x)² 1439 Ces données sont-elles suffisantes pour déterminer la moyenne et l écart type de la série? Si oui, calculer ces paramètres.

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1 S A-C DS 7 jeudi mars 206 n. sur 2.5 points Une association de consommateurs étudie statistiquement la durée de vie des disques durs proposés par deu fournisseurs. Les résultats pour la société Eastdigit sont donnés dans le tableau ci-dessous : Durée de vie (en années) [0 ;[ [;2[ [2 ;[ [ ;4[ [4 ;6[ [6 ;8[ [8 ;0[ Effectif Pour simplifier les calculs, on considère que chaque intervalle peut être remplacé par son centre : ainsi pour [0 ;[ on prendra la valeur, pour [ ;2[ la valeur.5, etc ) A la calculatrice, et sans justification, déterminer la moyenne et l écart type de cette série statistique. On arrondira la moyenne à 0-2 près et l écart type à 0-4 près. 2) Pour la société Sigait, on a obtenu : moyenne : 4.65 et écart type :.4. Quelle est la série statistique la plus régulière? Justifier. ) Pour un troisième fournisseur, on ne dispose que de données partielles : Effectif total : 00 ; 00 i 4694 ; 00 ( i )² 49 i i Ces données sont-elles suffisantes pour déterminer la moyenne et l écart type de la série? Si oui, calculer ces paramètres. n 2. sur.5 points Les courbes, 2,, 4 données ci-contre sont les courbes représentatives de quatre fonctions f, g, h et k. Les courbes a, b, c, d ci-contre sont les courbes représentatives de leurs fonctions dérivées f, g, h, k dans le désordre. Associer à la courbe de chaque fonction la courbe de sa fonction dérivée. Recopier sur votre copie les paires de courbes fonction fonction dérivée. Aucune justification n est demandée. Suite du devoir au dos

2 n. sur 6.5 points 2 ² 55 Soit f la fonction définie sur R \ {} par f () = On désigne par (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormal O, i, j. ) Résoudre l équation f() = 0. Qu en déduit-on pour la courbe (C)? 2 ² 20 2) Calculer f ( ) et vérifier que f ( ) = ( )² ) Etudier le signe de f( ) et dresser le tableau de variations de f sur R \ {} 4) Déterminer une équation de la tangente à (C) au point A d abscisse. 5) Soit la droite d équation y = 6 +. a) Etudier la position relative de (C) et b) Justifier que est tangente à (C). c) Eiste-t-il une autre tangente à (C) parallèle à? Si oui, préciser son équation. n 4. sur 4.5 points ) Vérifier que 4 2 ( 2)(4 ² 8 6) 2 2) Soit f la fonction définie sur \ {0} par f ( ) 2 ². Etudier les variations de f. ) On souhaite fabriquer des conteneurs, de volume 8 m ayant la forme d un parallélépipède rectangle (un pavé droit) à base carrée. On veut protéger l ensemble des parois etérieures par un produit antirouille. Déterminer les dimensions à donner au conteneur pour qu il coûte le moins cher en produit antirouille. Indication : on notera le côté de la base carrée et on commencera par eprimer la hauteur du conteneur en fonction de. n 5. sur 5 points On se place dans un repère O, i, j et on considère la droite (D) d équation 2 7y2 0 ainsi que les points A et B de coordonnées A(-4 ; 2), B( ;6). ) La droite (D) coupe l ae des abscisses en E. Calculer les coordonnées de E. 2) a) Donner les coordonnées d un vecteur directeur de (D) b) Justifier que les droites (D) et (AB) ne sont pas parallèles. c) Donner les coordonnées du point F, point d intersection de (D) et (AB) ) Soit m un réel et soit (d m ) la droite d équation cartésienne : (m+) my + 2=0. a) Pour quelle valeur de m la droite (d m ) est-elle parallèle à l ae des abscisses? b) Pour quelle valeur de m, la droite (d m ) passe-t-elle par le point A? c) Eiste t-il une valeur de m telle que les droites (D) et (d m ) soient parallèles?

3 Corrigé Eercice ) A la calculatrice, on obtient :.70 à 0-2 près et.5099 à 0-4 près. 2) La première série est plus régulière car l écart type est plus petit. ) 00 i 4694 i.6à 0-2 près ; V et V.052 à 0-4 près ( i )² 49 i 2.5 pts Eercice 2 Réponse : d ; 2 b ; a ; 4 - c Eplications (non demandées) : La fonction représentée par la courbe est croissante sur ]--,0[ et décroissante sur ]0 ; +[. Sa dérivée doit donc être positive sur ]-,0[ et négative sur ]0 ; +[ : cela correspond à la courbe d. La fonction représentée par la courbe 2 est décroissante sur ]- ; 0[ et aussi sur ]0 ; +[. Sa dérivée sera donc négative sur ]- ;0[ et aussi sur ]0 ; +[ : cala correspond à la courbe b. La fonction représentée par la courbe est croissante sur ]-,0[, décroissante sur ]0 ; +[ et admet une tangente horizontale au point d abscisse 0. Sa dérivée doit donc s annuler en 0, être positive sur ]-,0[ et négative sur ]0 ; +[. Ce qui correspond à la courbe a..5 pt Eercice ) Sur \ {} : f() = 0 2 ² = Pas de racine. S = On peut en déduire que la courbe (C) ne coupe pas l ae des abscisses. 6.5 pts ) f est de type u v avec u = 2² et v = d où u = 4 5 et v = (4 5)( ) (2 5 5)() f( ) ( ) ( ) ( ) ) 2² : = 64. Deu racines : 5 et. Le signe de «a» est positif. ( )² est un carré donc positif et s annule en. D où : signe de 2² signe de (-)² signe de f () variations de f ) La tangente à (C) au point A d abscisse a pour équation : y = f (-) ( + ) + f(-). Or, f (-) =.5 et f(-) = -. La tangente a donc pour équation y =.5( + ) = ) a) Pour étudier la position relative de (C) et on calcule : 2 ² 5 5 ( 6 )( ) 8 ² f ( ) ( 6 ) Puis on étudie le signe : 8² : = 0. Une seule racine : 4. = 0 quand =.

4 D où le tableau de signes : ² quotient La courbe (C) est au-dessous de sur ]-,[ et au-dessus sur ] ;+[ ; elles ont en commun le point d abscisse 4. b) ne peut être tangente à (C) qu en leur point commun, le point d abscisse 4. f (4) = 6 qui est le coefficient directeur de donc est tangente à (C) au point d abscisse 4. c) Deu droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On résout donc f () = 6 c'est-à-dire : 2 ² ² 2 0 6( )² 2 ² ² ² ( )² = 256. Deu racines : 2 et 4. La courbe admet donc une autre tangente parallèle à : la tangente au point d abscisse 2. Eercice pts ) ( 2)(4 ² 8 6) 4 8 ² 6 8 ² ) f ( ) 2 ² 2 ² 2 donc ( 2)(4 ² 8 6) f ( ) ² ² ² ² On étudie le signe de la dérivée : 4²+8+6 : = Pas de racine ; Toujours du signe de «a» donc ici positif ² ² f () 0 + variations de f 24 ) Le volume du conteneur est hauteur = 8 donc la hauteur est égale à h = 8 ² Il y a 4 parois etérieures qui ont la forme d un rectangle de dimensions h et (les parois latérales) et deu parois qui ont la forme de carrés de côté. La surface à peindre est donc : h 2 ² 4 2 ² 2 ² ( ) ² f D après l étude de f faite au 2, il faut donner à la valeur 2 pour que l aire à peindre soit minimale. Le conteneur doit donc avoir une base carrée de côté 2 m et une hauteur de 8 2 mètres. Le 2² conteneur doit être un cube d arête 2 m +

5 n 5. ) E est sur l ae des abscisses donc y E = 0 et aussi sur (D) donc 2 E 2 = 0 d où E 4 ;0 7 2) a) En appliquant le cours, on obtient 7;2 u est un vecteur directeur de (D) 2 4 E b) AB. 4 y u y u 72 4 ( 7) 75 0 donc u et AB ne sont pas colinéaires AB AB donc (D) et (AB) ne sont pas parallèles. c) On détermine une équation de la droite (AB). 7 Comme AB est un vecteur directeur de (AB) la droite a une équation de la forme 4 4 7y c 0. Comme elle passe par A : 4 ( 4) 72 c 0 ce qui donne c = 0. Donc (AB) a pour équation : 47y0 0 Pour déterminer les coordonnées du point F, intersection de (D) et (AB) on résout le système 27 y2 formé par leurs équations :. 4 7y A la calculatrice, on obtient F ; ) a) La droite (d m ) est parallèle à l ae des abscisses si son équation réduite est de la forme y = b ce qui se produit lorsque le coefficient devant est nul donc si m =. b) (d m ) passe par A lorsque les coordonnées de A vérifient l équation de (d m ) : ( m ) ( 4) m m 4 2m 2 0 6m 2 m 5 pts c) (d m ) a pour vecteur directeur le vecteur m v. (d m ) et (D) sont parallèles si leurs vecteurs m directeurs sont colinéaires donc si : 2m 7( m) 7 28m 7 m 28 4