Compléments sur les suites

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1 Compléments sur les suites Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 215/216 Table des matières 1 Limites par comparaison Théorèmes de comparaison Application 1 : limite des suites géométriques Application 2 : Limite de la suite (e n ) Convergence des suites monotones 3 3 Exemples d application À des suites d intégrales À des probabilités conditionnelles Table des figures 1 Un arbre pondéré Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 LIMITES PAR COMPARAISON 1 Limites par comparaison 1.1 Théorèmes de comparaison Théorème 1 : Soient (u n ) et (v n ) deux suites et a n un entier naturel. 1. Si, pour n n, on a u n v n et lim n + v n = + alors lim n + u n = + 2. Si, pour n n, on a u n v n et lim n + v n = alors lim n + u n = Démonstration (exigible) : 1. Soit a un nombre réel. Comme lim n + v n = +, il existe un entier p tel que l intervalle ]a ; + [ contienne tous les termes de (v n ) à partir de l indice p. On note N le plus grand des nombres entiers n et p. pour n N, l intervalle ]a ; + [ contient tous les termes v n et, de plus, u n v n. Par suite, pour n N, l intervalle ]a ; + [ contient tous les termes u n. Cette démonstration étant valable pour tout nombre réel a, on vient de montrer que lim n + u n = Soit a un nombre réel. Comme lim n + v n =, il existe un entier p tel que l intervalle ] ; a[ contienne tous les termes de (v n ) à partir de l indice p. On note N le plus grand des nombres entiers n et p. pour n N, l intervalle ] ; a[ contient tous les termes v n et, de plus, u n v n. Par suite, pour n N, l intervalle ] ; a[ contient tous les termes u n. Cette démonstration étant valable pour tout nombre réel a, on vient de montrer que lim n + u n =. Exemple : Soit u n = n Pour tout entier n, n n 2. Comme la fonction racine carrée est croissante, elle conserve l ordre donc n n 2. Comme n est un entier positif, n 2 = n. On a donc n n. Comme lim n + n = +, on obtient lim n + u n = +. Théorème 1 : Théorème dit «des gendarmes» (admis) Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites ; n un entier naturel et l un réel. Si, pour n n, on a v n u n w n et lim n + v n = lim n + w n = l alors : Exemple : Soit (u n ) la suite définie par u n = cos n n. Comme 1 cos n 1 et n >, on a : lim u n = l n + 1 n u n 1 n Comme lim n + 1 n =, la suite (u n ) converge vers zéro. Exercices : 11, 12, 13, 14, 15 page page 31 et 85 page page 33 et 81 page page 47 4 [TransMath] 1.2 Application 1 : limite des suites géométriques Rappel : Soit q un réel différent de zéro et de 1. Si q 1, la suite de terme général (q n ) n a pas de limite (elle est donc divergente). Si 1 < q < 1, la suite de terme général (q n ) a pour limite zéro. Si q > 1, la suite de terme général (q n ) admet comme limite + (elle est donc divergente). 1. Limites par comparaison. 2. Cas d une somme. 3. Avec des racines carrées. 4. Restitution organisée des connaissances. 2

3 2 CONVERGENCE DES SUITES MONOTONES 1.3 Application 2 : Limite de la suite (e n ) Démonstration partielle (exigible) : Les 2 premiers résultats sont admis. On ne démontrera que le troisième. Comme q > 1, on peu noter q = 1 + a, avec a >. Montrons par récurrence que q n 1 + na. Initialisation : q = 1 = 1 + a donc la propriété est vérifiée au rang zéro. On peut aussi remarquer que q 1 = q = 1 + a = a et q 2 = (1 + a) 2 = 1 + 2a + a a... Hérédité : On suppose que q n 1 + na et on veut monter que q n (n + 1) a. Comme q n+1 = q n q et q >, on a : q n 1 + na q n q (1 + na) q q n+1 (1 + na) (1 + a) q n na + a + na 2 q n (n + 1) a + na 2 Comme na 2, on a donc q n (n + 1) a. On a donc montré que, pour tout n, q n 1 + na. De plus, comme a >, lim n + (1 + na) = + donc lim n + q n = Application 2 : Limite de la suite (e n ) Propriété 1 : lim n + en = + Démonstration : On a déjà montré dans le chapitre «La Fonction exponentielle» : Pour tout x R, e x x + 1 par suite, pour tout n N, e n n + 1. Donc, comme lim n + n + 1 = +, on a lim n + e n = +. Propriété 2 : lim n + e n = + Démonstration : e n = 1 e n et comme lim n + e n = +, on a lim n + e n = +. Exercices : 59, 61, 62 page 98 5 [TransMath] 2 Convergence des suites monotones Définition : On dit que la suite (u n ) est majorée par M si, pour tout n, u n M. On dit que la suite (u n ) est minorée par m si, pour tout n, u n m. On dit que la suite (u n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Remarque : 1. Si la suite (u n ) est définie par u n = f (n), on peut utiliser le tableau de variations de la fonction f sur [ ; + [ pour montrer que (u n ) est majorée, minorée ou bornée. 2. Si la suite (u n ) est définie par récurrence, on utilisera généralement le raisonnement par récurrence pour montrer que la suite (u n ) est bornée (respectivement majorée ou minorée). 5. Exponentielle et suites. 3

4 3 EXEMPLES D APPLICATION Propriété 1 : Si (u n ) est une suite croissante non majorée alors lim n + u n = +. Si (u n ) est une suite décroissante non minorée alors lim n + u n =. Démonstration (partielle) : Si la suite (u n ) est non majorée, alors, si a >, il existe n tel que u n > a. De plus, comme (u n ) est croissante, pour tout n n, u n > a. Par suite, pour tout n n, u n ]a ; + [. La suite (u n ) admet donc comme limite +. Propriété 2 (admise) : Si (u n ) est une suite croissante et majorée alors elle converge. Si (u n ) est une suite décroissante et minorée alors elle converge. Remarque : Cette propriété prouve juste que la suite est convergente. Elle ne donne pas la limite. Pour déterminer cette limite, on faudra utiliser une autre méthode (souvent, ce sera une utilisation du théorème «des gendarmes» ou une utilisation de suites définie par récurrence). Exercices : 77 page 43 et 12 page 48 6 [TransMath] 3 Exemples d application 3.1 À des suites d intégrales Exemple : On considère la suite (u n ) définie par : u n = Comme pour tout t [ ; 1], te nt, on a u n. La suite (u n ) est donc minorée par. On note f n (t) = te nt. Pour tout t [ ; 1] : te nt dt f n+1 (t) f n (t) = te (n+1)t te nt = te nt e t te nt = te nt ( e t 1 ) = te nt ( 1 e t 1 ) Comme t [ ; 1], te nt et, la fonction exponentielle étant croissante, e t e = 1 et donc, par 1 passage à l inverse, e 1, d où 1 t e 1. t On a donc, pour tout t [ ; 1], f n+1 (t) f n (t), c est-à-dire f n+1 (t) f n (t). En passant aux intégrales, on obtient : te (n+1)t dt te nt dt On obtient donc u n+1 u n. La suite (u n ) est donc décroissante. La suite (u n ) est décroissante, minorée. Elle est donc convergente. Reste à déterminer la limite de (u n ). Pour cela, on va chercher à l encadrer. On a déjà vu que, pour tout n, u n. De plus, pour tout n et tout t [ ; 1], on a : En passant aux intégrales, on obtient : te nt e nt 6. Convergence de suites monotones. u n e nt dt 4

5 3 EXEMPLES D APPLICATION 3.2 À des probabilités conditionnelles De plus, on a :, te nt dt = [ 1 n e nt ] 1 = 1 n e n + 1 n e = 1 n ( 1 e n ) 1 n car l exponentielle est toujours positive. On a donc : u n 1 n 1 Comme lim n + n =, en utilisant le théorème «des gendarmes», on en déduit que la suite (u n) converge vers zéro. Exercices : 34 page 26 ; 42 page 28 ; 13 page 227 et 143 page [TransMath] 3.2 À des probabilités conditionnelles Exemple : tiré de l exercice 57 page 373 [TransMath] 1. (a) On déduit de l énoncé que P (E 1 ) = 2 5 =, 4 ; P E 1 (E 2 ) = 3 5 =, 6 et P E 1 (E 2 ) = 2 5 =, 4. D après la formule des probabilités totales : p (E 2 ) = p (E 1 E 2 ) + p ( E 1 E 2 ) = p (E 1 ) P E1 (E 2 ) + p ( E 1 ) PE1 (E 2 ) = = = (b) On peut résumer la situation par l arbre pondéré de la figure 1. Figure 1 Un arbre pondéré On a donc : P (E n+1 ) = 3 5 P (E n) (1 P (E n)) = 3 5 P (E n) P (E n) = 1 5 P (E n) =, 2P (E n) +, 4 7. Suites d intégrales. 5

6 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES 2. On peut remarquer que l on a u n = P (E n ). (a) Montrons par récurrence que la suite (u n ) est majorée par,5. Initialisation : u 1 =, 4, 5 Hérédité : On suppose qu il existe un rang n tel que u n, 5. On veut montrer que u n+1, 5. u n, 5, 2u n, 1, 2u n +, 4, 5 u n+1, 5 Donc, pour tout n, u n, 5. La suite (u n ) est donc majorée par,5. (b) Montrons par récurrence que la suite (u n ) est croissante, c est-à-dire que u n+1 u n. Initialisation : u 1 =, 4 et u 2 =, 48. On a bien u 2 u 1. Hérédité : On suppose qu il existe un rang n tel que u n+1 u n. On veut montrer que u n+2 u n+1. u n+1 u n, 2u n+1, 2u n, 2u n+1 +, 4, 2u n +, 4 u n+2 u n+1 Donc, pour tout n, u n+1 u n. La suite (u n ) est donc croissante. (c) La suite (u n ) est croissante et majorée, elle est donc convergente. On note l la limite de la suite (u n ). Comme lim n + u n = l, on a lim n + u n+1 = l. En passant à la limite, l égalité : u n+1 =, 2u n +, 4 devient : Donc la suite (u n ) converge vers,5. l =, 2l +, 4, 8l =, 4 l =, 4, 8 =, 5 3. (a) Les probabilités P (E n ) sont donc croissantes et convergent vers,5. (b) En utilisant le mode récurrence de la calculatrice (ou un tableur), on voit que : dès que n 7., P (E n ), 5 Exercices : 46 page 369 ; 47 page 37 et 62 page [TransMath] Références [TransMath] transmath Term S, programme 212 (Nathan) 2, 3, 4, 5, 6 8. Suites et probabilités. 6