Chapitre 8 Produit scalaire.

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1 Chapitre 8 Produit scalaire I - Définitions équivalentes Origine du produit scalaire (Physique) Le travail d une force : W AB ( = Calculer le travail de la force F 1 d intensité 3 et le travail de la force F 2 d intensité 2 Rappel : Soit un vecteur et soit A et B deux points tels que : La norme d un vecteur notée, est donnée par : = Dans un repère orthonormé, si a pour coordonnées, alors : Voir quelques propriétés p 350 A ) Définitions géométriques Définitions : Si et sont deux vecteurs non nuls, tels que et leur produit scalaire est le nombre réel, noté défini par : Ici, on parle de travail mécanique Si le travail est positif, le travail est dit moteurl angle est compris entre 0 et 90 Si le travail est négatif, le travail est dit résistant l angle est compris entre 90 et 180 On peut rappeller que sous certaines conditions, on a les variations d énergie cinétique suivantes E c (B)- E c (A) = AB( ext ) L énérgie cinétique est l énergie qui dépend du mouvement, de la vitesse et du poids Si et sont deux vecteurs nuls, Exemple : Calculer le produit scalaire D où = 5 3 Illustration : une balle tirée d un pistolet a plus d énergie cinétique que la même balle lancée à la main La balle est tirée sur une pomme et on considère qu il y a conservation d énergie mécanique, Si la balle est lancée à la main, la pomme va uniquement se déformer pour absorber la petite quantité d energie Si la balle est tirée au pistolet, la pomme va exploser pour absorber la grande quantité d energie

2 Propriété : B ) Produit scalaire et normes Propriété : Pour tous vecteurs et, on a : Où H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB) Démonstration en exercice C ) Produit scalaire en repère orthonormé Si, on a : AH = AC cos * Si et π, on a : - AH = AC cos ** Propriété : Dans un repère orthonormé, soit et deux vecteurs alors : Démonstration en exercice Exemple : Dans chacun des cas suivants, choisir l expression la plus adaptée pour calculer le produit scalaire * cos ** cos (π - ) = Corollaire : où H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB) Le produit scalaire du vecteur par lui-même est appelé carré scalaire de, noté On a puisque cos

3 II - Propriétés algébriques du produit scalaire III - Application au calcul de longueurs et d angles Propriétés : Pour tous vecteurs et du plan et pour tout réel k, on a : Symétrie : ; Théorème de la médiane : Soit A,B et M trois points du plan, et I le milieu du segment [AB] Alors : Linéarité : ; Identités remarquables : D où en développant, on obtient : = Voir livre p 352 pour une reformulation Symétrie : Or Et car Linéarité : On peut utiliser l expression du produit scalaire en repère orthonormé Si Et on obtient : Faire la deuxième alors Identités remarquables : Il suffit de "développer" Donc Ce théorème permet de calculer les longueurs des médianes d un triangle lorsqu on connait les longueurs des trois côtés Théorème d Al-Kashi (Pythagore généralisé) Soit ABC un triangle indication

4 Exemple : Déclic ABCD est un parallélogramme de centre I On sait que : AB = 7 cm, AD = 5cm et BD = 8cm 1) Déterminer la longueur de la diagonale [AC] 2) Déterminer les angles du parallélogramme à 1 près 3) En déduire l aire de ABCD 1) Les diagonales du parallélogramme ABCD se coupent en leur milieu donc AC = 2AI En appliquant le th de la médiane dans le triangle ABD, on a : D où et donc AI = 2) Le Théorème d Al-Kashi dans le triangle ABD donne : Soit d où Comme cette valeur du cosinus n est pas une valeur remarquable, on utilise la calculatrice mise sous mode degré ; d où est un angle supplémentaire de, donc : ; d où 3) En appelant H le projeté orthogonale de D sur (AB), l aire S de ABCD est donnée par : Comme, Dans le chapitre suivant, nous nous placerons dans un repère orthonormé (O ; ) soit parce qu il sera donné explicitement soit parce qu il sera induit implicitement par le calcul du cos expliqué dans le chapitre 5 (O ; I ; J) avec OIJ triangle isocèle rectangle en O et OI= 1 Les démonstrations pourront donc être réalisées à l aide des coordonnées On a vu dans les démonstrations des propriétés que le calcul du produit scalaire ne dépendait que de l unité de longueur choisie et non du repère IV - Orthogonalité A ) Vecteurs orthogonaux Définition : Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque, c est-à-dire lorsque l angle ( est droit (de mesure ou modulo [2π] ou bien l un des vecteurs est nuls Remarque : Dans un repère orthonormé (O ; I ; J) les vecteurs sont orthogonaux Exemple : Soit A(2 ;1), B(1 ;4) et C(8 ;3) trois points du plan Montrer que le triangle ABC est rectangle en A Réponse : Coordonnées de et donc les vecteurs et sont orthogonaux donc les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires et donc le triangle ABC est rectangle en A et Et donc l aire cherchée est : S = 7 5 cm²

5 B ) Vecteur normal à une droite C ) Equation d un cercle de diamètre [AB] Propriété et définition : Soit un vecteur non nul et A un point du plan L ensemble des points M du plan tels que est une droite D, passant par A, et dirigée par un vecteur orthogonal à On dit que est un vecteur normal à la droite D Propriété : Dans un repère orthonormé (O ; deux points distincts L ensemble des points M du plan tels que diamètre [AB] Une équation cartésienne de C : ), on considère A et B est le cercle C de Remarquons que c est une équation de degré deux en x et y, donc A est un point de l ensemble de point cherché Dans un repère orthonormé (O ; ) : on a : A ; M et donc avec On reconnait l équation d une droite D de vecteur directeur Et comme, on a donc bien qui est orthogonal à ou le triangle AMB est rect en M M appartient au cercle de diamètre [AB] M C D ) Equation d un cercle défini par son centre et son rayon Propriété : Dans un repère orthonormé (O ; ), on considère un point A et un réel R strictement positif Le cercle C de centre A et de rayon R est l ensemble des points M du plan tels que :AM = R ou encore AM² = R ou encore = R Une équation cartésienne du cercle C est alors : Corollaire : Dans un repère orthonormé, le vecteur est normal à la droite D si et seulement si, D admet une équation cartésienne de la forme où c est un réel quelconque

6 E ) Résumé des connaissances pour obtenir une équation 1) sont colinéaires det = 0 2) = 0 3) M appartient au cercle de diamètre [AB] 4) Exemple : Dans un repère orthonormé (O ; A(1 ; 5) et B(3 ; 1) ) : on donne les points 1) a) Déterminer une équation du cercle C de diamètre [AB] b) Préciser parmi les points suivants ceux qui appartiennent à C D(3 ; 5) et E(7 ;3) 2) a)déterminer une équation de la droite (BE) b) Le point F de coordonnées (40 ;20) appartient-il à (BE)? 3) Notons (m) la médiatrice du segment [DE] a) Calculer les coordonnées du milieu I de [DE] b) Déterminer un vecteur normal de la droite (m) c) En déduire une équation de la droite (m) 4) Retrouver une équation de chacun des ensembles des parties 1), 2) et 3)