TD 7 - fonctions-limites-continuité

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1 CPI 1C EISTI Analyse TD 7 - fonctions-limites-continuité Eercice 1. Soit I un intervalle ouvert de R, f et g deu fonctions définies sur I. 1. Soit a I. Donner une raison pour laquelle : ( ) ( ) lim f() = f(a) lim f() = f(a). a a. On suppose que f et g sont continues sur I. En utilisant l implication démontrée ci-dessus, la relation Sup (f, g) = 1 (f + g + f g ), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction Sup (f, g) est continue sur I. Eercice. 1. Soit f une fonction continue sur ]a, b[ telle que f(]a, b[) [a, b]. Montrer, par considération de φ() = f(), qu il eiste c dans [a, b] tel que f(c) = c.. Soit f une fonction continue sur [0, 1] telle que f(0) = f(1). Montrer qu il eiste c dans [0, 1 ] tel que f(c) = f(c + 1 ). 3. Un mobile parcours, à vitesse continue, une distance d en une unité de temps. Montrer qu il eiste un intervalle d une demi-unité de temps pendant lequel il parcourt une distance d. Eercice 3. Soit f : R R continue telle que lim f = et lim f = +. + Montrer que f s annule. Appliquer ceci au polynômes de degré impair. Eercice 4. Soit f périodique croissante. Que dire de f? Eercice 5. Soit f continue sur R admettant 1 et pour périodes. Que dire de f? Eercice 6. Eiste-t-il une bijection continue de [0, 1[ sur R? Eercice 7. Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessairement continue? Eercice 8. Soit f continue de R dans R, montrer que : + l image réciproque de toute partie bornée est bornée. 1 lim f() =

2 Eercice 9. Soit f : [a, b] R une fonction continue. On veut démontrer que sup a<<b f() = sup a b f(). 1. Montrer que sup f() sup f(). a<<b a b Pour cela, on pourra montrer que sup a b f() est un majorant de f sur ]a, b[.. Soit 0 [a, b] tel que f( 0 ) = sup a b f(). Montrer que f( 0 ) = sup a<<b f() en distinguant les trois cas : 0 = a, 0 = b, 0 ]a, b[. Indication : Dans le cas 0 = a, par eemple, on pourra considérer la suite de réels a n = a + 1/n et étudier la suite (f(a n )). 3. Soit g : [0, 1] R la fonction définie par g() = 0 si [0, 1[ et g() = 1 si = 1. Montrer que sup g() sup g(). 0<<1 0 1 Quelle hypothèse est essentielle dans la propriété démontrée auparavant? Eercice Soit la fonction réelle définie par f() = 1 si Q et f() = 0 sinon. Montrer que f n admet pas de limite en tout point de R.. Soit la fonction réelle définie par f() = si Q et f() = 1 sinon. En quels points de R f est elle continue? Eercice 11. Etudier la continuité sur R des fonctions suivantes : 1. f 1 () = cos 1 si 0, et f 1(0) = 0 ;. f () = sin sin 1 si 0, et f (0) = 0 ; 3. f 3 () = E() ; 4. f 4 () = E() sin(π). Eercice 1. Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur R? a) f() = sin sin( 1 ) ; b) f() = 1 ln e + e ; c) f() =

3 Eercice 13. Soit f : R R continue en 0 telle que R f() = f(). Montrer que f est constante. Eercice 14. Étudier la continuité des fonctions suivantes : 1. f 1 () = cos 1 si 0 f 1(0) = 0 ;. f () = sin sin 1 si 0 f (0) = 0 ; 3. f 3 () = E() sur R ; 4. f 4 () = [ E()] et f 5 () = E() + f 4 (). Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de limite en +.. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +. Eercice 16. Calculer lorsqu elles eistent les limites suivantes a) lim 0 + b) lim + c) lim d) lim Π sin 1+cos e) lim f) lim g) lim h) lim 1 1 n 1 sin 1 cos Eercice 17. On rappelle les limites : lim 0 = 1 et lim 0 1. Calculer les limites suivantes : 1 sin a) lim. sin b) lim sin 3 = c) lim 0 e) lim 0 sin 1 cos tan cos 1 d) lim 0 sin sin f) lim 0 tan sin sin 3 ( ) Eercice 18. Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs lim 0 + ln. lim ln( + ) lim ln 3

4 e lim + + ln(3 + 1) 5. lim lim 0 + ln( + 1) ( 3 7. lim + 1 ln + 4 ) 1 8. lim 1) ln( ) ( 1) +( 9. lim + ( ) ln( 3 8) ( 1) 10. lim 0 + ln( + 1) 11. lim ( ln ln( + )) + e e 1. lim lim (1 + )ln 0 + ( + 1 ) 14. lim + 3 ( lim + + ( e + 1 ) lim + + ( ) lim ln(1 + ) ln 0 + ( 1 ) 18. lim + ( ) ( + 1) 19. lim + 0. lim + +1 ) ln( + 1) 1 + e 3 Eercice 19. Calculer les limites suivantes : a) lim 0 + b) lim c) lim 1 n 1 m 1 n, m N d) lim 0 1 cos e) lim 0 sin 1 cos 4 f) lim 0 ln(1 + 3 )

5 a b g) lim 0 a, b > 0 h) lim 0 e a e b i) lim α + α + α α. Eercice 0. Trouver pour (a, b) (R + ) : lim ( a + b ) 1. Eercice 1. Montrer que l équation = 0 admet au moins une solution dans l intervalle ] 1, 1[. Même question pour l équation = 0. Eercice. Soient n N et d R +. Démontrer en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires que le polynôme P (X) = X n d a au moins une racine dans R. Eercice 3. En étudiant les variations de la fonction f définie sur ]0, + [ par f() = 1, trouver le plus grand élément de l ensemble f(n ). En déduire que quels soient m et n appartenant à N, l un des nombres n m, m n est inférieur ou égal à 3 3. Eercice 4. Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : e, ln, + 1, cos. Eercice 5. À quelle condition sur f et g a-t-on ef a e g? Eercice 6. Soient f et g équivalentes au voisinage de a et strictement positives. Montrer que si f admet en a une limite dans R différente de 1 alors ln f a ln g. Eercice 7. Calculer les limites de 1. sin ln(1 + ) en 0. tan. ln(1 + sin ) en 0. tan(6) 3. (ln(e + )) 1 en (ln(1 + e )) 1 en +. 5

6 Eercice 8. Limite en + de Équivalent en + de tan(a) sin(a) Limite en 0 de tan(b) sin(b) Limite en π ( 4 de π ) tan( + π 4 4 ) Limite en π 4 Équivalent en 0 de de cos() sin() (4 π) tan() tan( cos()) sin() + cos() 1 Équivalent en π 4 de ( tan( ) + tan( + π 4 ) ) ( cos( + π 4 ) ) Limite en 0 de 1 1+ ln() Limite en 1 de ( ) tan(π ) Limite en 0 de (sin())sin() 1 (tan()) tan() Équivalent en + de sin( 1) ln( + 1 ) 6