Partie 2 : preuve de stabilité
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- Agnès Raymond
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1 p. 1/29 Théorie de Lyapunov pour les Σ autonomes Partie 2 : preuve de stabilité Vincent MAHOUT
2 p. 2/29 1er méthode de Lyapunov : principe Cette première méthode est similaire à l étude classique pour la méthode dite du plan de phase. On cherche à qualifier la stabilité d un point d équilibre d un système non linéaire à travers les propriétés du système linéarisé autour de ce point d équilibre.
3 p. 2/29 1er méthode de Lyapunov : principe Cette première méthode est similaire à l étude classique pour la méthode dite du plan de phase. On cherche à qualifier la stabilité d un point d équilibre d un système non linéaire à travers les propriétés du système linéarisé autour de ce point d équilibre. Le système Ẋ = f(x) possède un développement limité au voisinage d un point d équilibre x qui s écrit : ( ) f Ẋ = X +f TDS (X) x X=X où f TDS regroupe l ensemble des termes de degré > 1.
4 1er méthode de Lyapunov : principe Cette première méthode est similaire à l étude classique pour la méthode dite du plan de phase. On cherche à qualifier la stabilité d un point d équilibre d un système non linéaire à travers les propriétés du système linéarisé autour de ce point d équilibre. Le système Ẋ = f(x) possède un développement limité au voisinage d un point d équilibre x qui s écrit : ( ) f Ẋ = X +f TDS (X) x X=X où f TDS regroupe l ensemble des termes de degré > 1. On en déduit le système linéarisé autour du point d équilibre : Ẋ = A X vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 2/29
5 p. 3/29 1er méthode de Lyapunov : le théorème Théorème 2.1 Si le système linéarisé autour du point d équilibre X est strictement stable (c est à dire que tous ses pôles sont dans le 1 plan complexe gauche) alors le point 2 d équilibre X du système non linéaire est stable asymptotiquement.
6 p. 3/29 1er méthode de Lyapunov : le théorème Théorème 2.1 Si le système linéarisé autour du point d équilibre X est strictement stable (c est à dire que tous ses pôles sont dans le 1 plan complexe gauche) alors le point 2 d équilibre X du système non linéaire est stable asymptotiquement. Si le système linéarisé est instable (c est à dire qu un au moins de ses pôles est dans le 1 plan complexe droit) alors le 2 point d équilibre X du système non linéaire est instable.
7 p. 3/29 1er méthode de Lyapunov : le théorème Théorème 2.1 Si le système linéarisé autour du point d équilibre X est strictement stable (c est à dire que tous ses pôles sont dans le 1 plan complexe gauche) alors le point 2 d équilibre X du système non linéaire est stable asymptotiquement. Si le système linéarisé est instable (c est à dire qu un au moins de ses pôles est dans le 1 plan complexe droit) alors le 2 point d équilibre X du système non linéaire est instable. Si le système linéarisé autour du point d équilibre X est marginalement stable (c est à dire que tous ses pôles sont dans les 1 plan complexe gauche mais une paire au moins 2 appartient à l axe imaginaire) alors on ne peut pas conclure. La stabilité du point d équilibre X du système non linéaire dépend des termes négligés par la linéarisation.
8 p. 4/29 1er méthode de Lyapunov : remarques Cette méthode permet dans la plupart des cas de conclure à la stabilité locale d un point d équilibre.
9 p. 4/29 1er méthode de Lyapunov : remarques Cette méthode permet dans la plupart des cas de conclure à la stabilité locale d un point d équilibre. Dans la cas où la système linéaire exhibe un centre, on ne sait pas conclure car dans ce cas les termes non linéaires deviennent prédominants (ils ont été négligés en oubliant f TDS ).
10 p. 4/29 1er méthode de Lyapunov : remarques Cette méthode permet dans la plupart des cas de conclure à la stabilité locale d un point d équilibre. Dans la cas où la système linéaire exhibe un centre, on ne sait pas conclure car dans ce cas les termes non linéaires deviennent prédominants (ils ont été négligés en oubliant f TDS ). La principale limitation de cette méthode vient du fait qu en cas de stabilité on a aucune idée sur la taille et la nature du bassin d attraction de ce point.
11 p. 5/29 1er méthode de Lyapunov : exemples Exemple simple de dimension 1: ẋ = ax+bx 5 Le signe de a donne la nature de la stabilité Si a est nul, il n est pas possible de conclure.
12 p. 5/29 1er méthode de Lyapunov : exemples Exemple simple de dimension 1: ẋ = ax+bx 5 Le signe de a donne la nature de la stabilité Si a est nul, il n est pas possible de conclure. Exemple du pendule pour la famille d équilibre (π[2π],0) [ ] 0 1 La Jacobienne s écrit A = Les racines sont λ i = 1 2 g b L ML 2 ( b ML 2 ± b 2 M 2 L 4 + 4g L )
13 p. 5/29 1er méthode de Lyapunov : exemples Exemple simple de dimension 1: ẋ = ax+bx 5 Le signe de a donne la nature de la stabilité Si a est nul, il n est pas possible de conclure. Exemple du pendule pour la famille d équilibre (π[2π],0) [ ] 0 1 La Jacobienne s écrit A = Les racines sont λ i = 1 2 Comme g b L ML 2 ( b ML 2 ± b 2 M 2 L 4 + 4g L b 2 + 4g > b M 2 R 4 L M L2, une racine est positive Le système linéaire est instable. La famille de points d équilibre (π[2π],0) du système non linéaire est donc instable. )
14 p. 6/29 Méthode directe : idée directrice Idée de base : s appuyer sur les principes de la dissipation d énergie. Si pour un Σ mécanique ou électrique, l énergie se dissipe continûment alors le Σ va s arrêter. La notion de stabilité peut alors être étudiée à travers les variations d une fonction scalaire
15 p. 6/29 Méthode directe : idée directrice Idée de base : s appuyer sur les principes de la dissipation d énergie. Si pour un Σ mécanique ou électrique, l énergie se dissipe continûment alors le Σ va s arrêter. La notion de stabilité peut alors être étudiée à travers les variations d une fonction scalaire Exemple : Σ masse-ressort-amortisseur Ressort (k,k ) 0 1 Masse m x Amortisseur (b) mẍ+bẋ ẋ +k 0 x+k 1 x 3 = 0
16 p. 7/29 Méthode directe : exemple du ressort Le système avec x 1 = x et x 2 = ẋ s écrit: { ẋ1 = x 2 ẋ 2 = b M x 2 x 2 k 0 M x 1 k 1 M x3 1
17 p. 7/29 Méthode directe : exemple du ressort Le système avec x 1 = x et x 2 = ẋ s écrit: { ẋ1 = x 2 ẋ 2 = b M x 2 x 2 k 0 M x 1 k 1 M x3 1 Approche première méthode PE : (0,0) et J (0,0) = [ 0 1 k 0 M 0 Le système linéaire est dans le cas critique! Sans frottement on invente le mouvement perpétuel! ]
18 p. 7/29 Méthode directe : exemple du ressort Le système avec x 1 = x et x 2 = ẋ s écrit: { ẋ1 = x 2 ẋ 2 = b M x 2 x 2 k 0 M x 1 k 1 M x3 1 Approche première méthode PE : (0,0) et J (0,0) = [ 0 1 k 0 M 0 Le système linéaire est dans le cas critique! Sans frottement on invente le mouvement perpétuel! Énergies mises en œuvre : ] { Ec (t) = 1 2 Mv2 = 1 2 Mx2 2 E p (t) = x 1 (k 0 0 α+k 1 α 3 )dα = 1k 2 0x k 4 1x 4 1
19 p. 8/29 Méthode directe : exemple du ressort Pour ce système, l énergie totale (cinétique + potentielle) s écrit : E T (t) = E c (t)+e p (t) = 1 2 mẋ k 0x k 1x 4
20 Méthode directe : exemple du ressort Pour ce système, l énergie totale (cinétique + potentielle) s écrit : E T (t) = E c (t)+e p (t) = 1 2 mẋ k 0x k 1x 4 Cette fonction donne la représentation 3D suivante : V vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 8/29
21 p. 9/29 Méthode directe : exemple du ressort (2) De la fonction E T (t), on peut faire les remarques suivantes : Elle est monotone décroissante.
22 p. 9/29 Méthode directe : exemple du ressort (2) De la fonction E T (t), on peut faire les remarques suivantes : Elle est monotone décroissante. Elle s annule uniquement à l origine.
23 p. 9/29 Méthode directe : exemple du ressort (2) De la fonction E T (t), on peut faire les remarques suivantes : Elle est monotone décroissante. Elle s annule uniquement à l origine. L énergie nulle correspond à l origine, point d équilibre du système.
24 p. 9/29 Méthode directe : exemple du ressort (2) De la fonction E T (t), on peut faire les remarques suivantes : Elle est monotone décroissante. Elle s annule uniquement à l origine. L énergie nulle correspond à l origine, point d équilibre du système. La stabilité asymptotique implique d avoir la convergence de l énergie vers 0.
25 p. 9/29 Méthode directe : exemple du ressort (2) De la fonction E T (t), on peut faire les remarques suivantes : Elle est monotone décroissante. Elle s annule uniquement à l origine. L énergie nulle correspond à l origine, point d équilibre du système. La stabilité asymptotique implique d avoir la convergence de l énergie vers 0. A l inverse l instabilité de l origine se traduirait par une augmentation de l énergie. On peut en déduite, que l étude de cette fonction énergie permet de prévoir que l origine est une point d équilibre stable.
26 p. 10/29 Méthode directe : exemple du ressort (3) Étude de la variation de la fonction ĖT(t) = de T dt Ė T = E T x dx dt = E T f(x) x = E T x 1 ẋ 1 + E T x 2 ẋ 2 = (k 0 x 1 +k 1 x 3 1)x 2 +(Mx 2 ) ( b M x 2 x 2 k 0 M x 1 k 1 M x3 1 = bx 2 2 x 2 = b ẋ )
27 Méthode directe : exemple du ressort (3) Étude de la variation de la fonction ĖT(t) = de T dt Ė T = E T x dx dt = E T f(x) x = E T x 1 ẋ 1 + E T x 2 ẋ 2 = (k 0 x 1 +k 1 x 3 1)x 2 +(Mx 2 ) ( b M x 2 x 2 k 0 M x 1 k 1 M x3 1 = bx 2 2 x 2 = b ẋ L énergie est une fonction décroissante lorsque le système évolue. Ce système mécanique va donc avoir une évolution qui va l amener à une vitesse nulle. La méthode directe est une généralisation de ce concept avec des fonctions scalaire V(x) non obligatoirement énergétique. vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 10/29 )
28 p. 11/29 Les fonctions scalaires signées La méthode fait appel au signe d une fonction scalaire. Définition 2.1 Une fonction scalaire V(x) est dite localement définie positive si V(0) = 0 Il existe un voisinage Ω de l origine tq x Ω, V(x) > 0 Si Ω = R alors V(x) est dite globalement définie positive.
29 p. 11/29 Les fonctions scalaires signées La méthode fait appel au signe d une fonction scalaire. Définition 2.1 Une fonction scalaire V(x) est dite localement définie positive si V(0) = 0 Il existe un voisinage Ω de l origine tq x Ω, V(x) > 0 Si Ω = R alors V(x) est dite globalement définie positive. Définition 2.2 Une fonction scalaire V(x) est dite localement semi définie positive si V(0) = 0 Il existe un voisinage Ω de l origine tq x Ω, V(x) 0. Si Ω = R alors V(x) est dite globalement semi définie positive.
30 p. 12/29 Fonctions signées (2) Définition 2.3 Une fonction scalaire V(x) est dite localement (resp. globalement) définie négative si V(x) est localement (resp. globalement) définie positive. De même, une fonction scalaire V(x) est dite localement (resp. globalement) semi définie négative si V(x) est localement (resp. globalement) semi définie positive Fonction Définie Positive Fonction Semi Définie Positive
31 Fonction de Lypaunov pour un Σ dynamique p. 13/29 Définition 2.4 Si dans un domaine Ω (par exemple une boule Br de rayon r) la fonction V(x) est définie positive possède des dérivées partielles continues, possède une dérivée par rapport au temps t le long de n importe quelle trajectoire du système qui est semi définie négative ( V(x) 0) alors V(x) est une fonction de Lyapunov pour le système.
32 Fonction de Lypaunov pour un Σ dynamique p. 13/29 Définition 2.4 Si dans un domaine Ω (par exemple une boule Br de rayon r) la fonction V(x) est définie positive possède des dérivées partielles continues, possède une dérivée par rapport au temps t le long de n importe quelle trajectoire du système qui est semi définie négative ( V(x) 0) alors V(x) est une fonction de Lyapunov pour le système. Cette définition fait intervenir les équations du système : V(x) = dv dt = V x dx dt = V x f(x)
33 p. 14/29 Interprétation Géométrique Soit V i les courbes de niveau de la fonction scalaire définie positive V(x) c.a.d V(x) = V i = cste x Ω,i = 1,2,... et V 1 < V 2 < V 3 <... V(x) est une fonction de Lyapunov pour le système dynamique si pour toutes les trajectoires du systèmes, la trajectoire de phase décrit une succession décroissante des courbes de niveau V 1 V 2 V 3 V x(t)
34 p. 15/29 Stabilité par la méthode directe La définition de la notion de fonction de Lyapunov se décline en théorème pour la stabilité d un point d équilibre : Théorème 2.2 (2de méthode de Lyapunov : stabilité locale) Si dans un voisinage Ω de l origine (par exemple une boule Br de rayon r) il existe une fonction scalaire V(x) avec des dérivées partielles continues et telle que : V(x) est une fonction définie positive localement dans Ω, V(x) est semi définie négative localement dans Ω, alors l origine est un point d équilibre localement stable pour le système. Si de plus V(x) est définie négative localement dans Ω alors la stabilité est asymptotique.
35 p. 16/29 Quid de la stabilité globale La stabilité globale peut paraître l idéal : où qu il soit, le système va converger vers le point d équilibre
36 p. 16/29 Quid de la stabilité globale La stabilité globale peut paraître l idéal : où qu il soit, le système va converger vers le point d équilibre Elle est souvent pourtant illusoire :
37 p. 16/29 Quid de la stabilité globale La stabilité globale peut paraître l idéal : où qu il soit, le système va converger vers le point d équilibre Elle est souvent pourtant illusoire : Il peut exister d autres attracteurs, la stabilité globale n existe pas
38 p. 16/29 Quid de la stabilité globale La stabilité globale peut paraître l idéal : où qu il soit, le système va converger vers le point d équilibre Elle est souvent pourtant illusoire : Il peut exister d autres attracteurs, la stabilité globale n existe pas C est une contrainte inutile car un système physique évolue toujours dans un domaine (atteignable) borné.
39 p. 16/29 Quid de la stabilité globale La stabilité globale peut paraître l idéal : où qu il soit, le système va converger vers le point d équilibre Elle est souvent pourtant illusoire : Il peut exister d autres attracteurs, la stabilité globale n existe pas C est une contrainte inutile car un système physique évolue toujours dans un domaine (atteignable) borné. Dans le théorème précédent, il ne suffit pas de considérer que Ω = R n il faut de plus vérifier V(x) quand x
40 p. 17/29 Considérons V(x) = 10.x2 1 1+x 2 1 +x 2 2 Interprétation Géométrique Cette fonction définie positive a le profil suivant :
41 p. 18/29 Interprétation Géométrique Il est alors possible, pour un système donné, que la trajectoire décrive des courbes de niveau décroissantes de V(x) mais la convergence vers l origine n est pas pour autant assurée
42 p. 19/29 Remarques sur les fonctions de Lyapunov La difficulté majeure de la méthode : trouver une F.L. V(x) qui va bien.
43 Remarques sur les fonctions de Lyapunov p. 19/29 La difficulté majeure de la méthode : trouver une F.L. V(x) qui va bien. Il n existe pas de moyen systématique pour en trouver une.
44 Remarques sur les fonctions de Lyapunov p. 19/29 La difficulté majeure de la méthode : trouver une F.L. V(x) qui va bien. Il n existe pas de moyen systématique pour en trouver une. Ne pas la trouver ne veut pas dire qu elle n existe pas!
45 Remarques sur les fonctions de Lyapunov p. 19/29 La difficulté majeure de la méthode : trouver une F.L. V(x) qui va bien. Il n existe pas de moyen systématique pour en trouver une. Ne pas la trouver ne veut pas dire qu elle n existe pas! Si le PE est stable pour le système alors une F.L. existe (théorème converse)
46 Remarques sur les fonctions de Lyapunov p. 19/29 La difficulté majeure de la méthode : trouver une F.L. V(x) qui va bien. Il n existe pas de moyen systématique pour en trouver une. Ne pas la trouver ne veut pas dire qu elle n existe pas! Si le PE est stable pour le système alors une F.L. existe (théorème converse) Si le PE est instable pour le système alors le(s) théorème(s) sur l instabilité (grossièrement V(x) et V(x) de même signe) s applique(nt).
47 Remarques sur les fonctions de Lyapunov p. 19/29 La difficulté majeure de la méthode : trouver une F.L. V(x) qui va bien. Il n existe pas de moyen systématique pour en trouver une. Ne pas la trouver ne veut pas dire qu elle n existe pas! Si le PE est stable pour le système alors une F.L. existe (théorème converse) Si le PE est instable pour le système alors le(s) théorème(s) sur l instabilité (grossièrement V(x) et V(x) de même signe) s applique(nt). Si V(x) est F.L. pour le système alors ρv(x) α l est aussi.
48 Remarques sur les fonctions de Lyapunov p. 19/29 La difficulté majeure de la méthode : trouver une F.L. V(x) qui va bien. Il n existe pas de moyen systématique pour en trouver une. Ne pas la trouver ne veut pas dire qu elle n existe pas! Si le PE est stable pour le système alors une F.L. existe (théorème converse) Si le PE est instable pour le système alors le(s) théorème(s) sur l instabilité (grossièrement V(x) et V(x) de même signe) s applique(nt). Si V(x) est F.L. pour le système alors ρv(x) α l est aussi. La stabilité simple V(x) 0 se trouve plus facilement mais généralement ne suffit pas Théorème des ensembles invariants
49 p. 20/29 Théorème des ensembles invariants Son utilisation permet de prouver la stabilité asymptotique avec une fonction scalaire telle que V(x) 0. Avant de voir le théorème et son utilisation, définissons déjà la notion d ensemble invariant. Cette notion est relative à un système dynamique donné.
50 p. 20/29 Théorème des ensembles invariants Son utilisation permet de prouver la stabilité asymptotique avec une fonction scalaire telle que V(x) 0. Avant de voir le théorème et son utilisation, définissons déjà la notion d ensemble invariant. Cette notion est relative à un système dynamique donné. Définition 2.5 (Ensemble invariant) : L ensemble M R n est un ensemble invariant pour le système ẋ = f(x) si pour toute condition initiale x 0 = x(0) M, la trajectoire issue de cette condition initiale x(t) = Φ(t,x O ) reste dans M
51 p. 20/29 Théorème des ensembles invariants Son utilisation permet de prouver la stabilité asymptotique avec une fonction scalaire telle que V(x) 0. Avant de voir le théorème et son utilisation, définissons déjà la notion d ensemble invariant. Cette notion est relative à un système dynamique donné. Définition 2.5 (Ensemble invariant) : L ensemble M R n est un ensemble invariant pour le système ẋ = f(x) si pour toute condition initiale x 0 = x(0) M, la trajectoire issue de cette condition initiale x(t) = Φ(t,x O ) reste dans M L espace entier est un ensemble invariant. Un point d équilibre, un cycle limite, un attracteur chaotique, sont des ensembles invariants "naturels". C est cette propriété qui est exploitée par la suite.
52 p. 21/29 Mon ensemble est-il invariant? Difficile de prouver qu un ensemble M est invariant, il faut : Soit que dm dt = 0 (si M est défini par un égalité χ(x) = 0) Soit que les trajectoires ne peuvent franchir la frontière de M (M est défini par une inégalité χ(x) < 0) Ex. : ensemble M défini par M = {(x,y) / y > 2 x } Ensemble M y Les trajectoires issues de M restent dans M x La frontière définie par y =2/x est infranchissable par le système
53 p. 22/29 Principe d invariance de Lasalle Définition 2.6 Soit un système dynamique non linéaire autonome ẋ = f(x), avec f continue et soit V(x) une fonction scalaire aux dérivées partielles continues. Supposons : pour l > 0 la région Ω l définie par V(x) < l est bornée, V(x) 0 x Ωl Soit R l ensemble des points de Ω l où V(x) = 0 et M l ensemble invariant le plus grand de R. Alors, toute solution x(t) partant de conditions initiales dans Ω l tend vers M quand t +
54 p. 23/29 Stabilité utilisant la notion d invariance Théorème 2.3 (Extension à la stabilité de l origine) Soit le système dynamique non linéaire autonome ẋ = f(x), avec f continue et soit V(x) une fonction scalaire de classe C 1. Supposons qu au voisinage de l origine : V(x) est localement définie positive, V(x) est semi définie négative, l ensemble R défini par V(x) = 0 ne contient que la trajectoire x(t) = 0, alors l origine est un point d équilibre pour le système asymptotiquement stable.
55 Stabilité utilisant la notion d invariance (2) vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 24/29 Théorème 2.4 (Extension à la stabilité globale de l origine) Soit le système dynamique non linéaire autonome ẋ = f(x), avec f continue et soit V(x) une fonction scalaire de classe C 1. Supposons : V(x) + quand x + V(x) 0, x R n Soit R l ensemble des points définis par V(x) = 0 et M le plus grand ensemble invariant de R. Alors toute solution converge asymptotiquement vers M quand t +
56 p. 25/29 Stabilité d un cycle limite Exemple (atypique) où l équation algébrique régissant le lieu du cycle limite est connu Soit le système { ẋ1 = x 2 x 7 1[x x ] ẋ 2 = x 3 1 3x 5 2[x x ] Soit l ensemble M = {x R 2 \ x x = 0}
57 p. 25/29 Stabilité d un cycle limite Exemple (atypique) où l équation algébrique régissant le lieu du cycle limite est connu Soit le système { ẋ1 = x 2 x 7 1[x x ] ẋ 2 = x 3 1 3x 5 2[x x ] Soit l ensemble M = {x R 2 \ x x = 0} M est invariant car dm dt = 0
58 p. 25/29 Stabilité d un cycle limite Exemple (atypique) où l équation algébrique régissant le lieu du cycle limite est connu Soit le système { ẋ1 = x 2 x 7 1[x x ] ẋ 2 = x 3 1 3x 5 2[x x ] Soit l ensemble M = {x R 2 \ x x = 0} M est invariant car dm dt = 0 Soit V(x) = (x x ) 2 Par le principe d invariance de Lasalle, on prouve la stabilité asymptotique du cycle limite.
59 p. 26/29 Stabilité d un cycle limite (2) V(x) > 0 et V(x) = 8(x x 6 2)(x x ) 2 0 Ensemble R : V(x) = 0 { x x 6 2 = 0 (a) x x = 0 (b) (a) est vrai uniquement à l orgine (b) correspond au cycle limite R est donc l union de l origine du cycle limite.
60 p. 27/29 Stabilité d un cycle limite (3) Origine Cycle Limite
61 p. 28/29 Stabilité d un cycle limite (4) Dans ce cas M R puisque R est l union d un PE et d un cycle limite Il n est pas possible de prouver que l origine est instable (1er méthode = cas critique)
62 p. 28/29 Stabilité d un cycle limite (4) Dans ce cas M R puisque R est l union d un PE et d un cycle limite Il n est pas possible de prouver que l origine est instable (1er méthode = cas critique) Par contre si on considère Ω 100 = {x R 2 tq V(x) < 100} Origine Ω 100 V(x 1,x 2 =0) Cycle limite Ω 100 est un domaine qui inclut le cycle limite mais qui exclut le PE
63 p. 29/29 Stabilité d un cycle limite (5) Principe d invariance de Lasalle pour l > 0 la région Ω l définie par V(x) < l est bornée, OUI V(x) 0 x Ωl OUI Soit R l ensemble des points de Ω l où V(x) = 0 et M l ensemble invariant le plus grand de R. Alors, toute solution x(t) partant de conditions initiales dans Ω l tend vers M quand t + Il ne reste dans le domaine Ω 100 que le cycle limite comme ensemble invariant. Le cycle limite est stable, Ω 100 définit un bassin d attraction pour ce cycle. Corollaire : le PE est instable.
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