(estimées de Berry-Esseen).

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1 ANALYSE HARMONIQUE SUR DES GROUPES COMPACTS P-L MÉLIOT Si X est une variable aléatoire réelle, de nombreuses informations peuvent être extraites de sa transformée de Fourier φ X (ξ = E[e iξx ], et des moments E[X k ] de X, qui sont les coefficients du développement en série de φ X : En effet : φ X (ξ = k=0 E[X k ] (iξk k! ( Si φ Xn (ξ φ X (ξ, alors la suite de variables aléatoires (X n n N converge en loi vers la variable aléatoire X : s R, P[X n s] n P[X s] (2 On peut mesurer cette convergence à l aide de la distance de Kolmogorov : d Kol (X n, X = sup P[X n s] P[X s] s R (Feller π T T ξ φ X n (ξ φ X (ξ dξ + 24m πt, où m = sup s R dp X (s ds Exemple (Théorème central limite Si (A n n N est une suite de variables iid avec E[A n ] = 0 et E[(A n 2 ] = σ 2, alors A + A A n σ n De plus, si E[ A n 3 ] = ρ <, alors d Kol (X n, X 3ρ σ 3 n = X n loi X = N (0, (estimées de Berry-Esseen Objectif Développer des outils semblables à la transformée de Fourier et aux moments pour des matrices aléatoires à valeurs dans des groupes compacts, eg U(N, SU(N, SO(N, USp(N, etc On va présenter cette théorie, avec en vue les deux résultats suivants : ( Diaconis-Shahshahani (994 Si M Haar(U(N, alors les variables aléatoires tr M, 2 tr M 2, 3 tr M 3, convergent des gaussiennes complexes standards indépendantes (2 Méliot (203 Si (M t t R+ est un mouvement brownien sur U(N, alors { o( si t = 2( ε log N, d TV (M t, Haar = o( si t = 2( + ε log N

2 2 P-L MÉLIOT TRANSFORMÉE DE FOURIER NON COMMUTATIVE SUR LES GROUPES COMPACTS Lorsqu on étudie des variables aléatoires réelles, on dispose de la transformée de Fourier L 2 (R, dx L 2 (R, dx f f (ξ = R f (x e ixξ dx et de la formule d inversion de Parseval f (x = f (ξ e ixξ dξ, 2π R et on les utilise le plus souvent avec f densité d une variable aléatoire Si f est maintenant une fonction sur un groupe compact G, l analogue de cette théorie est fournie par le théorème de Peter-Weyl Soit G un groupe compact Une représentation (linéaire, complexe de G est donnée par une paire (V, ρ, où V est un espace linéaire complexe de dimension finie, et ρ : G GL(V est un morphisme de groupes continu On peut alors faire agir G sur V par : g v = ρ(g(v La représentation (ρ, V est dite irréductible s il n existe pas de sous-espace de V nontrivial et stable par G D autre part, on peut toujours trouver un produit scalaire sur V qui est invariant par G, et donc tel que le morphisme ρ prenne ses valeurs dans le groupe unitaire U(V pour cette structure Dans ce qui suit, désigne l adjonction sur End(V liée à cette structure Théorème (Peter-Weyl Soit dg la mesure de Haar sur G, et Ĝ l ensemble des classes d isomorphisme de représentations irréductibles de G On note une classe = (V, ρ, et d = dim C V L algèbre End(V est munie du produit scalaire M N = d tr(m N ( L application L 2 (G, dg End(V Ĝ f f (, avec f ( = Ĝ G f (g ρ (g dg est un isomorphisme d algèbres ; une isométrie d espaces de Hilbert ; et un morphisme de (G, G-bimodules Ici, L 2 (G est muni du produit de convolution et de sa structure usuelle d espace hilbertien f f 2 = f (g f 2 (g dg (2 On a la formule d inversion : f (g = d tr( f ( ρ (g Ĝ G Conséquence Pour les fonctions sur G, le rôle de la transformée de Fourier est joué par la famille de matrices ( f ( Ĝ Un cas particulier est celui des fonctions f invariantes sur les classes de conjugaison de G (penser : la densité d une mesure qui ne dépend que des valeurs propres de la

3 ANALYSE HARMONIQUE SUR DES GROUPES COMPACTS 3 matrice aléatoire Notons ch ( = tr ρ ( le caractère de la représentation irréductible = (V, ρ Proposition 2 Une fonction f appartient à L 2 (G, dg G si et seulement si c est une combinaison linéaire des caractères irréductibles Alors, f (g = ch f ch (g Ĝ Dans ce cadre, si f est la densité d un modèle de matrices aléatoires X à valeurs dans G et invariant par conjugaison, alors les moments de X vont être remplacés par les coefficients f ch [ ] = E ch (X Cas particulier Si f = et si X suit la mesure de Haar, alors E[ch (X] = 0 à moins que soit la représentation triviale de dimension 2 CARACTÈRES DES GROUPES UNITAIRES ET FONCTIONS DE SCHUR Supposons que G = U(N soit le groupe unitaire d ordre N Une fonction M f (M sur G est invariante sur les classes de conjugaison de G si et seulement si elle ne dépend que des valeurs propres x = e iθ,, x N = e iθ N de M Alors, son espérance sous la mesure de Haar se réécrit sous la forme E Haar [ f (M] = f (g dg G = (Weyl (2π N N! [0,2π] N f (eiθ,, e iθ N i<j N e iθ i e iθ j 2 dθ dθ N La théorie de Cartan-Weyl (systèmes de racines, réseaux des poids permet d identifier les représentations irréductibles de U(N Appelons poids dominant de U(N une suite décroissante d entiers = ( 2 N Théorème 3 L ensemble des classes d isomorphisme de représentations irréductibles de U(N est en bijection avec l ensemble des poids dominants Si est une tel poids, alors d = i<j N i j + j i, j i et le caractère irréductible associé est donné par la fonction de Schur de type : ch (M = s (z,, z N = det(z j+n j i i,j N det(z N j i i,j N En particulier, si et ρ sont deux poids dominants, alors δ,ρ = ch ch ρ U(N = s (e iθ,, e iθ N sρ (e iθ,, e iθ N (eiθ,, e iθn 2 dθ [0,2π] N (2π N N! Conséquence Les fonctions de Schur et leurs espérances jouent le rôle des moments pour un modèle de matrice aléatoire invariant par conjugaison sur U(N

4 4 P-L MÉLIOT Remarque Un cas particulier est celui où le poids ne contient que des entiers positifs ; on parle alors de partition de longueur plus petite que N, et la taille de la partition est = N Dans ce cas, s (x,, x N est un polynôme homogène de degré et symétrique en les variables x,, x N : σ S(N, s (x σ(,, x σ(n = s (x,, x N N importe quel polynôme symétrique homogène de degré n en les variables x,, x N se décompose en une combinaison linéaire de fonctions de Schur s avec = n 3 NORMALITÉ ASYMPTOTIQUE DES TRACES DES PUISSANCES Soit M une matrice aléatoire suivant la mesure de Haar sur U(N On s intéresse aux variables aléatoires complexes X k = tr M k En termes des valeurs propres, tr M k = N i= (e iθ i k = p k (e iθ,, e iθ N, où p k (x,, x N = N i= (x i k est la k-ième somme de puissances On note aussi p µ (X = p µ (Xp µ2 (X p µl (X, µ partition Théorème 4 (Diaconis-Shahshahani Soit M Haar(U(N Lorsque N tend vers l infini, le vecteur aléatoire ( tr M, 2 tr M 2, tr M 3, 3 converge en loi vers un vecteur de gaussiennes complexes indépendantes standards N C (0, = N R (0, 2 + in R(0, 2 [ On rappelle que les moments d une gaussienne complexe sont E X m X m ] = δ m,m m! Par conséquent, le théorème est équivalent à la convergence des moments : [( ( ] s s s lim E (X i i m (X i m i = δ mi,m N im i m i i! i= i= Si µ est une partition de taille n avec m parts de taille, m 2 parts de taille 2, etc, on note z µ = i= s im i m i! C est aussi la taille du centralisateur d une permutation de type cyclique µ dans S(n On note aussi X µ = i= s (tr Mi m i On va montrer que pour N assez grand, on a en fait ] E U(N [X µ X µ = δ µ,µ z µ On peut supposer µ = µ = n, car sinon l espérance vaut 0 par invariance de la mesure par action du cercle Comme p µ Sym, on peut la décomposer sur la base des fonctions de Schur : p µ = = µ c µ s Alors, ] E U(N [X µ X µ = p µ pµ i= U(N = c µ c µ car les fonctions de Schur sont orthonormales par rapport à U(N, si N n Pour calculer c µ, on utilise :

5 ANALYSE HARMONIQUE SUR DES GROUPES COMPACTS 5 Théorème 5 (Schur-Weyl Le commutant de l action de U(N sur (C N n est l algèbre CS(n engendrée par le groupe symétrique (elle agit par permutation des tenseurs On a la décomposition comme (U(N, S(n-bimodule (C N n = U(N (V C (S S(n, où V est la représentation irréductible de U(N de caractère s, et (S est une collection complète de représentations irréductibles de S(n Considérons alors l action de la paire (diag(x,, x N, σ µ, où les x i sont des nombres complexes de module, et où σ µ S(n est de type cyclique µ La trace de l action de cet opérateur sur (C N n est p µ (x,, x N, donc si N n, alors p µ (x,, x N = et c µ = ch S (σ µ On doit donc calculer s (x,, x N ch S (σ µ = µ ch S (σ µ ch S (σ µ = ch S (σµ ch S (σ µ Or, on a aussi par le théorème de Peter-Weyl CS(n = L 2 (S(n = S(N (S C (S S(n, donc la quantité ci-dessus est la bitrace de l action par multiplication de (σµ, σ µ sur CS(n C est donc le nombre de permutations τ telles que σµ τσ µ = τ, c est-à-dire z µ si µ = µ, et 0 sinon 4 MOUVEMENT BROWNIEN SUR U(N Le mouvement brownien sur U(N est l unique processus markovien (M t t R+ issu de M 0 = I N, et de générateur infinitésimal 2, où est l opérateur de Laplace-Beltrami associé au produit scalaire X Y = N tr(xy sur l algèbre de Lie u(n Les densités p t des matrices aléatoires M t par rapport à la mesure de Haar sont donc les solutions de l équation aux dérivées partielles dp t = dt 2 p t, et elles sont invariantes par conjugaison L opérateur agit diagonalement sur les fonctions de Schur s, donc, p t (M = d e c t 2 s (x,, x N, où c est la valeur propre de agissant sur s, et est donnée par la formule c = N ( N i=( i 2 + (N + 2i i

6 6 P-L MÉLIOT On souhaite mesurer la distance en variation totale d TV (M t, Haar = 2 p t L (SU(N,Haar 2 p t L 2 (SU(N,Haar ( 2 p t L (SU(N,Haar 2 s p t 2 = = (d 2 e c t s p t 2 où le indique que l on retire le poids trivial = (0,, 0 de la somme Notons que d croît avec les parts de, mais cette croissance est compensée par la décroissance de e c t Théorème 6 (Méliot Pour t = 2 log N, (d 2 e c t est uniformément borné (indépendamment de N et de Pour t = 2( + ε log N, la somme (d 2 e c t est un o( On peut montrer que réciproquement, pour t = 2( ε log N, la distance en variation totale reste proche de ; on a donc un phénomène de coupure d TV (µ t, Haar 0 α log n t Le résultat se généralise à n importe quel mouvement brownien tracé sur un groupe de Lie compact G, ou sur un espace symétrique G/K (sphères, espaces projectifs, grassmaniennes, etc