Premier problème : Dimensionnement d'un puits canadien

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1 PSI samedi, 5 mas /017 DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N 6 8h00 1h00 4 heues Calculatices autoisées NB: Le candidat attachea la plus gande impotance à la claté, à la pécision et à la concision de la édaction. Toutes les intepétations physiques seont comptabilisées Si un candidat est amené à epée ce qui peut lui semble ête une eeu d'énoncé, il le signalea su sa copie et deva pousuive sa composition en expliquant les aisons des initiatives qu'il a été amené à pende. * * * Le devoi se compose de deux poblèmes de paties lagement indépendantes. Pemie poblème : Dimensionnement d'un puits canadien On veut énove un logement en y installant un puits canadien (ou puits povençal). Le logement a une suface de 100 m² sous une hauteu moyenne de m. Dans le logement à énove, la ventilation se fait pa l'appot d'ai extéieu gâce aux ouvetues en haut des fenêtes et pa l'expulsion de l'ai intéieu pa une ventilation mécanique contôlée(v.m.c) (fig ). On bouche les ouvetues pou les emplace pa un dispositif de puits canadien: l'ai extéieu aspié cicule dans le sol avant d'ente dans le logement (fig 3). On considèe que le débit volumique D V dans la V.M.C et le puits est constant et identique (pas de pete de chage), les ayons R des sections sont également identiques. On peut fixe les gandeus R, L (la longueu du puits) et Dv indépendamment les unes des autes en dimensionnant l'installation los de la conception. On évitea alos d'utilise v la vitesse de l'ai pulsé que l'on peut expime en fonction de ces gandeus. L'objectif est de touve la longueu, la pofondeu et la section que doit avoi le puits. Les lois physiques utilisées dans cette patie font inteveni des difféences de tempéatues: toutes les tempéatues notées T ou sont expimées en degé Celsius.

2 h: coefficient modélisant le tansfet themique de suface conducto-convectif ente le sol de tempéatue T 0 et l'ai de tempéatue T en écoulement pa la loi de Newton qui donne au signe pès le flux sufacique d'échange: ϕ = h(t-to) en W.m -. Dv = 50 m 3 h -1 R = 50 mm ρ = 1,75 kg.m -3 masse volumique de l'ai c P = 1000 J.kg -1.K -1 capacité themique massique de l'ai à pession constante. T 0 = 1 C tempéatue du sol. T EXT = - 4 C tempéatue de l'ai extéieu T L = 19 C tempéatue du logement 1. Pouquoi doit-on enouvele l'ai du logement? Quel en est l inconvénient? Quelle est la duée nécessaie pou que l'ai se enouvelle entièement dans le logement? A quoi set le puits canadien?. On veut maintenant dimensionne la longueu et le ayon du tuyau nécessaies au puits. Quelle tempéatue maximale peut-on espée à la sotie du puits s'il est suffisamment long? 3. Enonce le pemie pincipe appliqué à un fluide en écoulement stationnaie au taves d une machine themique. Le tuyau est oienté pa un axe x dans le sens de l'écoulement. La tempéatue le long du tuyau souteain est notée T(x). On pose x) =T(x) -T 0 On pend un modèle simplifié pou la ciculation de l'ai dans le sol: - Le égime est pemanent - Pas de pete de chage, la pession P est constante. - La masse volumique de l'ai est également supposée constante et unifome. 4. En considéant une tanche d'ai compise ente x, x+dx, établi l'équation difféentielle en et monte que: (x) = i.exp( - K.x) avec K = hr / (Dvc P ) 5. Pou dimensionne la longueu, on veut atteinde une tempéatue de sotie T FINALE au moins égale à 96 % de la tempéatue Celsius maximale. On donne K=0,15 SI. Calcule cette longueu L. 6. Que peut-on die de l'effet du débit su la longueu nécessaie à l'augmentation maximale de tempéatue? On justifiea avec soin à l'aide des difféents pocessus physiques mis en jeu.

3 7. Que peut-on die de l'effet du diamète du tuyau su la longueu nécessaie à l'augmentation maximale de tempéatue? On justifiea avec soin à l'aide des difféents pocessus physiques mis en jeu. On choisit finalement un diamète qui évite une pete de chage et on ne dimensionne donc pas totalement la section de la conduite en fonction de la containte themique. Deuxième poblème : Vidange d une citene de gazole Les données numéiques se touvent à la fin du poblème A/ Ecoulement pafait On suppose que toutes les conditions sont éunies pou qu on puisse applique la elation de Benoulli ente un point A de la suface libe du gazole et un point B au niveau de l ouvetue (voi figue ci-apès) : 1 VB VA g zb za pb p A 0 où est la masse volumique du gazole, V A (espectivement V B ) coespond à la vitesse moyenne (encoe appelée vitesse débitante) de l écoulement supposée constante au niveau de la section S A (espectivement S B ), p A (espectivement p B ) coespond à la pession de l écoulement supposée constante au niveau de la section S A (espectivement S B ), g est l intensité du champ de pesanteu. z citene H Ai à la pession P 0 h gazole A S A : section de la citene au niveau du point A (en m²) S B : section de l oifice d écoulement au niveau du point B (en m²) S B << S A B : De l ai à la pession P 0 x A1. Quelles sont les conditions d application de la elation de Benoulli? A. Comment se taduit la consevation de la masse los de l écoulement? En déduie une elation ente les vitesses moyennes en A et B. A3. Sachant que la section en A est nettement plus gande que celle en B, expime la vitesse moyenne V B de l écoulement en B à l aide de h et g. A4. La citene est initialement pleine. Expime le temps nécessaie T pou la vidange complètement, à l aide de S A, S B, H et g. Calcule T.

4 B / Pise en compte d une pete de chage singulièe Au niveau du convegent (étécissement de section su la ligne de couant AB), on constate une zone de petubation caactéisée énegétiquement pa une «pete de chage singulièe» : le bilan d énegie se taduit pa une pete d énegie mécanique volumique modélisable pa la fomule suivante : 1 1 VB VA g zb za pb pa KCV B avec K c 0,55 (sans dimension) B1. Détemine une nouvelle expession de V B en tenant compte de la pete de chage singulièe. B. Expime à nouveau le temps nécessaie T pou vidange complètement la citene, à l aide de T et K c. Calcule T. Commente. C / Pise en compte d une pete de chage égulièe On accoche au niveau de B une conduite cylindique veticale de gande longueu et de diamète d = a. La figue ci-conte ne epésente qu une potion =C 1 C de cette conduite. L étude de l écoulement ente C 1 et C nécessite alos la pise en compte de la dissipation d énegie pa fottement dû à la viscosité du gazole. Dans la suite, on considèe que le gazole est un fluide incompessible, de masse volumique constante, de viscosité dynamique, en écoulement stationnaie. On suppose de plus que l écoulement est laminaie et que le champ de vitesse est à symétie cylindique V V e avec V() > 0 et une vitesse nulle le long des paois et maximale su l axe de la conduite. Les pessions sont supposées constantes pou une altitude donnée : p C1 est la pession en C 1 à l altitude z C1, p C est la pession en C à l altitude z C. z

5 z z C C a C 1 Z c C 1 z C1 O O On isole pa la pensée un cylinde de fluide de ayon inféieu à a et de longueu. Ce cylinde subit des foces pessantes en C 1 et C, son poids et des foces visqueuses modélisées pa la loi suivante : dv f e z d Où epésente la suface latéale de contact ente le fluide contenu dans le cylinde et celui à l extéieu du cylinde. C1. Faie un bilan de quantité de mouvement pou ce cylinde et établi la elation suivante : dv pc p 1 C d avec. p p gz et un facteu que l on expimea à l aide de et. Commentez le signe de C. Monte que V() s écit : V V 1 a max. Expime V max à l aide de, a etp p. C3. Détemine l expession du débit volumique Q V à l aide de, a etp p. C 1 C C 1 C C4. En déduie l expession de la vitesse moyenne V moy dans une section de la conduite (encoe appelée vitesse débitante) à l aide de, a etp p. C 1 C

6 La «pete de chage égulièe» (due à la dissipation d énegie à cause des fottements visqueux) est définie pa Dp = l 1 V l où est une constante sans dimension dépendant de la natue moy d de l écoulement et de la ugosité de la conduite, la longueu de la conduite et d son diamète. On a pa ailleus: p p p pou une canalisation de section constante. C C 1 C5. Détemine l expession de à l aide de,, V moy et a. C6. Rappele l expession du nombe de Reynolds R e pou une conduite cylindique en fonction de son diamète d, de la vitesse moyenne V moy, de la masse volumique et de la viscosité Pou un écoulement laminaie, en déduie l expession de à l aide du nombe de Reynolds, R e. C7. Calcule le nombe de Reynolds R e à l aide des données numéiques founies en fin de sujet. C8. Rappele comment le nombe de Reynolds, R e peut ête utilisé pou caactéise la natue de l écoulement. L hypothèse d écoulement laminaie utilisée jusqu à la question C7 est-elle valide? D / Remplissage du ésevoi d une voitue On utilise une pompe centifuge pou déplace le gazole de la citene au ésevoi d une voitue. Le schéma suivant modélise simplement le cicuit du fluide (la citene étant enteée, on a bien évidemment z E > z A ) La «pete de chage singulièe» (due à la dissipation d énegie à cause des coudes, des accods 1 ente canalisations de diamètes difféents ) est définie pa ps K V moy où K est une constante sans dimension dépendant de la natue de la singulaité encontée. On admetta que la pompe utilisée ici génèe une pete de chage singulièe de coefficient K pompe = 6.

7 D1. Utilise le document, page 1, intitulé «Données numéiques» pou détemine la valeu numéique du coefficient K total coespondant à l ensemble des singulaités détaillées su le schéma ci-dessus. On penda soin de pécise les difféents temes intevenant dans K total. D. Calcule la valeu totale des petes de chage singulièes p s, tot à l aide des données numéiques founies en fin de sujet. D3. La totalité des longueus doites de la conduite vaut appoximativement = 10 m. On admetta la valeu suivante pou le coefficient de pete de chage égulièe : =, Calcule la valeu totale des petes de chage égulièes p, tot à l aide des données numéiques founies en fin de sujet. L insetion d un élément actif (ici la pompe électique) dans le cicuit du fluide modifie le bilan énegétique appliqué au gazole. En tenant compte des petes de chage, on admet la elation suivante appliquée ente les points A et E : 1 P Q VE VA g ze za pe pa p, tot ps, tot où P u est la puissance utile founie pa la pompe au fluide et Q V est le débit volumique. D4. Calcule le débit volumique dans les conduites Q V à l aide des données numéiques founies. D5. Sachant que la pompe a un endement de 80%, détemine l expession de P e, puissance électique alimentant la pompe. Calcule P e (on penda z E - z A 5 m). u V DONNEES NUMÉRIQUES Hauteu de la citene pleine : H = 1,00 m Section de la citene au point A : S A = 1,00 m² Section de l ouvetue au point B : S B = 1, m² Rayon des sections des conduites et des coudes : a = 1,80 cm Intensité du champ de pesanteu : g = 9,81 m.s - Masse volumique du gazole : = 840 kg.m -3 Viscosité dynamique du gazole : = kg.m -1.s -1 Vitesse moyenne des les conduites : V moy = 4,50 m.s -1 Coefficient K pou les petes de chage singulièe : Coude busque : Coude aondi de ayon de coubue R C et de diamète d ( est en degé) : K = sin² + sin 4 ( )