigorese d n ecter d plan. isons qe concrètement, n ecter est n déplacement : G H d

Plus en détail

Module et Argument d un nombre complexe

Module et Argument d un nombre complexe Module et Argument d un nombre complexe Introduction : Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations

Plus en détail

LES NOMBRES COMPLEXES

LES NOMBRES COMPLEXES LES NMBRES CMPLEXES Table des matières Écriture algébrique d un nombre complee Définitions Propriétés 3 Somme, produit et inverse 4 Équation dans C Représentation géométrique d un nombre complee 4 Définitions

Plus en détail

CONTROLE N 2-2 heures

CONTROLE N 2-2 heures Mathématiques : Terminales S 1 et S NOM-Prénom: Mercredi 6 Octobre 010 CONTROLE N - heures QCM (13,5 points) Principe pour la notation : Pour les 6 premières questions, 0,5 pt/ bonne réponse, - 0,5 pt/réponse

Plus en détail

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : et z 2 = (3 + i) 4. = e2iθ

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : et z 2 = (3 + i) 4. = e2iθ Exercice 1 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : z 1 cos θ + i sin θ cos θ i sin θ et z (3 + i) cos θ + i sin θ z 1 cos θ i sin θ eiθ e z 1 cos θ + i sin θ iθ eiθ Soit a 3 + i. Alors a 10...

Plus en détail

Devoir corrigé Terminale S. D3n NOMBRE D OR

Devoir corrigé Terminale S. D3n NOMBRE D OR Aters : France et Michel Villiamey D3n NOMBRE D OR TI-Nspire CAS Thème : Nombre d or et site de Fibonacci. Fichiers associés : D3n_NombreOr_CAS.tns. Enoncé a) Démontrer q il existe n sel nombre réel positif

Plus en détail

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Ecriture algébrique Exercice 1 1. Donner l écriture algébrique des nombres complexes ci-dessous : i a. z = 1+ 1 + i 1 b. z = c. z3 = i 1 i + i. On considère les

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Rappels de trigonométrie tanα sinα π 2 M(α) π α cosα 0 3π 2 Figure 2.1 Sinus, cosinus, tangente Définition 2.1 La tangente d un nombre réel x, notée tan

Plus en détail

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 Université de Tours Année 2015-2016 Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES (12 h) 1 Nombres complexes 1.1 Introduction

Plus en détail

1 Argument d un nombre complexe. 2 Ecriture trigonométrique. M(z = a + ib) r = z = OM. θ = arg(z) Chapitre 5 Les nombres complexes (2)

1 Argument d un nombre complexe. 2 Ecriture trigonométrique. M(z = a + ib) r = z = OM. θ = arg(z) Chapitre 5 Les nombres complexes (2) Chapitre 5 Les nombres complexes ) 1 rgument d un nombre complexe Un point M peut être repéré dans le plan muni d un repère orthonormé direct O; u, v ) de deux façons : par ses coordonnées cartésiennes

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2 NOMBRES COMPLEXES Ph DEPRESLE janvier 06 Table des matières Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe Opérations dans l ensemble C. Addition dans C...........................................

Plus en détail

Nombres Complexes Part Two

Nombres Complexes Part Two Nombres Complexes Part Two Catherine Decayeux Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 1 / 22 Prérequis : Forme algébrique d un nombre complexe. Lignes trigonométriques (cosinus et sinus) des angles

Plus en détail

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : calculs dans l ensemble des nombres complexes (addition, soustraction, multiplication,

Plus en détail

Ecriture algébrique, écriture trigonométrique, écriture exponentielle

Ecriture algébrique, écriture trigonométrique, écriture exponentielle Ecriture algébrique L écriture algébrique d un nombre complexe est de la forme x + i y, avec x et y des réels. La partie x s appelle partie réelle, la partie y s appelle partie imaginaire. Dans le plan,

Plus en détail

Fiche de Travaux dirigés Nombres complexes. Tous ces exercices sont extraits des baccalauréats.

Fiche de Travaux dirigés Nombres complexes. Tous ces exercices sont extraits des baccalauréats. . Fiche de Travaux dirigés Nombres complexes Tous ces exercices sont extraits des baccalauréats. Njionou Patrick, S pnjionou@yahoo.fr Lycée de Japoma BP : 797, Douala, Cameroun et Tchapnga Romaric romaric1984@yahoo.fr

Plus en détail

QCM Une seule des réponses proposées est correcte. Recopiez là sur votre copie. Attention! Toute réponse erronée sera pénalisée

QCM Une seule des réponses proposées est correcte. Recopiez là sur votre copie. Attention! Toute réponse erronée sera pénalisée S DS 7/04/ Exercice : sr 4 points QCM Une sele des réponses proposées est correcte Recopiez là sr votre copie Attention! Tote réponse erronée sera pénalisée ( )a por terme général n Alors Q La site Q La

Plus en détail

1 Forme algébrique d un nombre complexe

1 Forme algébrique d un nombre complexe Chapitre 2 Nombres complexes 1 BCPST 851 27 septembre 2011 Chapitre 2 Nombres complexes On suppose donné un nombre i n appartenant pas à R. 1 Forme algébrique d un nombre complexe Définition 1 Propriété

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes BTS Mécanique et Automatismes Industriels, Année scolaire 006 007 Table des matières. Les différentes écritures. - Forme algébrique d un nombre complexe. - Représentation géométrique d un nombre complexe.3

Plus en détail

() Compléments de géométrie 1 / 33

() Compléments de géométrie 1 / 33 Compléments de géométrie () Compléments de géométrie 1 / 33 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 2 / 33

Plus en détail

Les lieux géométriques. Prendre les deux côtés, par exemple [AB] et [BC] et montrer que. Pour montrer qu un triangle ABC est isocèle en A :

Les lieux géométriques. Prendre les deux côtés, par exemple [AB] et [BC] et montrer que. Pour montrer qu un triangle ABC est isocèle en A : Démonstrations de base Pour montrer qu il y a un angle droit : Prendre les deux côtés, par exemple [] et [C] et montrer que arg C = ± Lieux du type Pour montrer qu un triangle C est isocèle en : Montrer

Plus en détail

est le vecteur qui a la même direction, la même longueur que AB un sens opposé. C est donc le vecteur BA. On note : -AB ABCD est un parallélogramme.

est le vecteur qui a la même direction, la même longueur que AB un sens opposé. C est donc le vecteur BA. On note : -AB ABCD est un parallélogramme. Chapitre VII : Les ecters Repérage dans le plan I Vecters a) égalité de ecters Définition : On dit qe dex ecters sont égax lorsq ils ont même direction, même sens et même longer On note = = CD = EF Vecters

Plus en détail

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009 CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 009 A. LAATAOUI I. INTRODUCTION ET DEFINITION Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et 3 et a pour racine et

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Note liminaire Programme selon les sections : - représentation graphique, opérations, conjugué, module, argument, forme trigonométrique : toutes sections - notation exponentielle : STISD STL - S Prérequis

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes DERNIÈRE IMPRESSION LE 17 février 016 à 15:35 Les nombres complexes Table des matières 1 Introduction 1.1 Un problème historique......................... 1. Création d un nouvel ensemble.....................

Plus en détail

TRANSLATION ET VECTEURS

TRANSLATION ET VECTEURS TRNSLTION ET VETEURS I. Translation Exemple : T 80m Une translation est n glissement : - aec ne direction donnée : câble d téléphériqe, la droite (), - aec n sens donné : le téléphériqe monte de ers, T

Plus en détail

Nombres complexes. s'écrit alors i

Nombres complexes. s'écrit alors i Nombres complexes préambule : En 1545, dans son ouvrage Artis magnae sive regulis algebraicus, le mathématicien italien Cardan veut résoudre l'équation : x(10 x) 40. Il est confronté à une opération impossible

Plus en détail

Nombres complexes. Les Nombres Complexes

Nombres complexes. Les Nombres Complexes Introduction : Historique : Les Nombres Complexes Au début du XVI ème siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution de l'équation du 3 ème degré : A la fin du XVI

Plus en détail

Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 280 du manuel)

Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 280 du manuel) Chapitre 8 : Nombres complexes QCM Pour bien commencer (cf. p. 80 du manuel) Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses. Exercice n 1 La mesure principale de l angle A 1 π. B 1π est

Plus en détail

Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître

Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître Y. Morel Version en ligne et interactive : http://xymaths.free.fr/lycee/ts/exercices-corriges-complexes.php Table des matières 1 Formes

Plus en détail

Module d'un nombre complexe. Nombres complexes. Définition. Forme algébrique :

Module d'un nombre complexe. Nombres complexes. Définition. Forme algébrique : Définition Nombres complexes L'ensemble des nombres complexes noté est l'ensemble des nombres de la forme z = a + biou a et b sont des réels quelconques et i un nouveau nombre tel que i²= -1. Le nombre

Plus en détail

Chapitre 10 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES. et Im(z) =

Chapitre 10 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES. et Im(z) = Chapitre 0 Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES I- - Forme algébrique d un nombre complexe Définition : On note C l ensemble des nombres de la forme z = x + iy, où x et y sont deux nombres réels et ii un

Plus en détail

Fiche BAC 09 Terminale S Nombres complexes (2ème partie) Exercice 1 ( Ex n 2 Antilles-Guyane juin 2000 adapté) Commun à tous les candidats

Fiche BAC 09 Terminale S Nombres complexes (2ème partie) Exercice 1 ( Ex n 2 Antilles-Guyane juin 2000 adapté) Commun à tous les candidats Fiche BAC 09 Terminale S Nombres complexes (ème partie) Exercice 1 ( Ex n Antilles-Guyane juin 000 adapté) Commun à tous les candidats 1 ) Pour tout nombre complexe z, on pose P (z)=z 3 3 z +3 z+7. a)

Plus en détail

Nombres complexes et application à la géométrie

Nombres complexes et application à la géométrie Nombres complexes et application à la géométrie I) Représentation graphique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormé (O,u,v). 1) Affixe d un point a) Définition Si M est le point de

Plus en détail

Chap9 Forme trigonométrique et forme exponentielle de nombres complexes

Chap9 Forme trigonométrique et forme exponentielle de nombres complexes Chap9 Forme trigonométrique et forme exponentielle de nombres complexes I Module, argument et forme trigonométrique d un nombre complexe Rappel : le plan complexe est le plan muni d un repère orthonormé

Plus en détail

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations On se propose d étudier les solutions de l équation (E) z + 1 = 0 1. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z + 1 = (z + 1)(z z + 1). En déduire

Plus en détail

cosinus - mathématiques. 1 PRÉSENTATION

cosinus - mathématiques. 1 PRÉSENTATION cosinus - mathématiques. 1 PRÉSENTATION cosinus, fonction trigonométrique, complémentaire de la fonction sinus, introduites toutes deux dans la définition de la mesure d un angle en géométrie euclidienne.

Plus en détail

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES TRANSFORATIONS ET NOBRES COPLEXES Table des matières Applications géométriques des nombres complexes. Arguments d un nombre complexe........................................... Ensemble de points du plan.

Plus en détail

Chapitre 14 : Nombres complexes et géométrie

Chapitre 14 : Nombres complexes et géométrie Chapitre 14 : Nombres complexes et géométrie I Affixe, module et argument I.1 Représentation géométrique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormal direct (O; u; v. Il est ainsi appelé

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre 1 : les nombres complexes [forme algébrique]

TERMINALE S Chapitre 1 : les nombres complexes [forme algébrique] SOMMAIRE * 1. NOTION DE NOMBRE COMPLEXE... 2 DEFINITIONS ET PROPRIETES.... 2 * 2. INTERPRETATION GEOMETRIQUE.... 3 * 3. AFFIXE D UN VECTEUR, D UN BARYCENTRE... 3 * 4. NOMBRES COMPLEXES CONJUGUES... 4 *

Plus en détail