Symétrie en physique des particules

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1 UNIVERSITE LOUIS PASTEUR STRASBOURG École Doctorale 2008 Symétrie en physique des particules Exercice 1 On considère les générateurs du groupe de Lorentz dans la représentation vectorielle : (J αβ ) µ ν = η αµ δ β ν η βµ δ α ν. Montrer que l on a les relations de commutation suivantes : [ J αβ,j γδ] = η βγ J αδ η αγ J βδ + η δβ J γα η δα J γβ Montrer que l on a Exercice 2 chϕ shϕ Λ = exp (ϕj 01 ) = shϕ chϕ R = exp (θj12 ) = 0 cosθ sin θ 0 0 sinθ cos θ Interpreter Λ et R. Exercice 3 On définit J i = L jk (i,j,k en permutation circulaire) et K i = L 0i. 1 Montrer les relations de commutation (i,j,k en permutation circulaire) [J i,j j ] = J k, [J i,k j ] = K k, [K i,k j ] = J k. 2 Calculer les opérateurs de Casimir Q 1 = 1 4 J µνj µν, Q 2 = 1 4 ε µνρσj µν J ρσ.

2 Exercice 4 On pose N i = 1 2 (J i + ik i ), Ni = 1 2 (J i ik i ), montrer [N i,n j ] = N k, [ Ni, N j ] = Nk, [ Ni, N j ] = 0. Les transformations ci-dessus sont valables dans le complexifié de so(1, 3), so(1, 3) C = so(1, 3) R C et montrent que so(1, 3) C sl(2, C) sl(2, C). Si on reprend la forme réelle correspondante à l algèbre de Lorentz, il faut se rappeler que N i et N i sont complexes conjugés l un de l autre et donc qu en fait so(1, 3) sl(2, R) sl(2, R). Dans la littérature on voit parfoit écrit que so(1, 3) su(2) su(2), ce qui n est pas tout à fait exact. Exercice 5 ( ) 0 σµ On introduit γ µ = et σ σ µ 0 µν = 1(σ 4 µ σ ν σ µ σ µ ), σ µν = 1( σ 4 µσ ν σ µ σ µ ) et M = exp ( ) ( 1 2 θµν σ µν, M = exp 1 θµν σ ) 2 µν. 1 Calculer les relations de commutation [σ µν,σ αβ ], [ σ µν, σ αβ ]. Y-a-t-il un sens à calculer [σ µν, σ αβ ]? 2 Montrer que M = exp ( i2 θ. σ 12 ) ϕ. σ, M = exp ( i2 θ. σ + 12 ) ϕ. σ. 3 En déduire que pour la représentation spécifiée par les matrices σ µν (resp. σ µν ) on a N i = i 2 σ i, N i = 0 (resp. N 1 = 0, N i = i 2 σ i). Exercice 6 1 Montrer que la matrice complexe conjuguée de M, notée M est équivalente à M, c est-à-dire qu il existe une matrice P telle que M = PM P 1. 2 En déduire que les spineurs gauchers sont complexes conjugués des spineurs droitiers. On dit que les représentations ( 1, 0) et (0, 1 ) de so(1.3) sont isomorphes aux représentations (représentation complexe de dimension 2 de sl(2, C)) et 2 (la complexe conjuguée de 2 )

3 Exercice 7 Montrer que si λ et ψ anticommutent alors ψ α λ α = λ α ψ α. Montrer que ψ α λ α et ψ α λ α sont des scalaires. Exercice 8 Exercice 9 1 Soit x µ les composantes d un quadrivecteur. On note X = x µ σ µ. Exprimer x µ en fonction de X. Quel est le déterminant de X? Interpréter. 2 En déduire que si X se transforme sous l action de SL(2, C) en X = MXM, M SL(2, C), on a det(x ) = det(x). En déduire qu à une telle transformation correspond la transformation Λ, dont les éléments de matrices sont donnés par Λ µ ν = 1 2 Tr( σ µ Mσ ν M ). 3 Montrer que la transformation M SL(2, C) conduit à la même transformation de Lorentz. On dit que SL(2, C) est le groupe de recouvrement universel de SO 0 (1, 3) et on a SO 0 (1, 3) = SL(2, C)/Z 2. L application ci-dessus, de SL(2, C) SO 0 (1, 3) est un homorphisme 2 : 1 à deux élements distincts de SL(2, C) correspond un unique élement de SO 0 (1, 3). Autrement dit, I, (I étant l identité), est dans le noyau de l application précédente. 4 En déduire que est un scalaire. ψ α σ µ α α λ α Exercice 10

4 Montrer que ε βα σ µα α ε β α = σ µ ββ. Justifier les notations ψ M = Exercice 11 ( ψα ψ α ) pour un spineur de Majorana. Indications : rechercher une matrice B telle que γ µ = Bγ µ B 1. Exercice 12 Soit un champ Φ M se transformant dans une représentation du groupe de Lorentz spécifiée par les matrices J µν : Φ M (x ) = R M N Φ N (x), où R = exp( 1 2 θµν J µν ). On note δφ M (x) = Φ (x) Φ(x) (attention on est au même point). 1 Montrer que pour une transformation infinitésimale, on a δφ M (x) = 1 2 θαβ ( (x α β x β α )δ M N + (J αβ ) M N ) Φ N (x). Interpréter les différents termes. 2 Si on note L µν = x µ ν x ν µ vérifier que les relations de commutation de L µν sont bien celles de l algèbre de Lie du groupe de Lorentz, so(1,3). Exercice 13 Soient L µν = x µ ν x ν µ et P µ = µ les générateurs de l algèbre de Poincaré iso(1,3), établir les relations de commutation. Exercice 14 Soit W µ = 1 2 ε µνρσ l opérateur de Pauli-Lubanski. 1 Calculer les commutateurs [L µν,w α ] et [P µ,w ν ]. 2 En déduire que W 2 = W µ W µ est un opérateur de Casimir (i.e. commute avec tous les générateurs de l algèbre de Poincaré).

5 Exercice 15 Montrer que le petit groupe pour les particules non-massives est en fait ISO(2), c est-à-dire le groupe des rotations-translations en deux dimensions. Le petit groupe ISO(2) étant non-compact, ses représentations unitaires sont de dimension infinie. Comme on préfère en général avoir des rep. de dimension finie, on représentera T 1,T 2 par zéro, et le petit groupe deviendra SO(2). Il existe cependant des rep. unitaires pour lesquelles T 1,T 2 ne sont pas nuls; on parle alors de spin continu. Exercice 16 Soit le lagrangien d un électron couplé au champ électromagnétique : L = 1 4 F µνf µν + ψ(iγ µ D µ m)ψ, où F µν = µ A ν ν A ν est le tenseur de Maxwell, A µ le quadrivecteur potentiel électromagnétique, D µ = µ + ia µ la dérivée covariante de jauge, ψ le champ Dirac de l électron et ψ = ψ γ 0 son adjoint. 1 Montrer que les équations d Euler-Lagrange conduisent à : 2 Interpréter les différents termes. (iγ µ D µ m)ψ = 0 µ F µν = ψγ ν ψ. Exercice 17 Soient T A,A = 1,...,N 2 1 les générateurs de su(n). On donne les relations de commutation de su(n) Et on normalise les générateurs tel que [T A,T B ] = f AB C T C. Tr(T A T B ) = 1 2 δ AB, forme de Killing. 1 Calculer les matrices N N (représentation fondamentale) dans le cas où N = 2, 3. Attention la normalisation dans le membre de droite des relations de commutation ci-dessus est différente de celle usuellement utilisée en physique. En effet, le membre de droite est réel et non pas purement imaginaire. Le signe moins de la

6 forme de Killing provient du fait que les matrices T A sont anti-hermitiennes; pour des matrices hermitiennes, on aurait un signe plus! Si on veut avoir une notation en accord avec la littérature physique, il faut faire la substitution suivante : T A T A = it A 2 Soit A µ = A A µt A un champ de jauge se transformant de la façon suivante sous une transformation de Jauge : Montrer que A µ(x) = UA µ (x)u + U µ U, avec U = exp (ω A T A ). δa A µ(x) = A µ(x) A µ (x) = µ ω A + f BC A ω B A C µ. Exercice 18 Soit F µν = [D µ,d ν ], avec D µ = µ + A µ, A µ = A A µt A la dérivée covariante de jauge (D µ est une matrice N N) 1 Montrer que F µν = µ A ν ν A µ + [A µ,a ν ]. 2 Montrer que si on pose F µν = F A µνt A, on a F A µν = µ A A ν ν A A µ + f BC A A B µ A C ν. Exercice 19 On considère la théorie de Grand-Unification basée sous le groupe de jauge SU(5), c est-àdire que l on plonge le groupe de jauge du modèle standard : de la façon suivante 1 : SU(3) c SU(2) L U(1) Y SU(5), su(3) su(5) = ( ) ( ) su(3) , su(2) su(5) =, Y = su(2) En toute rigueur comme dans nos conventions, les matrices sont anti-hermitiennes, la matrice Y ci-dessus est plutôt i fois l hypercharge.

7 On donne le contenu en quarks et leptons du modèle standard en fonction des nombres quantiques de su(3) c su(2) L u(1) Y ( ) ul q L = = (3,2, d 1), u 6 R = (3,1, 2), d 3 R = (3,1, 1), 3 ( L ) νl l L = = (1,2, 1), e 2 R = (1,1, 1). e R 1 Montrer que la représentation de dimension 5 de su(5) se décompose dans le plongement su(5) su(3) c su(2) L u(1) Y en 5 = (3, 1, 1 3 ) (1,2, 1 2 ) = l L d c R, où d c L est le conjugué de d L, donc un spineur gaucher. 2 Montrer que. 5 5 = 10 15, avec 10 un tenseur d ordre deux antisymetrique et 15 un tenseur d ordre 2 symetrique. 3 En déduire que dans le plongement su(5) su(3) c su(2) L u(1) Y, on a 10 = (3,2, 1 6 ) (3,1, 2 3 ) (1,1, 1) = q L u c R e c R.