Chapitre 4 : Fonctions variations

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1 Chapitre 4 : Fonctions variations Fonctions généralités : Savoir utiliser la représentation graphique d'une fonction Déterminer les variations d une fonction et dresser le tableau de variations Fonctions généralités : Savoir utiliser un tableau de variations Déterminer l'image d'un intervalle Déterminer un encadrement de l'image d'un nombre Déterminer le nombre d antécédent(s) d un nombre Déterminer un maximum ou un minimum et en déduire une inégalité Sens de variation et inégalité Construire une courbe en respectant un tableau de variation Calculatrice Etablir un tableau de valeurs à la calculatrice pour déterminer un extremum Page 1 sur 11

2 I. Sens de variation d une fonction Exemple 1 (voir l activité du chapitre 1) Pour des valeurs croissantes choisies pour x dans l intervalle [0 ; 2,5], l aire A du rectangle est également croissante. Par exemple : 1 < 2 et A(1) < A(2). Pour des valeurs croissantes choisies pour x dans l intervalle [2,5 ; 5], l aire A du rectangle est décroissante. Par exemple : 3 < 4 et A(3) > A(4). On dit que la fonction A est croissante sur l intervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur l intervalle [2,5 ; 5]. A(2 ) A(1) Définition : fonction croissante Soit f une fonction définie sur un intervalle I de!. Dire que la fonction f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie que : pour tous nombres réels x 1 et x 2 appartenant à I, si x 1 x 2, alors f (x 1 ) f (x 2 ) (respectivement si x 1 < x 2, alors f (x 1 ) < f (x 2 )). Définition : fonction décroissante Soit f une fonction définie sur un intervalle I de!. Dire que la fonction f est décroissante sur I (respectivement strictement décroissante sur I) signifie que : pour tous nombres réels x 1 et x 2 appartenant à I, si x 1 x 2, alors f (x 1 ) f (x 2 ) (respectivement si x 1 < x 2, alors f (x 1 ) > f (x 2 )). Définition : fonction constante Soit f une fonction définie sur un intervalle I de!. Une fonction f qui est à la fois croissante et décroissante sur un intervalle I et une fonction constante sur I : tous les réels x appartenant à I ont la même image k par f. Remarques On dit qu une fonction croissante conserve l ordre. On dit qu une fonction décroissante renverse l ordre. Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. Page 2 sur 11

3 Exemple 1 La fonction f est croissante sur [ 1 ; 3] et décroissante sur [3 ; 10]. 1. Comparer les images f (0) et f (2). 2. Comparer les images f (5) et f (7). Point méthode : étudier les variations d une fonction Soit f une fonction f définie sur un intervalle I. Soit a et b deux réels quelconques de l intervalle I tels que a < b. Pour étudier les variations de la fonction f on pourra étudier le signe de! "!(%) : Si! "!(%) < 0 alors! " <! %, ainsi f est croissante sur l intervalle I. Si! "!(%) > 0 alors! " >! %, ainsi f est croissante sur l intervalle I. Exemple 2 On considère la fonction f définie sur! par :! * = 2 * On veut résoudre établir les variations de la fonction f. 1. A l aide de votre calculatrice conjecturer les variations de la fonction f, la fonction f semble-t-elle posséder un maximum, si oui quelle est sa valeur? 2. Démontrer votre conjecture. II. Tableau de variations d une fonction Définition : tableau de variations Etudier les variations (ou le sens de variation) d une fonction f définie sur un intervalle I de! revient à déterminer les intervalles inclus dans I sur lesquels la fonction f est strictement croissante, strictement décroissante ou constante. On résume les résultats de cette étude dans un tableau appelé tableau de variations de f. Exemple 3 : Interprétation graphique. Dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur [ 3 ; 4] représentée ci-contre. Page 3 sur 11

4 Exemple 4 On définit la fonction f par son tableau de variation 1. Si x varie de 4 à 1, sur quel intervalle varie f (x)? 2. Si x varie de 4 à 5, sur quel intervalle varie f (x)? 3. Déterminer un encadrement de l image de 4,2. 4. Combien le réel 0 a-t-il d antécédents par f? Dans quel(s) intervalle(s) est-il (sont-ils)? 5. Construire une courbe pouvant représenter f dans un repère. III. Maximum, minimum d une fonction Définitions : maximum et minimum Soit f une fonction définie sur un intervalle I de! et a un nombre réel appartenant à I. F Dire que la fonction f admet un maximum sur I en a signifie que : pour tout nombre réel x de I, f (x) f (a). Le maximum de f sur I est f(a). F Dire que la fonction f admet un minimum sur I en a signifie que : pour tout nombre réel x de I, f (x) f (a) Le minimum de f sur I est f(a). Interprétation graphique : Le maximum M de f sur I est l ordonnée du point le plus haut de la courbe représentative de f sur I. Le minimum m de f sur I est l ordonnée du point le plus bas de la courbe représentative de f sur I. Page 4 sur 11

5 Exemple 5 On considère la représentation graphique la fonction f : 1. Donner son ensemble de définition. 2. Donner les variations de la fonction. 3. Dresser le tableau de signe de f. 4. Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints. 5. a. Déterminer l image de 4 par f. b. Déterminer les antécédents de 1 par f. 6. a. Quel est l image de l intervalle [ 2 ; 0] par f? b. Quel est l image de l intervalle [ 2 ; 3] par f? 7. Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations. Exemple 6 On considère la fonction f définie sur! par : f (x) = (x 1) 2 1. Démontrer que, pour tout x réel, f (x) 1. Que pouvez-vous en déduire? Page 5 sur 11

6 IV. Parité d une fonction Une partie D de! est dite centrée en zéro, lorsque : si x appartient D, alors sont opposé x appartient aussi à D. Définitions : fonction paire / fonction impaire Soit f une fonction définie sur une partie D de! centrée en zéro. F Dire que la fonction f est paire signifie que : pour tout nombre réel x appartenant D, f ( x) = f (x). F Dire que pour la fonction f est impaire signifie que : pour tout nombre réel x appartenant à D, f ( x) = f (x). Interprétation graphique : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d une fonction paire est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d une fonction impaire est symétrique par rapport à l origine du repère. Exemple 13 Soit f la fonction définie sur! par : f (x) = 1 4 x2 9. La fonction f est-elle paire? impaire? Page 6 sur 11

7 Exercice 1 Pour chacune des courbes suivantes, établir le tableau de variations des fonctions représentées, puis dresser leur tableau de variation. Exercice 2 Pour chacune des courbes suivantes : 1. Déterminer si la fonction représentée admet un maximum absolu et/ou relatif ; 2. Dresser le tableau de variations. Exercice 3 Voici les courbes représentatives de deux fonctions u et v définies sur [ 5;5]. Estimer les solutions des (in)équations ci-dessous. 1. Dresser le tableau de variation de la fonction u, puis de la fonction v. 2. Préciser le maximum de C u. Pour quel nombre est-il atteint? 3. Même question pour le minimum. 4. Déterminer l image de l intervalle [ 4 ; 2] par la fonction u. Exercice 4 Une fonction f est définie sur [0 ; 5]. On sait que f est croissante sur l intervalle [0 ; 2], décroissante sur l intervalle [2 ; 4] et croissante sur l intervalle [4 ; 5]. On donne également : f (0) = 1 ; f (2) = 3 ; f (3) = f (5) = 0 ; f (4) = Dresser le tableau de variation de f. 2. Donner le minimum et le maximum de f sur l intervalle [0 ; 5] en précisant les réels en lesquels ils sont atteints. 3. Préciser sur quel(s) intervalle(s) les images sont négatives. Page 7 sur 11

8 Exercice 5 Le graphe ci-dessous représente l évolution de la glycémie (concentration de glucose dans le sang en g/l) au cours du temps exprimé en heures. 1. Dresser le tableau de variation de la fonction représentée sur ce graphique (On se placera sur l intervalle [0 ; 2]). 2. Est-il vrai que la diminution de la glycémie entre les instants t = 0,25 et t = 1 est le triple de celle entre les instants t = 1 et t = 2? Justifier. 3. a. A quel instant, en minutes, la glycémie atteint-elle pour la première fois la valeur 1 g/l. b. Combien de temps, en minutes, la glycémie met-elle pour «redescendre» à 1 g/l. Le diabète est une maladie chronique qui ne se guérit pas, mais que l on peut traiter et contrôler. Il est causé par un manque ou un défaut d'utilisation d une hormone appelée insuline. L insuline est produite par le pancréas. Elle permet au glucose (sucre) d entrer dans les cellules du corps pour qu il soit utilisé comme source d énergie. Chez une personne non diabétique, l insuline remplit bien son rôle et les cellules disposent de l énergie dont elles ont besoin pour fonctionner. Lorsqu il manque d insuline ou qu elle ne peut pas bien accomplir sa fonction, comme c'est le cas dans le diabète, le glucose ne peut pas servir de carburant aux cellules. Il s'accumule alors dans le sang et entraîne une augmentation du taux de sucre (hyperglycémie). À la longue, un taux de sucre élevé dans le sang entraîne certaines complications, notamment au niveau des yeux, des reins, des nerfs, du cœur et des vaisseaux sanguins. Il existe différents types de diabète soit le prédiabète, le diabète de type 1, de type 2, le diabète de grossesse et d autres types plus rares. Exercice 6 On considère le tableau de variations de la fonction g définie sur [ 5; 8]. 1. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie, fausse ou si l on ne peut pas conclure. a. 0 a pour image 3 ; b. g( 4) g( 3) ; c. 0 a deux antécédents ; d. g( 2) g(0, 5) e. le maximum de g sur 5; 1 2 est 1 ; f. Si a [ 5;1] alors g(a) 0 ; g. Si g(a) 0 alors a [ 5;1] 2. Quelles sont les images des intervalles [ 5 ; 0] et [ 5 ; 1] 3. Encadrer l image de 4 par deux entiers 4. Résoudre l inéquation f (x) > 0 Page 8 sur 11

9 Exercice 7 Voici le tableau de variations d une fonction f. 1. Quel est l ensemble de définition de la fonction f? 2. Indiquer le sens de variations de la fonction f. 3. Préciser les extrema éventuels de la fonction f et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints. 4. Déterminer le nombre de solution de l équation f (x) = 4,5. Encadre les solutions par deux entiers consécutifs. 5. Tracer deux courbes différentes susceptibles de représenter graphiquement la fonction f. Exercice 8 Voici des informations concernant une fonction f définie sur l intervalle [ 1; 5]. f( 1) = f(5) = 0 ; f(2) = 3 ; f(4) = 2 f est croissante sur [ 1; 2] et sur [4; 5] ; f est décroissante sur [2; 4]. 1. Dresser le tableau de variations de f. 2. Tracer deux courbes différentes susceptibles de représenter graphiquement la fonction f. 3. Préciser les extremums éventuels de la fonction f et pour quelle(s) valeur(s) ils sont atteints. Exercice 9 Comparer si possible les nombres suivants : 1 1. f ( 2) et f ( 1) ; 2. f 3 et f f ( 3,6) et f ( 3,7 ) ; 5. f 7 2 et f 4 ; 3. f ( 1) et f ( 1) ( ) ; 6. f ( 1) et f ( 3,5) Exercice 10 Etudier la parité des fonctions suivantes : f 1 (x) = x ; f 2 (x) = 1 x ; f (x) = x 2 3 x 2 +1 f 4 (x) = 2x +1 x 2 ; f (x) = x 3 5 ( ) 2 ( x + 3) 2 ; f 6 (x) = 2x 3 x Exercice 11 On considère un rectangle ABCD de dimensions données : AB = 6 cm et BC = 8 cm. Sur le côté [AB], on place un point M quelconque. On considère ensuite les points N sur [BC], P sur [CD] et Q sur [DA] tels que : AM = BN = CP = DQ. Page 9 sur 11

10 On pose AM = x. On appelle f la fonction qui, à x associe la valeur de l aire de MNPQ. 1. Vérifier que MNPQ est un parallélogramme. 2. Quel est l ensemble de définition de f? 3. Quelle peut-être la valeur maximale de f (x)? Pour quelle valeur de x est-elle atteinte? Exercice 12 On considère la fonction f définie sur! par : f (x) = x 1 ( ) 2 4. On veut résoudre établir les variations de la fonction f. 1. A l aide de votre calculatrice conjecturer les variations de la fonction f. 2. Démontrer votre conjecture. 3. Démontrer que la fonction f admet pour minimum 4. Exercice 13 On considère la fonction f définie sur! par :! * = 3 * On veut résoudre établir les variations de la fonction f. 1. A l aide de votre calculatrice conjecturer les variations de la fonction f, la fonction f semble-t-elle posséder un maximum, si oui quelle est sa valeur? 2. Démontrer votre conjecture. 3. Démontrer que la fonction f admet pour maximum 5. Exercice 14 On considère la fonction f définie par :! * = 2 * 3 On veut résoudre établir les variations de la fonction f. 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction f. 2. A l aide de votre calculatrice conjecturer les variations de la fonction f. 3. Démontrer votre conjecture. Exercice 15 On considère une fonction f définie sur l intervalle [ 4 ; 4] et dont on donne la courbe représentative. 1. Dresser le tableau de variations de cette fonction f. 2. Démontrer que pour tout réel x 1;2 et pour tout réel x' 4; 1, on a f (x) f (x'). 3. Est-il vrai que pour tout réel x 1;4 et pour tour réel x' 4; 1, on a f (x) f (x')? Justifier la réponse. 4. a. Reproduire la courbe représentative de f et tracer dans le même repère la droite qui représente graphiquement la fonction affine g définie par : g(x) = x 1. b. Combien de solutions possède l équation f (x) = g(x)? Donner une valeur approchée de ces solutions. Page 10 sur 11

11 Exercice 16 Un parc d attraction fait une étude de marché sur un nouveau manège à sensations, dont la durée est comprise entre 1 et 7 min. Le niveau de satisfaction des consommateurs est mesuré par une fonction de satisfaction f qui, à la durée x de l attraction, en minutes, associe la proportion f (x), en pourcentage, de consommateurs satisfaits. On estime que : f (x) = 0,4x 3 2x ,2x +12, où x 1;7. 1. Quel est le niveau de satisfaction lorsque l attraction dure 4 minutes? 5 minutes? 5 minutes 30? 2. Déterminer les durées possibles de l attraction, arrondies à 0,01 min, pour que 75% des consommateurs soient satisfaits. 3. Est-il possible que 100% des consommateurs soient satisfaits? Si oui, préciser la durée de l attraction correspondante. 5. On dit qu il y a envie lorsque la fonction f est croissante. Donner un intervalle sur lequel il y a envie. Arrondir à 0,01 min. Exercice 17 On considère l équation x 3 5 = a. Tracer avec la calculatrice la courbe représentative de la fonction f (x) = x 3 5. b. Emettre des conjectures sur le nombre de solutions de l équation étudiée et sur le sens de variation de la fonction f. 2. On considère l algorithme ci-dessous. Quel est son objectif? On pourra recopier et compléter le tableau et interpréter graphiquement les différents résultats obtenus. Puis programmer cet algorithme sur votre calculatrice. A prend la valeur 1 B prend la valeur 2 Tant que B A > 0,01 X prend la valeur A + B 2 Si f (X) < 1 Alors X prend la valeur A Sinon X prend la valeur B Fin Tant que Afficher X A B X f(x) Etape Etape 1 Page 11 sur 11