T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique.

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1 T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique. Exercice : D après le concours d inspecteur du trésor, épreuve 2, Étudier la fonction de la variable réelle x définie par : f(x) = ln x x 2. Montrer qu il y a un unique couple (x, y) d entiers naturels non nuls tels que : x y = y x et x < y. 3. Pour tout entier n 3, on pose : U n = ln ln ln n n a. Comparer U n à n+ 3 f(x)dx. b. En déduire la limite de la suite (U n ) n 3 lorsque n tend vers l infini. Exercice 2 : D après le concours d inspecteur des douanes et droits directs, On considère la suite (u n ), avec n entier naturel, définie par : u n+ = 4u n et u 0 = 2. De plus, on pose S n = u k. Soit la suite (v n ) définie par v n = u n (/3). k=0. Déterminer la nature de la suite (v n ) et donner sa raison. 2. Exprimer v n, puis u n en fonction de n. 3. Utiliser le résultat précédent pour exprimer S n en fonction de n.. Exercice 3 : D après le concours d inspecteur de la concurrence, de la consommation et de la répression des fraudes des 0 et avril On considère la suite (u n ) définie par son premier terme u 0 et par la relation de récurrence u n+ = 5 + u n 3.. Quelle condition u n doit-il vérifier pour que u n+ existe? 2. Dans cette partie, on a u 0 = (i) Montrer par récurrence que la suite (u n ) est minorée par. (iii) Montrer par récurrence que la suite (u n ) est décroissante. Montrer que la suite (u n ) est convergente et préciser sa limite. 3. Dans cette partie, on a u 0 est compris entre -5 et exclu.

2 (i) Montrer par récurrence que la suite (u n ) est majorée par. On admet que la suite (u n ) est croissante. Montrer que la suite (u n ) est convergente et préciser sa limite. 4. Comment qualifie-t-on cette suite si u 0 =? Justifier. Exercice 4 : D après le concours d inspecteur de la concurrence, de la consommation et de la répression des fraudes des 20 et 2 février Soit a et b deux réels non nuls tels que a + b 0. On pose u = a + b et, pour n, u n+ = a + b ab u n. On suppose a = b. (i) Calculer u, u 2, u 3 en fonction de a. En déduire la forme générale de u n en fonction de n. (iii) Quelle est la limite de la suite (u n )? 2. On suppose a b. (i) Montrer par récurrence que, pour n, on a : u n = an+ b n+ a n b n Si a < b, écrire u n en fonction de a et de n. En déduire la limite de la b suite (u n ). (iii) Procéder de même si a > b. Exercice 5 : D après le concours d inspecteur des impôts, épreuve Soit P 0 un triangle équilatéral de côté l = l 0. On divise chaque côté en trois segments de même longueur l. On construit sur chaque segment médian un triangle équilatéral de côté l. On obtient le polygone P : 2

3 On itère indéfiniment ce processus de construction et on note P n le polygone obtenu après la n ième application du procédé de construction. On note c n le nombre de côtés de P n, l n la longueur de ses côtés, p n son périmètre et A n son aire.. Calculer c n, l n et A n pour n = 0,, Démontrer que c n+ et c n sont liés par une relation de récurrence, puis en déduire c n en fonction de n pour tout n N. 3. Démontrer que l n+ et l n sont liés par une relation de récurrence, puis en déduire l n en fonction de n et l pour tout n N. 4. Calculer p n en fonction de n et l, puis déterminer lim n + p n. 5. On pose u n = A n+ A n pour tout n N. a. Calculer u 0 = A A 0 et u = A 2 A. b. Démontrer que (u n ) n N est une suite géométrique de raison 4, puis calculer u n en fonction de n et l pour tout n N 9. c. En déduire A n en fonction de n et l pour tout n N. 6. Démontrer que, quel que soit n N, il existe une infinité de polygones de périmètres plus grands que 0 n et d aires plus petites que. Exercice 6 : D après le concours d inspecteur du trésor public, épreuve Soit a un réel positif donné.. Montrez que l on définit une suite réelle (u n ) en posant u 0 = a et pour tout n N u n+ = 2 u n + u n 2. a. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la suite (u n ) est-elle constante? b. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la suite (u n ) est-elle convergente? Précisez la limite éventuelle. 3

4 Exercice 7 : D après le concours d inspecteur du trésor public, épreuve Une banque propose un placement à un taux d intérêts composés de 6% par an. M. Martin place 5000 euros. Calculez la somme dont il disposera dans cinq ans. 2. M. Bernard se voit proposer un placement «dit à intérêts cumulés» qui lui rapporterait 34% sur cinq ans. Indiquez en le justifiant si le placement de M. Bernard est plus intéressant que celui de M. Martin. 3. Déterminez le pourcentage moyen annuel du placement proposé à M. Bernard. 4. Calculez à quel taux d intérêts composés aurait dû être placé le capital de M. Bernard pour doubler au bout de cinq ans. Exercice 8 : Attaché statisticien ENSAI, Dans tout [cet exercice], a est un réel strictement positif fixé. Pour tout x R, on pose f a (x) = a( + a2 ) + x 2. Donner le tableau des variations de f a et tracer sa courbe représentative. 2. a. Résoudre dans R, l équation f a (x) = x. a. Résoudre dans R, l équation f a (x) = a. 3. Dans cette question, on prend a =. a. Calculer f f (x). b. Montrer que l équation f f (x) = x équivaut à une équation de la forme P (x) = 0 où P est un polynôme de degré 5 que l on calculera. c. Vérifier que est racine multiple de l équation P (x) = 0. Quel est son ordre de multiplicité? d. Résoudre dans R, l équation f f (x) = x. Dans toute la suite, on considère une suite récurrente (u n ) n 0 définie par u 0 donné et u n+ = f a (u n ) pour tout n N. On posera enfin pour tout n N, v n = u 2n et w n = u 2n+. 4. a. Montrer que les deux suites (v n ) et (w n ) sont monotones et que l une de ces deux suites est croissante et l autre est décroissante. b. Montrer que tous les termes de l une de ces deux suites sont supérieurs ou égaux à a et que tous les termes de l autre suite sont inférieurs ou égaux à a. c. Montrer que les deux suites (v n ) et (w n ) sont convergentes. 5. Dans cette question, on prend a =. a. Montrer que les deux suites (v n ) et (w n ) convergent vers une même limite que l on précisera. (On pourra utiliser les questions 3. et 4.) 4

5 b. Que peut-on en déduire pour la suite (u n )? 6. Dans cette question, on suppose que a >. a. Calculer f a(a). b. En déduire qu il existe δ > 0 tel que : x [a δ; a + δ], f a(x). c. On suppose, dans cette de la question, que la suite (u n ) converge. Montrer qu il existe n 0 N tel que n n 0, u n [a δ; a + δ] et u n a u n0 a. d. En déduire que la suite (u n ) converge vers a si et seulement si u 0 = a. 7. On suppose maintenant que 0 < a <. a. Calculer f a f a (x). b. Montrer que l équation f a f a (x) = x équivaut à une équation de la forme P a (x) = 0 où P a est un polynôme de degré 5 que l on calculera. c. Montrer qu il existe un polynôme Q a de degré 4 tel que P a (x) = (x a)q a (x). d. Étudier les variations de Q a (x) pour x a et montrer que l équation f a f a (x) = x possède une seule racine réelle supérieure ou égale à a. e. Montrer, en utilisant les résultats de la question 4., que la suite (u n ) converge vers a. Exercice 9 : Soient S l ensemble des suites réelles (u n ) n N vérifiant la relation : n N, u n+3 = 2u n+2 + u n+ 2u n, et (w n ) n N la suite élément de S telle que w 0 = 0, w =, w 2 = 2.. Déterminer les racines α, β et γ de l équation x 3 2x 2 x + 2 = (i) Montrer que S est un espace vectoriel, puis que les suites (α n ) n N, (β n ) n N et (γ n ) n N forment une famille libre de S. Soit f l application qui à tout élément u de S associe f(u) = (u 0, u, u 2 ). Montrer que f est un isomorphisme de S dans R 3. (iii) En déduire dims, puis une base de S. 3. En déduire, pour tout n N, l expression de w n en fonction de n. 5

6 Exercice 0 : Calcul de limites.. Après avoir déterminé un équivalent, calculer la limite de la suite ( ) 6n 3 + 3n 2 + 4n + 2n 3 5n Déterminer la limite de la suite ( n + n ) n N n N ( ) x n 3. Soit x R. Montrer que la suite converge et déterminer sa limite. n! 4. Soient a et b deux réels strictement positifs. Déterminer ( lim + a bn n + n) 5. Soit α R et x ]0, [. Montrer que lim n + nα x n = Soient a et b deux réels positifs tels que a > b. Déterminer la limite de la suite (u n ) n N définie par : n N, u n = an+ + b n+ a n + b n 7. Soient a et b deux réels non nuls. Déterminer la limite de la suite (u n ) dont le terme général est défini par : u n = ln ( cos ( )) a n ln ( cos ( )) b n 8. (i) Démontrer que :. x R +, x x2 2 ln( + x) x. En déduire lim n n + k= ( + kn 2 ) Exercice : Suites définies par la relation u n+ = f(u n ). Exemples. Étudier les suites (t n ) n N, (u n ) n N, (v n ) n N, (w n ) n N définies par :. t 0 R et : n N, t n+ = t 3 n + 3t n 3, 2. u 0 [ π 2 ; π 2 ] et : n N, un+ = sin(u n ), 6

7 3. v 0 R et : n N, v n+ = v n v 2 n, 4. v 0 R et : n N, w n+ = w 2 n 2w n + 2. Exercice 2 : Équivalent de S n =. Montrer, à l aide de l inégalité des accroissements finis que : x R, 2. En déduire un équivalent de S n = k= k x + ln(x + ) ln(x) x k= k Exercice 3 : Suites définies par la relation u n = f(n). Suites adjacentes.. Soient (u n ) n N et (v n ) n N les suites définies par : et n N, u n = n N, v n = k= k= k ln n ln(n + ). k (i) Montrer, à l aide de l inégalité des accroissements finis que : k N, k + ln(k + ) ln(k) k Étudier le sens de variation des suites (u n ) et (v n ) et montrer qu elles sont adjacentes. En déduire qu elles convergent vers la même limite. 2. Soit a un entier naturel et f une fonction continue, positive et décroissante sur [a, + [ telle que lim x + f(x) = 0. Soient alors (u n ) n a et (v n ) n a les suites définies par : n n [a, + [, u n = f(k) f(t)dt et n [a, + [, v n = k=a f(k) k=a a n+ a f(t)dt. (i) Montrer à l aide de l inégalité des accroissements finis que : k [a, + [, f(k + ) 7 k+ k f(t)dt f(k).

8 Étudier le sens de variation des suites (u n ) et (v n ) et montrer qu elles sont adjacentes. En déduire qu elles convergent vers la même limite. Exercice 4 : Suites définies comme solution d une équation. Pour tout n N, on définit la fonction f n sur R + par x R +, f n (x) = k=0 x k k! e.. Montrer que pour tout n N, f n est strictement croissante sur R +. En déduire qu il existe une unique suite (x n ) n N définie par : f n (x n ) = En considérant pour tout n N, f n+ (x n ) déterminer le sens de variation de (x n ) n N. 3. En déduire que la suite (x n ) n N converge. 8

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