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1 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1 Objectif n 1 : Positions relatives de droites et de plans dans l'espace Quelques différences entre la géométrie plane et la géométrie dans l'espace Dans le plan * Par 2 points distincts, il passe une droite et une seule ( on dit aussi que " dans le plan, deux points distincts définissent une droite " ) * On dit que des points du plan sont alignés lorsqu'il existe une droite qui les contient tous. Remarque : deux points sont toujours alignés; ce n'est pas toujours le cas à partir de points. Dans l'espace * Par points non alignés, il passe un plan et un seul ( on dit aussi que " dans l'espace, trois points non alignés définissent un plan " ) * On dit que plusieurs points du plan sont coplanaires lorsqu'il existe un plan qui les contient tous. Remarque : trois points sont toujours coplanaires; ce n'est pas toujours le cas à partir de 4 points. Propriété 1 : soient (d) et (d ) deux droites quelconques. Plusieurs cas se présentent concernant leur position relative : (d) et (d ) parallèles (d) et (d ) coplanaires (d) et (d ) sécantes (d) et (d ) non coplanaires strictement parallèles confondues (d) (d ) = (d) = (d ) (d) (d ) = A Cas particulier : droites perpendiculaires (d) (d ) = Attention! dans l'espace deux droites qui n'ont aucun point commun ne sont pas forcément parallèles. C'est le cas par exemple si elles ne sont pas coplanaires Propriété 2 : soient (P) et (P ) deux plans quelconques. Plusieurs cas se présentent concernant leur position relative : (P) et (P ) parallèles (P) et (P ) sécants strictement parallèles confondus (P) (P ') = (d) (P) = (P ) Cas particulier : plans perpendiculaires (P) (P ) = Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1/16

2 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 2 Propriété : soient (d) et (P) une droite et un plan quelconque. Plusieurs cas se présentent concernant leur position relative : (d) et (P) parallèles (d) et (P) sécants (d) non incluse dans (P) (d) incluse dans (P) (d) (P) = A Cas particulier : droite perpendiculaire au plan (d) (P) = (d) (P) = (D) Exercice 1 : considérons le cube ci-contre. 1. Citer deux droites sécantes. 2. Citer deux droites strictement parallèles.. Citer deux droites non coplanaires. 4. Citer un plan sécant au plan (FGC). 5. Citer deux plans strictement parallèles. 6. Citer une droite sécante au plan (EFA). 7. Citer une droite strictement parallèle au plan 8. Citer une droite incluse dans le plan (DCG). (EHF). 9. Citer deux plans perpendiculaires. 10. Citer deux droites perpendiculaires. 11. Préciser la position relative des plans (EFA) et (GCD). 1. Préciser la position relative de la droite (DG) et du plan (ABE). 15. Préciser la position relative de la droite (DC) et du plan (EHB). 17. Quelle est l'intersection entre le plan (EHB) et la droite (GC)? 12. Préciser la position relative des droites (EF) et (HC). 14. Préciser la position relative des plans (CDF) et (ABE). 16. Préciser la position relative des droites (AG) et (BH) 18. Quelle est l'intersection entre les plans (CDE) et (EFG)? Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 2/16

3 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page Propriété 4 : le tableau ci-dessous résume les principales propriétés concernant le parallélisme dans l'espace : Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles Si (P) et (P ') sont deux plans parallèles, alors tout plan (Q) qui coupe (P) coupe aussi (P ') et les deux droites d'intersection (d) et (d ) sont parallèles Théorème "du toit" : soient (P) et (P ') deux plans sécants. Soit (d) une droite de (P) et soit (d ) une droite de (P '). Si (d) et (d ) sont parallèles, alors la droite d'intersection de (P) et de (P ') est parallèle à (d) et à (d ). (d 1 ) // (d 2 ) (d ) // (d 2 ) (d 1 ) // (d ) Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux Soient (d) et ( ) deux droites sécantes d'un plan (P). Soient (d ) et ( ') deux droites sécantes d'un plan (P '). Si (d) et (d ) sont parallèles et si ( ) et ( ') sont parallèles, alors les plans (P) et (P ') sont parallèles Si une droite (d ) est parallèle à une droite (d) d'un plan (P), alors (d ) est parallèle à (P) (P 1 ) // (P 2 ) (P ) // (P 2 ) (P 1 ) // (P ) Exercice 2 : on se place dans l'espace. Pour chaque proposition ci-dessous, répondre par Vrai (V) ou Faux (F). N Proposition V/F N Proposition V/F 1 points distincts définissent un plan 2 points non alignés définissent un plan 2 droites sécantes définissent un plan 4 1 point et 1 droite définissent un plan 5 7 Une droite ayant au moins 2 points distincts en commun avec un plan est incluse dans ce plan 2 plans ayant au moins points non alignés en commun sont confondus Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page / plans ayant au moins points distincts en commun sont confondus 8 2 droites non sécantes sont parallèles 9 2 plans non sécants sont parallèles 10 Deux droites parallèles sont coplanaires 11 Deux droites non sécantes sont coplanaires Un plan coupe deux plans parallèles selon deux droites parallèles Deux plans perpendiculaires à un même troisième sont parallèles Deux droites incluses dans des plans perpendiculaires sont perpendiculaires. L'ensemble des points équidistants de deux points distincts est une droite. Un point I étant donné, l'ensemble des points M de l'espace tels que IM = 4 est le cercle de centre I, de rayon Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles Une droite parallèle à un plan est parallèle à toutes droites de ce plan Deux droites incluses dans des plans parallèles sont parallèles. Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles L'ensemble des points équidistants de deux points distincts est un plan. L'intersection d'un plan et d'une sphère est : soit..., soit..., soit....

4 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 4 Objectif n 2 : section d'un solide par un plan Considérons un cube ABCDEFGH. Imaginons que l'on coupe ce cube par un plan (P) passant par les milieux de certaines arêtes comme illustré sur la figure ci-contre. La section du cube par le plan (P) est la figure plane formée par l'intersection entre le plan (P) et les faces du cube. Sur la figure ci-contre, il s'agit de l'hexagone IJKLMN. Voici quelques exemples de construction de sections de solide par des plans : Exercice : Sections planes d'un cube Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, on a placé les points M, milieu de [EH], N milieu de [FC] et P tel que HP = 1 HG. 4 On se propose de construire la section du cube ABCDEFGH par le plan (MNP). 1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes. On notera L leur point d'intersection. Placer L sur la figure. 2. a. Justifier que les droites (LN) et (CG) sont sécantes. On note T leur point d'intersection. Placer T sur la figure. b. De même on note Q le point d'intersection des droites (LN) et (BF). Placer Q sur la figure.. Justifier que les droites (MP) et (EF) sont sécantes. On note R leur point d'intersection. Placer R sur la figure. 4. Déterminer l'intersection des plans (ABF) et (MNP) 5. Construire alors la section du cube ABCDEFGH par le plan (MNP). Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 4/16

5 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 5 Exercice 4 : Sections planes d'un tétraèdre. Dans le tétraèdre ci-dessous, I, J, K et L sont respectivement sur les arêtes [AB], [CD], [AC] et [BC] 1. Construire la section du tétraèdre par le plan (KLJ) 2. Construire la section du tétraèdre par le plan (IJL) Exercice 5 : Section d'un pavé. ABCDEFGH est un pavé. I et J sont deux points des arêtes [EF] et [AB]. K est un point de la face EFGH. Tracer la section du pavé par le plan (IJK). Remarque : une petite aide pour l'exercice 5 ( ) Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 5/16

6 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 6 Objectif n : Vecteurs de l'espace - orthogonalité dans l'espace Introduction : La notion de vecteur étudiée en géométrie plane se généralise à l'espace. Ainsi, les vecteurs de l'espace sont définis de la même manière que les vecteurs du plan et ils possèdent les mêmes propriétés (addition, multiplication par un réel, relation de Chasles, etc.). Définitions 5 : * 2 vecteur u et v sont dits colinéaires s'il existe un réel k tel que u = k v * Des vecteurs sont coplanaires lorsque en les représentant à partir d'un même point O, leurs extrémités sont dans un même plan ( 2 vecteurs sont toujours coplanaires; donc la question de vecteurs coplanaires se pose à partir de vecteurs ). Sur la figure ci-contre, en plaçant les vecteurs u, v et w à partir d'un même point O, on constate que les 4 points O, A, B et C sont dans un même plan; donc ces vecteurs sont coplanaires. Propriété 6 : soient u et v deux vecteurs non colinéaires et w un vecteur quelconque. S'il existe deux réels t et t ' tels que w = t u + t ' v alors on dit que les vecteurs u, v et w sont coplanaires. Exercice 6 : on considère le tétraèdre ABCD ci-contre. On appelle I, J, K et L les points définis par : AI = AB ; BJ = BC ; CK = CD ; DL = DA 1. Placer I, J, K et L sur la figure ci-contre. 2. En utilisant la relation de Chasles, exprimer IJ en fonction de AB et de BC. En déduire que IJ et AC sont colinéaires.. Démontrer que LK et AC sont colinéaires. 4. Démontrer que IJKL est un parallélogramme. Que peut-on en déduire pour les points I, J, K et L? 5. Démontrer que la droite (AC) est parallèle au plan (IJK). 6. Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJK). Exercice 7 : on considère le cube ABCDEFGH ci-contre. 1. Placer les points I, Jet K définis par : CI = CG ; EJ = EH ; HK = HG Exprimer AI, AJ et AK en fonction de AB, AD et AE.. Démontrer l'égalité : 2 AI + 2 AJ = AK. Que peut on en déduire pour les vecteurs AK, AJ et AI? Que peut on en déduire pour les points A, I, J et K? Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 6/16

7 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 7 Définition 7 : Soient ( d ) et ( d ) deux droites de vecteurs directeurs u et v, Si les droites ( d ) et ( d ) sont perpendiculaires, on dit que les vecteurs u et v sont orthogonaux ( et on note u v ) Attention : lorsque deux vecteurs u et v sont orthogonaux, deux droites de vecteurs directeurs u et v ne sont pas nécessairement perpendiculaires ( car elles ne sont pas forcément coplanaires donc par forcément sécantes ). On dit qu'elles sont orthogonales. On en déduit donc que deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles sont orthogonales et sécantes. Définition 8 : Une droite ( d ) et un plan (P) sont perpendiculaires lorsque ( d ) est orthogonale à toutes les droites de (P) Définition 9: Soit (P) un plan et soit n un vecteur non nul. Soient A et B deux points tels que AB = n Si la droite (AB) est orthogonale au plan (P), alors on dit que le vecteur n est un vecteur normal au plan (P). Propriété 10 : Pour qu'un vecteur n soit normal à un plan (P), il suffit que n soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (P). Les propriétés suivantes se retiennent facilement de manière intuitive ( faire des figures à main levée pour les retrouver ) : Propriétés 11 : (d) est une droite de vecteur directeur u, (P) et (P ') sont deux plans de vecteurs normaux respectifs n et n'. * u et n orthogonaux (d) et (P) parallèles. * u et n colinéaires (d) et (P) perpendiculaires. n et n' colinéaires (P) et (P ') parallèles n et n' orthogonaux (P) et (P ') perpendiculaires. Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 7/16

8 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 8 Objectif n 4 : Produit scalaire - Repères et coordonnées dans l'espace Produit scalaire ( définition 12 ) : la définition du produit scalaire de deux vecteurs est la même dans l'espace que dans le plan, à savoir : * Si u et v sont deux vecteurs non nuls alors le produit scalaire des vecteurs u et v, noté u. v vaut : u. r r r r v = u v cos( u, v) où u r désigne la norme du vecteur u ( c'est-à-dire "la longueur" du vecteur u ). * Si u ou si v est nul alors u. v = 0. Propriétés 1 : u, v, w désignent trois vecteurs quelconques, t désigne un réel quelconque. * u. v = v. u On dit que le produit scalaire est symétrique * ( t u ). v = t u. v * u. ( t v ) = t u. v * u. ( v + w ) = u. v + u. w Ces quatre résultats se résument en disant que le produit scalaire est linéaire * ( v + w ). u= v. u + w. u Vecteurs orthogonaux ( définition 14 ) : la définition de deux vecteurs orthogonaux est la même dans le plan que dans l'espace, à savoir : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux ( on note u v ) si et seulement si u. v = 0 Dans le plan ( rappels de collège et de 2 nde ) * points O, I et J non alignés constituent un repère du plan, noté ( O; I, J ). Dans l'espace * 4 points O, I, J et K non coplanaires constituent un repère de l'espace, noté ( O; I, J, K ). * En pratique, on se place souvent dans le cas où les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires ( repère orthogonal ). * On note souvent le repère (O; i, j ) en posant i = OI et j = OJ * En pratique, on se place souvent dans le cas où les droites (OI), (OJ) et (OK) sont 2 à 2 perpendiculaires ( repère orthogonal ). * On note souvent le repère (O; i, j, k ) en posant i = OI, j = OJ et k = OK Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 8/16

9 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 9 * Les coordonnées d'un point A se notent A ( x A ; y A ) ( l'abscisse et l'ordonnée ); les coordonnées du vecteur OA se notent * Plus généralement, on note : r xr u u y r u * Si A ( x A ; y A ) et si B ( x B ; y B ), alors Dans un repère orthonormal du plan, on a : Si u a b et si v a ' b ' x A OA y A. x B x A AB y B y A sont deux vecteurs quelconques et si A ( x A ; y A ) et si B ( x B ; y B ) sont deux points quelconques, alors : * Les coordonnées d'un point A se notent A ( x A ; y A ; z A ) ( l'abscisse, l'ordonnée et la côte); les coordonnées du vecteur OA se notent OA * Plus généralement, on note : xr r u u yr u z r u x A y A z A. * Si A ( x A ; y A ; z A ) et si B ( x B ; y B ; z B ), alors AB Dans un repère orthonormal de l'espace, on a : Si u a b c et si v a ' b ' c x B x A y B y A z B z A sont deux vecteurs quelconques et si A ( x A ; y A ; z A ) et si B ( x B ; y B ; z B ) sont deux points quelconques, alors : * u. v = a a ' + b b ' * u. v = a a ' + b b ' + c c ' * u r = a² + b² * u r = a² + b² + c² * AB = ( x B x A )² + ( y B y A )² * AB = ( x B x A )² + ( y B y A )² + ( z B z A )² * Critère d'orthogonalité dans le plan u et v sont orthogonaux si et seulement si : a a ' + b b ' = 0 * Critère d'orthogonalité dans l'espace : u et v sont orthogonaux si et seulement si : a a ' + b b ' + c c = 0 Exercice 8 : considérons le repère ( O; i, j, k ) ci-contre. Dans ce repère, on a A = ( 1 ; 2 ; ). 1. Lire les coordonnées des points B, C et D. B (... ;... ;... ) C (... ;... ;... ) D (... ;... ;... ) 2. Placer les points suivants : E ( 1 ; 4 ; 2 ) F ( 5 ; 4 ; 1 ) G ( 4 ; 2 ; 0 ). Calculer les coordonnées des vecteurs suivants : AB CD i + j Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 9/16

10 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 10 Exercice 9 : On considère le parallélépipède ABCDEFGH ci-contre. 1. On nomme I le milieu de [AB], K celui de [EG]. P et Q les points définis par AP = 1 Placer ces points sur la figure. AE ; BQ = 1 BG et J le milieu de [PQ]. 2. a. Déterminer les coordonnées des points I et P dans le repère (A; AB, AD, AE ) b. Exprimer AQ en fonction de AB, AD et AE. En déduire les coordonnées de Q dans le repère (A; AB, AD, AE ). c. En procédant de la même manière, déterminer les coordonnées des points J et K dans le repère (A; AB, AD, AE ). En déduire les coordonnées de IJ et de IK dans ce même repère. 4. Démontrer que I, J et K sont alignés. Exercice 10 : soit ABCD un tétraèdre régulier (c'est à dire que toutes les arêtes sont de même longueur, toutes les faces étant donc des triangles équilatéraux). Supposons que toutes les arêtes mesurent 4 cm. 1. Dessiner la face ABC en vraie grandeur. 2. Démontrer l'égalité : BC. BA = 8.. De la même façon, on démontrerait l'égalité : BC. BD = 8. En utilisant la relation de Chasles et la linéarité du produit scalaire, en déduire l'égalité : BC. DA = Que peut-on en conclure pour les arêtes [BC] et [AD]? Remarque : de la même façon, on démontrerait que [AB] et [CD] sont orthogonales et que [AC] et [BD] sont orthogonales. De façon plus générale, les arêtes opposées d'un tétraèdre régulier sont orthogonales. Exercice 11 : dans un repère orthonormal de l'espace, on considère les points D ( 1 ; 2 ; 2 ) ; E ( 2 ; ; 2 ) ; F ( 0 ; ; 2 ) et G ( 1 ; 2 ; ). 1. Démontrer que les droites (DE) et (DF) sont orthogonales. 2. Démontrer que les points E, F et G sont situés sur une même sphère S 1 de centre D. Préciser son rayon.. Soit M ( x ; y ; z ) un point quelconque de la sphère S 1. On a alors DM = 2 ou encore DM ² = 2. Traduire l'égalité DM ² = 2 à l'aide de x, y et z et en déduire une équation cartésienne de la sphère S Soit S 2 la sphère de diamètre [EG] et soit M ( x ; y ; z ) un point quelconque de cette sphère S 2. On a alors (ME) (MG). En déduire la valeur du produit scalaire ME. MG Traduire ce produit scalaire à l'aide de x, y et z et en déduire une équation cartésienne de la sphère S 2. Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 10/16

11 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 11 Objectif n 5 : Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace Exercice 12 : Soient A et B deux points distincts de l'espace. 1. Soit M un point quelconque de la droite (AB). Faire une figure et repasser le vecteur AB en rouge et le vecteur AM en vert. 2. On déduit de la figure précédente que M appartient à (AB) si et seulement si AM et AB sont..., c'est à dire s'il existe un réel quelconque t tel que AM = t AB.. Plaçons nous dans un repère et supposons que dans ce repère, A et B ont pour coordonnées A ( 2 ; 1 ; ) et B ( 1 ; 0 ; 5 ). Nommons x, y et z les coordonnées de M ; M ( x ; y ; z ) D'après la question 2, M appartient à (AB) si et seulement si AM = t AB. Traduire cette égalité vectorielle en égalités sur les coordonnées puis compléter : x =... y =... z =... On dit que ce système est une représentation paramétrique de la droite (AB) ( t est le paramètre ) 4. Chaque valeur du paramètre t permet de déterminer les coordonnées d'un point de (AB). Par exemple, pour t = 0, on retrouve les coordonnées du point A. Déterminer les coordonnées du point C de correspondant à la valeur t =. 5. Le point D ( 8 ; ; 2 ) appartient-il à la droite (AB). Justifier. Exercice 1 : dans chacun des cas suivants, déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A et de vecteur directeur u 1 ) A ( 2 ; ; 1 ) et u ) A ( x A ; y A ; z A ) et u a b c On déduit de cet exercice le résultat suivant : Définition et propriété 15 : * Soit A ( x A ; y A ; z A ) un point de l'espace et u a b c un vecteur non nul de l'espace. Soit (D) la droite passant par A et de vecteur directeur u Un point M ( x ; y ; z ) appartient à (D) si et seulement si : x = x A + t a y = y A + t b z = z A + t c Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite (D) ( t R ) * Réciproquement l'ensemble E des points M ( x ; y ; z) du plan dont les coordonnées vérifient le système x = + t a y = + t b Cette droite passe par le point A ( ; ; ) et a pour vecteur directeur u a b c. z = + t c est une droite. Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 11/16

12 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 12 Exercice 14 : l'espace est muni d'un repère ( O; i, j, k ). x = 2 + t Considérons la droite (d) dont la représentation paramétrique est : y = 5 t z = 2t 1, t R. Considérons la droite (d ) dont la représentation paramétrique est : x = 9 2t ' y = 4 z = 2 t ', t ' R. 1. Sans aucun calcul, déterminer les coordonnées d'un point A de la droite (d) et d'un vecteur directeur u de la droite (d). 2. Même question pour un point B et un vecteur directeur v de la droite (d').. Le point appartient C ( 12,5 ; 1,5 ; 6 ) appartient- il à la droite (d)? Justifier. 4. Le vecteur w 4,5 1,5 5. Les droites (d) et (d ) sont-elles parallèles? est-il un vecteur directeur de la droite (d)? Justifier. 6. Les droites (d) et (d ) sont-elles sécantes? Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection I. Exercice 15 : l'espace est muni d'un repère ( O; i, j, k ). On considère les droites (d 1 ) et (d 2 ) dont les représentations paramétriques sont : Droite (d 1 ) : x = 4 + t y = 6 + 2t z = 5 2t t R x = 8 + 5t ' Droite (d 2 ) : y = 2 2t ' z = 10 + t t ' R Cinq affirmations sont proposées ci-dessous. Pour chacune d'elle, indiquer si celle ci est vraie ou fausse, en justifiant les réponses. 1. Le point A (1 ; 0 ; 11 ) appartient à la droite (d 1 ). 2. Le vecteur u Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont parallèles. 4. Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes. est un vecteur directeur de (d 2 ). 5. Les droites (d 1 ) et (d 2 ) ne sont pas coplanaires. Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 12/16

13 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1 Objectif n 6 : Equation cartésienne d'un plan Exercice 16 : dans un repère orthonormal de l'espace, on considère le point A ( 1 ; 2 ; 2 ) et le vecteur n Appelons (P) le plan passant par A et de vecteur normal n. Soit M ( x ; y ; z ) un point quelconque de l'espace. M appartient à (P) si et seulement si les vecteurs AM et n sont orthogonaux c'est-à-dire : M (P) AM. n = 0 1. Traduire cette égalité à l'aide de x, y et z. L'équation obtenue s'appelle une équation cartésienne de (P) Le point B ( 2 ; 5 ; 1 ) appartient il à (P)? Justifier. Cet exercice met en évidence la propriété suivante. Propriété 16 : dans un repère orthonormal, tout plan de vecteur normal n ax + by + cz + d = 0 a b c a une équation cartésienne de la forme Exercice 17 : on se place dans un repère orthonormal de l'espace. Déterminer une équation cartésienne des plans (P 1 ) et (P 2 ) ci-dessous : (P 1 ) passant par A ( 1 ; 0 ; 1 ) de vecteur normal n On admet la réciproque de la propriété précédente : 1 2. (P 2 ) plan médiateur de [CD] avec C ( 1 ; ; 1 ) et D ( 0 ; 5 ; ). Propriété 17 : dans un repère orthonormal, l'ensemble des points M ( x ; y ; z ) vérifiant ax + by + cz + d = 0 ( avec ( a ; b ; c ) ( 0 ; 0 ; 0 ) ) est un plan de vecteur normal a n b Remarque : si l'espace est muni d'un repère ( O; i, j, k ). c * le plan ( O; j, k ) a pour équation x = 0. Tout plan parallèle au plan ( O; j, k ) a une équation de la forme : x = a ( a R ) * le plan ( O; i, k ) a pour équation y = 0. Tout plan parallèle au plan ( O; i, k ) a une équation de la forme : y = b ( b R ) * le plan ( O; i, j ) a pour équation z = 0. Tout plan parallèle au plan ( O; i, j ) a une équation de la forme : z = c ( c R ) Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1/16

14 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 14 Exercice 18 : dans un repère orthonormal de l'espace, on considère : Le plan (P 1 ) d'équation 2x y + z = 1. Le plan (P 2 ) d'équation x 2y + z + 5 = Déterminer les coordonnées d'un vecteur n 1 normal de (P 1 ). Le vecteur m Déterminer les coordonnées d'un vecteur n 2 normal de (P 2 ). Le vecteur m 2 6. Les plans (P 1 ) et (P 2 ) sont-ils parallèles? Justifier. 4. Les plans (P 1 ) et (P 2 ) sont-ils perpendiculaires? Justifier. 4 est-il normal à (P 1 )? Justifier. est-il normal à (P 2 )? Justifier. 5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A ( 1 ; 2 ; ) et perpendiculaire au plan (P 1 ). 6. Déterminer une équation cartésienne du plan (P ) passant par A ( 1 ; 2 ; ) et parallèle au plan (P 1 ). Exercice 19 : dans un repère orthonormal de l'espace, on considère : * la droite (d) de représentation paramétrique x = 1 + t y = 2t z = 1 t t R * le plan (P) d'équation cartésienne : 2x y + z 1 = 0 * la sphère (S) d'équation cartésienne : x² + y² + z² 4x + 6y + 2z + 14 = 0 1. Démontrer que (d) et (P) sont sécants. 2. Nommons I le point d'intersection de (d) et (P). Déterminer les coordonnées de I.. Déterminer si (d) et (S) sont sécants. Exercice 20 : dans un repère orthonormal de l'espace, on considère : * les points A ( 1 ; 2 ; 1 ) ; B ( ; 1 ; 0 ) et C ( 2 ; 1 ; 4 ), * le plan (P) d'équation cartésienne 4x 6y + 2z + 7 = 0, * le plan (P') passant par C et perpendiculaire à la droite (AB). 1. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB). 2. Déterminer une équation cartésienne de (P').. Les plans (P) et (P') sont-ils parallèles? Justifier. 4. La droite (BC) et le plan (P) sont-ils sécants? Justifier. Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 14/16

15 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 15 Objectif n 7 : En route vers le bac... Exercice 21 : Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points : A ( 5 ; 5 ; 2 ) ; B ( 1 ; 1 ; 0 ) ; C ( 0 ; 1 ; 2 ) et D ( 6 ; 6 ; 1 ). 1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire. 2. a. Montrer que le vecteur n 2 1 b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD) est un vecteur normal au plan (BCD).. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. 4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite (d) et du plan (BCD) 5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule V = 1 la hauteur correspondante. B h où B est l'aire d'une base du tétraèdre et h 6. On admet que AB = 76 et que AC = 61. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré de l'angle a BAC Exercice 22 : On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-contre dans lequel AB = 6 ; AD = 4 et AE = 2. I, J et K sont les points tels que : AI = AB ; AJ = AD et AK = AE On se place dans le repère orthonormé ( A ; AI, AJ, AK ) Vérifier que le vecteur n de coordonnées 2. Déterminer une équation du plan (IJG). 2 9 est normal au plan (IJG). Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF). 4. Tracer la section du pavé ABCDEFG par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure donnée en annexe ci-dessous. On ne demande pas de justification. Annexe : Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 15/16

16 Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 16 Exercice 2 : Dans un repère orthonormé (O, I, J, K ) d'unité 1 cm, on considère les points A ( 0 ; 1 ; 5 ) ; B ( 2 ; 1 ; 5 ) ; C ( 11 ; 0 ; 1 ) et D ( 11 ; 4 ; 4 ) Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde. Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde. A l'instant t = 0, le point M est en A et le point N est en C. On note M t et N t les positions de M et de N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif. On admet que M t et N t ont pour coordonnées : M t ( t ; 1 ; 5 ) et N t ( 11 ; 0,8 t ; 1 + 0,6 t ). Les questions 1 et 2 sont indépendantes. 1. a. La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel? b. La droite (CD) se trouve dans un plan P parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel? On donnera une équation de ce plan P. c. Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan P, coupe ce plan au point E ( 11 ; 1 ; 5 ). d. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes? 2. a. Montrer que M t N t 2 = 2 t² 25,2 t b. A quel instant t, la longueur M t N t est-elle minimale? Exercice 24 : Partie A : un calcul de volume sans repère. On considère une pyramide équilatère SABCD ( pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux ) représentée ci-contre. Les diagonales du carré ABCD mesurant 24 cm. On note O le centre du carré ABCD. On admettra que OS = OA. 1. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite SO est orthogonale au plan (ABC). 2. En déduire le volume, en cm, de la pyramide SABCD. Partie B : dans un repère On considère le repère orthonormé ( O; OA, OB, OS ). On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS]. a. Justifier le vecteur n de coordonnées 1 1 b. En déduire une équation cartésienne du plan (PQC). est un vecteur normal au plan (PQC). 4. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC). a. Donner une représentation paramétrique de la droite (SH). b. Calculer les coordonnées du point H. c. Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume. Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 16/16