Grandeurs sinusoïdales

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1 9/0/06 I. Les différens ypes de signaux Signal variable Signal périodique Signal alernaif Signal sinusoïdal S Signal variable S Signal périodique S Smax -Smax Signal alernaif S Signal sinusoïdal Pourquoi éudiera--on principalemen le signal sinusoïdal? ous les signaux qui arriven aux bornes des appareils son délivrés par des généraeurs ou moeurs (roaion cyclique) : délivrance d un signal périodique (sinusoïdal) Disribuion de l énergie élecrique en France sous la forme de ensions e de courans sinusoïdaux de fréquence 50Hz. ous les signaux (riangulaire, carré ) peuven êre décomposés en une somme de signaux sinusoïdaux (ransformée de Fourier)

2 9/0/06 II. Le régime sinusoïdal Les grandeurs sinusoïdales son des grandeurs périodiques pariculières don l éude es imporane en élecronique e en élecroechnique. Par ailleurs, les ensions élecriques délivrées par le réseau d EDF son elles-mêmes sinusoïdales, u() U max - U M e I M son les de u() e de i() - (ω + θ) es la - ω la avec ω = πf = π/ - son les des emps de u() e de i() - ϕ = es la enre u() e i() - En élecroechnique la ension u() es caracérisique du réseau 3 Caracérisiques du signal sinusoïdal Phénomène périodique e période Un phénomène es périodique si il se reprodui ideniquemen La période es donc une durée. Fréquence La fréquence d un. Le symbole de la fréquence es f. La fréquence s exprime en Herz. f = Pulsaion Le symbole de la pulsaion esω. La pulsaion s exprime en rad.s -. ω = π * f = π 4

3 9/0/06 II.. Valeurs caracérisiques La valeur moyenne d un signal périodique es donnée par : La valeur efficace d un signal périodique es donnée par : 5 II.. eprésenaions des grandeurs sinusoïdales FESNEL A oue grandeur sinusoïdale (de pulsaion ω), on peu associer un veceur ournan à la viesse angulaire ω, de module égal à la valeur efficace de la grandeur, On représene ce veceur à l origine des emps, Il présene alors avec l axe de référence des phases [ox) un angle oriené égal à la phase à l origine de la grandeur (c es le veceur de FESNEL associé). y + φ φ x Nombre complexe associé 6 3

4 9/0/06 exemple : =3.sin () =.sin ( 6 ) Nombre complexe associé 0 =3 V x = A 6 A oue grandeur sinusoïdale, on peu associer un nombre complexe (module = valeur efficace e argumen = phase à l origine), pour l exemple : =(3 ;0) =( ; 6 ) 7 Déphasage du signal sinusoïdal φ 0 es le déphasage de s par rappor à s er cas : si φ 0 > 0 alors s es en avance sur s eprésenaion emporelle eprésenaion vecorielle eprésenaion complexe y + s () s () φ 0 S max x ème cas : eprésenaion emporelle s s () () si φ 0 < 0 alors s es en reard sur s eprésenaion vecorielle eprésenaion complexe y S max + x φ 0 8 4

5 9/0/06 a. Soi z le nombre complexe z=a+jb Axe des imaginaires b eprésenaion graphique φ Axe des réels a z b. Nombre réel Soi z un nombre réel alors z =a Module Argumen c. Nombre imaginaire pur Soi z un imaginaire pur alors z =jb Module Argumen Axe des imaginaires z b a z Axe des réels 9 III. Les dipôles passifs linéaires La résisance i () eprésenaion emporelle u () u * i = eprésenaion vecorielle I U r r u = i r u r = ϕ = 0 i Dans une résisance ension e couran son en phase 0 5

6 9/0/06 eprésenaion emporelle Le condensaeur idéal C i C () u C () i C duc = C * d u C () : valeur de la ension aux bornes du condensaeur à l insan (en Vols) i C () : valeur de l inensié dans le condensaeur à l insan (en Ampères) C : valeur du condensaeur (en Farad F) eprésenaion vecorielle I C eprésenaion complexe U C La bobine idéale i L () L eprésenaion emporelle dil ul = L* d u L () u L () : valeur de la ension aux bornes de la self à l insan (en Vols) i L () : valeur de l inensié dans la self à l insan (en Ampères) L : valeur de l inducance de la self (en Henry H) eprésenaion vecorielle I L U L eprésenaion complexe 6

7 9/0/06 III. Puissances en régime alernaif III.. Puissance acive. Définiion La puissance acive (en Was) es la puissance consommée par la parie résisive du dipôle. P = UI cosϕ = U eff I eff cosϕ 3 III.. Puissance réacive. Définiion La puissance réacive s exprime en VA (Vols Ampères éacifs). Dans une résisance 3. Dans une inducance idéale Une inducance consomme de la puissance réacive. 4. Dans un condensaeur idéal Un condensaeur fourni de la puissance réacive. 4 7

8 9/0/06 III.. Puissance apparene Définiion La puissance apparene s exprime en VA (Vols Ampères) elaion enre puissance apparene e puissances acive e réacive riangle des puissances S φ Q P 5 Calcul de la puissance oale à parir des puissances parielles n récepeurs Généraeur P P P 3 Q Q Q 3 P n Q n L insallaion élecrique consomme une puissance acive P e absorbe ou fourni une puissance réacive Q elles que 8

9 9/0/06 Faceur de puissance Pour un dipôle linéaire en régime sinusoïdal Dans le cas idéal Pour améliorer k, il suffi de mere en parallèle sur la ligne alimenan l insallaion: Composan s idéaux eprésenaio n emporelle eprésenaio n vecorielle eprésenaio n complexe Déphasage ension/coura n Puissance acive Puissance réacive Puissance apparene u * i = I U r r U = I r r U = I Z = ϕ = 0 U = I = I U eff P = Q = 0 eff L dil ul = L* d I L U L U r = Lω L I L Z L = jlω U = jlω L I L π ϕ = P = 0 Q = LωI U eff = Lω eff S = P + Q C duc ic = C * d I C U C r r I = Cω * C U C Z C j = = jcω Cω U = jcω * C I C π ϕ = P = 0 Q = CωU Ieff = Cω eff n P = P i i= n Q = Q i i= S = P + Q P k = = cosϕ S 9

10 9/0/06 Exercices / Deux récepeurs son branchés en série sous 40V, 50Hz. Le premier récepeur inducif es équivalen à une résisance = 50 Ω en série avec une inducance L = 0,5 H ; le deuxième récepeur capaciif es équivalen à une résisance = 50 Ω en série avec une capacié C = 5 µf. - Calculer les impédances complexes de chaque récepeur, puis l impédance complexe équivalene du monage - En déduire la valeur du couran qui raverse le circui. Puis calculer les ensions complexes aux bornes de chaque récepeur. / Les deux récepeurs précédens son mainenan branchés en parallèle sous 40V,50Hz. - Calculer l impédance équivalene du groupemen, - Calculer les courans complexes dans chaque branche du circui. 9 0