Comportement asymptotique d une fonction

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1 Chapitre 5 Comportement asmptotique d une fonction Programme Contenus Capacités attendues Commentaires Limites de fonctions Limite finie ou infinie d une fonction à l infini. Limite infinie d une fonction en un point. Limite d une somme, d un produit, d un quotient ou d une composée de deu fonctions. Limites et comparaison. smptote parallèle à l un des aes de coordonnées. Fonction eponentielle Déterminer la ite d une somme, d un produit, d un quotient ou d une composée de deu fonctions. Déterminer des ites par minoration, majoration et encadrement. Interpréter graphiquement les ites obtenues. Démontrer que e = 0. e = + et e Connaître et eploiter = + et + e = 0. Le travail réalisé sur les suites est étendu au fonctions, sans formalisation ecessive. L objectif essentiel est de permettre au élèves de s approprier le concept de ite, tout en leur donnant les techniques de base pour déterminer des ites dans les eemples rencontrés en terminale. La composée de deu fonctions est rencontrée à cette occasion, mais sans théorie générale. n étudie des eemples de fonctions de la forme ep(u()), notamment avec u() = k ou u() = k 2 (k > 0), qui sont utilisées dans des domaines variés.

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3 Table des matières 5 Comportement asmptotique d une fonction I - Définitions et eemples Limite finie en l infini Limite infinie en l infini Limite infinie en un réel II - Calculs de ites Règles opératoires sur les ites Théorèmes de comparaison Composée de deu fonctions III - La fonction eponentielle, croissance comparée I - Définitions et eemples. Limite finie en l infini Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [;+ [ (ou R ou ];+ [). n dit que la fonction f a pour ite le nombre l en + lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f() pour assez grand. n note : f() = l. n dit alors que la droite d équation = l est une asmptote horizontale à la courbe de f en + dans un repère du plan. Eemple n considère la fonction f définie sur ];+ [ par f() =. Démontrer à l aide de la définition que f() =. #» j #» i B +ε ε 3

4 Définition 2 Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] ;] (ou R ou ] ;[). n dit que la fonction f a pour ite le nombre l en lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f() pour assez grand. n note : f() = l. n dit alors que la droite d équation = l est une asmptote horizontale à la courbe de f en dans un repère du plan. Eemple 2 Reprendre l eemple précédent avec f définie sur ] ;[ et montrer que f() =. Remarques : La ite de f est unique. Pour déterminer la position de la courbe d un fonction f à son asmptote d équation = l, il suffit d étudier le signe de f() l. ± Propriété f() = l ± f() l = 0. () Pour tout entier n : n = (2) = = 0. n = n = n = 0. (3) Les fonctions cos et sin n admettent pas de ite en + et en. 2. Limite infinie en l infini Définition 3 Soit f une fonction définie sur [; + [ où R. n dit que la fonction f a pour ite + (ou ) en + lorsque tout intervalle de la forme ]a;+ [ (ou ] ;a[) où a R contient toutes les valeurs f() pour assez grand. n note : f() = + ( ou ). Eemple 3 Démontrer que (0 3) = a B Définition 4 Soit f une fonction définie sur ] ;] où R. n dit que la fonction f a pour ite + (ou ) en lorsque tout intervalle de la forme ]a;+ [ (ou ] ;a[) où a R contient toutes les valeurs f() pour assez grand. n note f() = + ( ou ). 4 - Lcée Pierre-Gilles de Gennes

5 Propriété 2 () Si a > 0 alors (a+b) = et (a+b) = +. (a+b) = + et (a+b) =. Si a < 0 alors (2) Soit n N, n = + et (3) = +. n = { + si n est pair si n est impair. 3. Limite infinie en un réel Définition 5 Soit a R et f une fonction dont l ensemble de définition contient au moins un intervalle de la forme ]a α[ ou ]a;+α[. n dit que f a pour ite en à gauche de (resp. à droite de a) lorsque tout intervalle ouvert de la forme ];+ [ avec R, contient toutes les valeurs f() pour assez proche de a à gauche (resp. à droite) de a. n note : f() = + (resp. f() = + ). <a >a n dit alors que la droite d équation = a est une asmptote verticale de la courbe de f à gauche (resp. à droite) de a. Lorsque <a f() = >a f() = +, on dit que f à pour ite + en a. a a+δ f() = + >a a δ a f() = + <a a δ a a+δ f() = + a a+δ a δ a a δ a a+δ f() = >a f() = <a f() = 5 - Lcée Pierre-Gilles de Gennes

6 Eemple 4 Soit f la fonction définie sur ];+ [ par f() =. Déterminer f() à l aide de la définition. > 4 2 δ Propriété 3 () Soit n N : si n est pair alors 0 n = + ; (2) 0 >0 si n est impair alors 0 = 0 >0 = +. >0 n = + et 0 <0 n =. II - Calculs de ites. Règles opératoires sur les ites Dans cette partie, a désigne un nombre réel ou ou +, l et l désignent des nombres réels. n a alors les théorèmes suivants, qui sont admis. Dans les tableau, on écrit F.I. pour forme indéterminée qui signifie que l on ne peut pas directement conclure. Ces règles sont données pour les fonctions, mais on a des règles analogues pour les suites. La somme f +g l + l l+l + F.I. + + F.I Lcée Pierre-Gilles de Gennes

7 Le produit f g 0 l > 0 l < F.I. F.I. l > 0 0 l l l l + l < 0 0 l l l l + F.I F.I. + + Le quotient f g 0 l > 0 l < 0 + l l l > 0 0 l l + l l l < 0 0 l l + l = 0 et g > 0 F.I. + + l = 0 et g < 0 F.I. + + ± F.I. F.I. Formes indéterminées Il a donc quatre forme indéterminées, que l on peut écrire pour les retenir : ; «0» ; ; «0 0». Lorsqu on rencontre une forme indéterminée, on essaie de lever l indétermination, c est-à-dire de trouver la ite demandée en étudiant la situation. n dispose cependant de deu régles, permettant de déterminer la ite d une fonction polnôme et la ite d une fonction rationnelle en l infini. Eemple 5 ( ) = Eemple = ttention : Ces techniques ne s utilisent pas pour la ite en un réel a. 7 - Lcée Pierre-Gilles de Gennes

8 2. Théorèmes de comparaison Théorème Théorème des gendarmes (dmis) Soit f, g et h trois fonctions définies sur [;+ [ où R et l un réel tels que : Pour tout [;+ [ : g() f() h() ; lors Eemple 7 g() = f() = l. h() = l. Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f() = 2+3cos. Déterminer f(). Propriété 4 Théorème de comparaison () Soit f etg deu fonctions définies sur un intervalle [;+ [ telles que pour tout [;+ [,f() g(). Si g() = + alors f() = +. (2) Soit f etg deu fonctions définies sur un intervalle [;+ [ telles que pour tout [;+ [,f() g(). Si g() = alors f() =. Remarque : n a des théorèmes analogues lorsque tend vers ou vers un réel a. Eercices 67, 68, 70, 7 et 72 p 75, 20 p Composée de deu fonctions Définition 6 Soit u et v deu fonctions définies respectivement sur les ensembles D u et D v. La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, est la composée de u par v, notée v u : v u u u() v v(u()) La fonction v u est définie : sur l ensemble D des réels de D u tels que u() appartienne à D v ; par v u() = v(u()). 8 - Lcée Pierre-Gilles de Gennes

9 Eemples 8 () Soit u la fonction définie sur [0;+ [ par u() = et v la fonction définie sur R\{2} par v() = 2. La fonction v u est définie pour tout réel 0 tel que 2, c est-à-dire sur [0;4[ ]4;+ [. n a v u() = v(u()) = u() 2 =. 2 (2) La fonction u v est définie pour tout réel 2 tel que 0, c est-à-dire sur ]2;+ [. 2 n a u v() = u(v()) = v() = 2 =. 2 Théorème 2 (dmis) Soit u une fonction définie sur I R et v définie sur J R telles que pour tout I, u() J. a, b, et c désignent des réels ou + ou. Si u() = b et v(x) = c alors v u() = c. X b Eemple 9 Déterminer +. 9 Eercices 9, 0 p 59+64p74+57p74(fin) Théorème 3 (dmis) a et b désignent soit des réels, soit +, soit. Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et deu suites (u n ) et (v n ) telles que pour tout entier naturel n, u n I et v n = f(u n ). Si u n = a et f() = b alors v n = b. n + n + Eemple 0 Déterminer 9 2 n. n + III - La fonction eponentielle, croissance comparée Théorème 4 e = + et e = 0. Démonstration Soit ϕ la fonction définie sur R par ϕ() = e, celle-ci étant dérivable sur R, on a ϕ () = e 0 pour tout 0. insi, ϕ est strictement croissante sur [0;+ [, donc pour 0, on a ϕ() ϕ(0) ϕ() > 0, par suite pour tout 0, e > et d arpès le théorème de comparaison e = +. Pour tout réel, on e = e = avec u() =. r, e u() = + et u() X + ex = +, par composition e = +, par quotient Eemple e Calculer ( )e et 2 +. Eercices E. 4p29, 38,39p3570p43 = 0, donc e e = Lcée Pierre-Gilles de Gennes

10 Théorème 5 Croissance comparée e = + et e = 0. Démonstration Soit f définie sur R par f() = e 2 2. f est dérivable sur R et f () = e. n a vu dans la démonstration précédente que f () > 0 pour tout 0, ainsi f estcroissante sur [0;+ [ et f() f(0) f() > 0 pour tout 0. n en déduit que e > e et d après le théorème de comparaison 2 = +. En posant u() =, on a e = u(). Puisque u() = + et e e X u() X + X +, par passage à l inverse, u() = 0. Donc eu() e = 0. Eemple 2 e Démontrer que = + et + (5+)e = 0. Eercices 46, 50, 5, 52 p , 67 p 4+70,7p43 Remarques : Dans le langage courant, on dira qu «à l infini l eponentielle l emporte sur». e n peut démontrer que l on également les ites suivantes : = + et n e u() = +, par composition u() = n e = 0 (voir l eercice 47 p 37). Pour des valeurs de assez grandes, la fonction eponentielle croît beaucoup plus vite qu une fonction puissance; ce qui justifie parfois l epression de langage courant : «croissance eponentielle» pour une croissance rapide. 0 - Lcée Pierre-Gilles de Gennes