TD 7 Fonctions usuelles
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- Victorien St-Georges
- il y a 5 ans
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1 TD 7 Fonctions usuelles Objectifs et savoir-faire Connaître les fonctions usuelles de référence et leurs principales propriétés. Connaître quelques inégalités concernant les fonctions de référence. Connaître et eploiter quelques limites usuelles (notamment les croissances comparées). Étudier une fonction. Propriétés des fonctions usuelles de références Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est continue sur R mais n est dérivable que sur R. Sur R sa dérivée est la fonction constante égale à et sur c est la fonction constante égale à. R + Fonction partie entière La fonction partie entière : : R Z est continue sur R \ Z et elle est continue à droite mais pas à gauche au entiers. Fonctions polynomiales et rationnelles Une fonction p définie sur une partie de R et à valeurs réelles est une fonction polynomiale, ou un polynôme, lorsqu il eiste un entier n et des nombres réels a, a,..., a n tels que, pour tout R, on ait : Une fonction polynomiale est dérivable sur R. p() = a n n + a n n + + a + a. On dit qu une fonction est rationnelle lorsqu elle est le quotient de deu fonctions polynomiales. Par eemple : R R, 7 3 est une fonctions rationnelle. Notons également qu une fonction polynomiale est a fortiori une fonction rationnelle. Une fonction rationnelle est définie sur R sauf au racines du polynôme qui est au dénominateur et est dérivable sur cet ensemble. + Fonction eponentielle On rappelle qu il eiste une unique fonction définie sur R et à valeurs dans R, notée ep : R R et appelée fonction eponentielle, telle que : ep() = et R, ep () = ep().
2 Remarques Pour tout R, on a : ep() et ep( ) = ep(). Pour tout (, y) R, on a : ep( + y) = ep()ep(y). 3 On pose e = ep() et on note e = ep(). Pour tout nombre rationnel r Q, on a alors ( e ) r = e r ce qui légitime la notation. 4 Pour tout R, on a ep() > donc ep est strictement croissante sur R. 5 On a ep() = et ep est strictement croissante donc e pour tout et e pour tout. 6 On a : e. 7 Pour tout réel, on a e + avec égalité si et seulement si =. En particulier, pour tout R, on a : e. 8 On en déduit que e. 9 On a : e +. Pour tout réel, on a e = e donc e tend vers lorsque tend vers i.e. Le tableau de variations et le graphe de l eponentielle sont donc les suivants : ep () + + ep() e +. e y = e y = + ECS- Fermat 7-8 Sébastien PELLERIN
3 3 Précisons certaines limites. Lemme e. Démonstration Géométriquement, on dit que le graphe de l eponentielle admet une branche parabolique de direction asymptotique (Oy). Proposition Pour tout n N, on a : e n et n e. Démonstration Fonction logarithme népérien La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R donc elle réalise une bijection de R vers son image R +. Sa fonction réciproque est la fonction logarithme népérien : Remarques ln : ], [ R ln(). Comme ep est strictement croissante sur R, ln est strictement croissante sur ],[. Comme ep est continue sur R, ln est continue sur ],[. 3 La fonction ln est dérivable sur ],[ et on a : 4 D après les limites de ep, on a : lim ln() = et lim + 5 Pour tout (, y) ],[, on a : ln( y) = ln() + ln(y). 6 Pour tout ],[, on a : ln ( ) = ln(). >, ln () = ep (ln()) = ep(ln()) =. ln() =. 7 Pour tout nombre rationnel r Q et tout ],[, on a : ln( r ) = r ln(). Sébastien PELLERIN ECS- Fermat 7-8
4 4 8 Comme ln() = et ln () =, on a : ln() i.e. ln( + t). t t 9 Pour tout réel >, on a ln() ; de plus, il n y a égalité que pour =. Le tableau de variations et le graphe du logarithme népérien sont donc les suivants : y = ln + + e ln y = ln() Proposition 3 Pour tout n N, on a : ln() n + et n ln() + +. Démonstration Fonctions puissances Soit α un réel, on appelle fonction puissance d eposant α l application : ϕ α : ],[ R α = e αln(). Si α N alors on retrouve les fonctions puissances déjà connues. Proposition 4 Pour tout réel α, la fonction ϕ α est dérivable sur ],[ et on a : ϕ α () = αα. Cette formule généralise la formule connue pour des eposants entiers. Cas où α > Cas où α < ϕ α() + α + ϕ α() α ϕ α () ϕ α () ECS- Fermat 7-8 Sébastien PELLERIN
5 5 α > α = < α < α = α < α < Fonctions circulaires Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur R, à valeurs dans [,], -périodiques et dérivables sur R avec pour tout R : cos () = sin() et sin () = cos(). La variable désigne une mesure d angle eprimée en radians. La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. { } La fonction tangente est définie sur R \ + k / k Z = k Z tan() = sin() cos(). ] + k, + k [ par : Il s agit d une fonction impaire, -périodique, dérivable sur son ensemble de définition et qui vérifie pour tout tan () = cos () = + tan (). ] [, : La fonction sinus est -périodique et impaire, il suffit donc de connaître ses variations sur l intervalle [,] pour en déduire ses variations sur R. sin () + sin() 3 y = sin() 3 Sébastien PELLERIN ECS- Fermat 7-8
6 6 La fonction cosinus est -périodique et paire, il suffit donc de connaître ses variations sur l intervalle [,] pour en déduire ses variations sur R. cos () cos() y = cos() La fonction tangente est -périodique et impaire, il suffit donc de connaître ses variations sur l intervalle [, [ pour en déduire ses variations sur son ensemble de définition. Pour tout ], [, on a tan () = + tan () > donc la fonction tangente est strictement croissante sur ], [. tan () + tan() Il faut prendre garde au fait que la fonction tangente n est pas globalement croissante puisqu elle est périodique. ECS- Fermat 7-8 Sébastien PELLERIN
7 7 Eercices pour s entraîner Eercice 7- Donner les tableau de variations des fonctions f données ci-dessous sur la partie D de R indiquée.. = 3 3 D = R. = e D = R 3. = + e D = R 4. = ln() D =],[ 5. = 4 D =],[ ]4,[ 6. = D =],4[ 4 7. = e + D = R 8. = e D =],[ ],[ 9. = e D =],[. = ln( + ) D = R. = 4 + D = R. = cos() ( cos() ) D = R ( ( )) 3. = ln tan D =],[ Eercice 7- Soit f : R R définie par = +.. Montrer que f réalise une bijection de R dans ],[.. Donner une epression de f. Sébastien PELLERIN ECS- Fermat 7-8
8 8 Correction des eercices Eercice 7-. f () = 6( ) f () + +. f () = e f () + 3. f () = ( )e f () + 4. f () = (ln() + ) + e e f () + 5. f () = 4 e 4 f () + 6. f () = ( )(4 ) 3 4 f () + 7. f () = e f () + 8. f () = e f () 9. = ( )e f () +. = + = ( )(+) + e f () + + ln() ln(). f () = ( +) 4 + f () +. f -périodique et paire d où l étude sur [,] f () = sin() ( cos() ) 3 f () f () = cos ( ) ( ) tan = ( ) ( sin cos ) = sin() f () + Eercice 7-. Tout d abord, la fonction f est impaire. De plus, la fonction valeur absolue est continue sur R et dérivable sur R, donc il en est de même de f et on a : >, = + donc >, f () = ( + ). En fait, f est également dérivable en avec f () = puisque : Enfin, pour >, on a : f () = +. = +. On en déduit le tableau de variation et la représentation graphique de f : f () + + f() La fonction f est continue et strictement croissante sur R donc f réalise une bijection de R vers ],[.. Soit > et y ],[, alors De même, si < et y ],[, alors y = y = + y + y = = y y. y = y = y y = = y + y. La fonction f est donc définie, pour tout y ],[, par f y (y) =. y ECS- Fermat 7-8 Sébastien PELLERIN
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