Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres

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1 Séminaie Dubeil. Algèbe et théoie des nombes DANIEL REES Réduction des idéaux et multiplicités dans les anneaux locaux Séminaie Dubeil. Algèbe et théoie des nombes, tome 13, n o 1 ( ), exp. n o 8, p. 1-6 < 13_1_A8_0> Séminaie Dubeil. Algèbe et théoie des nombes (Secétaiat mathématique, Pais), , tous doits ésevés. L accès aux achives de la collection «Séminaie Dubeil. Algèbe et théoie des nombes» implique l accod avec les conditions généales d utilisation ( Toute utilisation commeciale ou impession systématique est constitutive d une infaction pénale. Toute copie ou impession de ce fichie doit conteni la pésente mention de copyight. Aticle numéisé dans le cade du pogamme Numéisation de documents anciens mathématiques

2 Séminaie DUBREIL-PISOT (Algèbe et Théoie des nombes) e année, 1959/~0 ~ n 8 11 janvie 1960 RÉDUCTION DES IDÉAUX ET MULTIPLICITÉS DANS LES ANNEAUX LOCAUX pa Daniel REES Je commenceai cette conféence en appelant quelques ésultats sans démonstation. Soit Q un anneau local de dimensions d k pou le cops Q/m. De m~me si Q et d idéal maximal m. Nous écivons est un anneau étant un indice quelconque, nous écivons m pou l idéal maximal et k pou Q /m. (i) Supposons que,03b1 soit un idéal m-pimaie. Il existe donc un entie n0 et un polynôme S polynôme de Samuel) de degé d en n tels que la Si nous écivons soit égale à Sa(n) si n > n0. e(03b1) s appelle la multiplicité dd l idéal et. (ii) BHATTACHARYA [l] a dome une généalisation de ce ésultats Supposons que x et b soient deux idéaux m-pimaies. Il existe des enties m0, L. et un polynôme B03B1 J (m, n) de degé d en m et n tels que 03B1m hn) soit égal à B ~ (m ~ n) si et n >n~ * a m et n dans (m, n) sont, espectivement, e(a)/di et (iii) Si A est un anneau noéthéien et 3 un idéal de A, Les coefficients des temes un idéal b de A est une éduction de ~ si b c et et s il existe un entie k tel que : Il en ésuite que, si t~ ~ ~ et a a ~ ~ sont m-pimaies

3 Un anneau local Q est appelé "quasi-non mixte" si, pou tout idéal minimal p de l idéal zéo dans l anneau complété Q de Q, Si Q est un anneau local intège quasi-non mixte ; nous avons le ésultat suivant : Supposons que R =... ~ soit un anneau intège et que p idéal pemie de R tel que p ~ Q = m. Soient K=R/pR et F. G les cops des factions de Q, R. Donc soit un Cette f omule est la fomule de dimension de En paticulie, si G == F et si. K est une extension finie de k ~ R i a une dimension égale à dim Q. Maintenant, je donne le ésultat qui est l obj et de cette conféence. Si Q est un anneau local quasi-non mixte, et si a et b c a sont deux idéaux m-pimaies de Q qui véifient la condition e ~a~ ~ e ~~)! alos b est une éduction Nous utilisons, comme outil, un anneau gadué Ra. Cet anneau est le sous-anneau de Q[t], où t est une indéteminée su Q, constitué pa les éléments i~n c avec c ~ 03B1. Si a1,..., a,m e st un système fini de généateus de l idéal a, on a R = Supposons que soit un idéal homogène de R, a... ~ ta ] et R est noethéien. (dans tout ce qui suit, un idéal de R sea a toujous un idéal homogène). Considéons l ensemble des éléments x de Q tel que Cet ensemble est un idéal de Q et (il) Comme R est noethéien, il existe un entie k tel que, si et pa conséquent

4 On appelle idéal impope de Ra un idéal X tel que X = a~ si est suffisamment gand. Autement X est appelé idéal pope. Maintenant, considéons un idéal b c a de Q. Soit bl,..., b un système fini de généateus de l idéal b et soit D l idéal (h, t... b t) de R. Il est clai i que B est impope si, et seulement si b est une éduction de x. Désomais, nous supposons que b n est pas une éduction de ce et donc B est un idéal pope. Nous choisissons un idéal pope maximal B de R qui contienne D. m Il n est pas difficile de monte que D es t un idéal pemie. De plus c et, pa conséquent Il en ésulte que, pou monte que b est une éduction de c si e (~~ = e il suffit de monte que, si 03B2 est un idcal pope maximal de R03B1, on a Nous associons avec l idéal pemie Q de l anneau local constitué pa des factions xt/yt telles que xt, yt E R et et yt 03B2. Maintenant, supposons que soit un idéal de R. Nous associons avec X a l idéal X03B2 de Q03B2 constitué pa les factions xt/yt avec xt et nous associons un idéal homo- yt ~ 03B2. Récipoquement, à un idéal q gène q* de R a o Un élément xt de R est contenu dans q* p ou que lque s yt. Les faits suivants sont élémentaies, et j omets les démonstations. si xt/yt E q (ii) (Xp)* est le composant isole 3Eg où S est la patie multiplicativement stable constituée pa les éléments homogènes de R non contenus dans c ~ (iii) Si q est M03B2-pimaie, alos q* est 03B2-pimaie et

5 , (iv) est un idéal 03B2-pimaie, X est m03b2-pimaie et LEMME 1 est un..>d-ég.i,,p,ggg.e-.. maximal, i (03B1/03B2) est égal à lkp : kl si s suffisamment g,aq,, et est fini.. Ecivons S pou l anneau gadué R /P et S a pou l ensemble des éléments homogènes de degé. S0 est un cops isomophe à k et S est un espace vectoiel su k. Soit y un élément de S homogène de degé p. ys est un idéal non nul âe S, donc impope, et, pa conséquent, pou assez gand, que Choisissons un élément fixe u de degé 1~ Donc il existe un entie k tel il existe un élé- et la dimension de S est constante pou > k. De - plus, ~ ment homogène y e S, tel que u = yv, pou assez gand. Maintenant, kp est isomophe à l anneau des factions z/y où z, y sont des éléments homogènes de S du même degé. Mais z/y = et, pa conséquent, tous les éléments de kp sont de la fome v/à. Donc la dimension de S est égale à [k ; k] pou > k. :Mais la dimension de S est égale à p / la. longueu de LEMME 20 - Si > est un idéal 03B2-pimaie, z est égal à z (%)[k k ] si oxt assoz gand., La démonstation se fait pa écuence su é ( ). LEMME 3. - Si k est Un entie tei que P = Pk 03B1-k pou t k, on?. pou assez ~and. Si > nk, et = 03B2n, nous avons la f omule

6 . D ailleus 03B2 n = 03B2(n) (B Il, eu X est 1;pope. Pa conséquente si est assez gand. quelque soit assez gand. THÉORÈME. - La dimension de Qp est inféieue ou égale à d. Si la dimension est égale à d ~ on a : Considéons la longueu de. D apès le théoème de Bhattachaya, i( si et s sont assez gands~ elle est égale à B( ~ s) = B ~ ( ~ s) où B( ~ s) est un polynôme de degé d en et s dont le coefficient de s est e(p.)/d En oute, on a : Si + sk est assez gand, = S ( + sk) et le coefficient de s dans ce polynôme est k e(a)/d. Finalement, si est assez gand (c està-die 0 est un entie qui dépend de S ), et est assez est dans S (s) est [kp : k] e(m)/h. mp II on ésulte : ~ S (s)* Le coefficient de a La démonstation du ésultat pincipal de cette conféence est maintenant fa.- cile. Il suffit de nonte quo l anneau local Qp cet de dimension d. Mais,

7 si Q est quasi non mixte et si a est un élément de Q tel que at e P, et posons A = Q[a1/a,..., am/a] et Appelons 03B2 l idéal pemie MP ~ A de A ; on a Qp = A!JI et d apès la fomule de dimension de NAGATA, Qp est de dimension d. BIBLIOGRAPHIE [1] BHATTACHARYA (P. B.). - The Hilbet function of two ideals, Poc. Cambidge phil. Soc., t. 53, 1957, p