MATHÉMATIQUES II. polynômes annulateurs de u dont le coefficient de plus haut degré est égal à 1. est appelé polynôme minimal de u.

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1 MATHÉMATIQUES II Dans ou le problème, n es un enier naurel supérieur ou égal à 1 On considère un espace euclidien E de dimension n On noe ( xy) le produi scalaire de deux veceurs x e y e xa x la norme associée Pour u L( E), on noe u son adjoin, χ u son polynôme caracérisique e Sp( u) l ensemble de ses valeurs propres On noe π u le généraeur de l idéal des polynômes annulaeurs de u don le coefficien de plus hau degré es égal à 1 es appelé polynôme minimal de u π u L endomorphisme u de E es di anisymérique lorsque u u On noe, SE ( ), AE ( ) e OE ( ) les sous-ensembles de LE ( ) formés respecivemen des endomorphismes symériques, anisymériques, orhogonaux Si F es un sous-espace de E sable par u, on noe u F l endomorphisme de F indui par u On noe P( E) l ensemble des endomorphismes u de E els que u soi un polynôme en u e N( E) l ensemble des endomorphismes u de E qui commuen avec leur adjoin, donc : P( E) { u L( E) u IR[ u] }, N( E) { u L( E) ( u o u uo u ) } Le bu du problème es d éudier e comparer les deux ensembles P( E) e N( E) On noe M n ( IR) l ensemble des marices carrées réelles de aille n e S n, A n e O n les sous-ensembles de M n ( IR) formés respecivemen des marices symériques, anisymériques, orhogonales Pour A M n ( IR), on noe χ A son polynôme caracérisique e π A son polynôme minimal, c es-à-dire le polynôme minimal de l endomorphisme de IR n canoniquemen associé à A On noe A la ransposée de A Deux marices A e B son dies orhogonalemen semblables lorsqu il exise P el que B P 1 AP O n P n A M n IR On noe l ensemble des marices de ( ) elles que A peu s exprimer comme un polynôme en A, donc : P n A M n IR N n A M n IR { ( ) A IR[ A] }, e de manière analogue : { ( ) AA AA } Les paries I e II son indépendanes Concours Cenrale-Supélec 003 1/7

2 Parie I - Généraliés sur P( E) e P n IA - IA1) Soien A e B les deux marices d un même endomorphisme de E rapporé à deux bases orhonormales Monrer que A e B son orhogonalemen semblables IA) Soi u un endomorphisme de E e A sa marice sur B, une base orhonormale de E Éablir un rappor enre l apparenance de u à P( E) (resp N( E) ) e l apparenance de A à P n (resp N n ) Dans la suie du problème, on pourra exploier ce rappor pour répondre à ceraines quesions IA3) Monrer que P( E) N( E) e que P n N n IB - IB1) Vérifier que SE ( ) P( E) e AE ( ) P( E) IB) Quelles son les marices riangulaires supérieures qui appariennen à P n? En déduire que si n, on a P( E) LE ( ) IB3) Soi u L( E) admean, sur une ceraine base B de E, une marice riangulaire supérieure Monrer qu il exise une base orhonormale B' de E, elle que les marices de passage de B à B' e de B' à B soien riangulaires supérieures Monrer que la marice de u dans B' es riangulaire supérieure En déduire les élémens u P( E) qui son rigonalisables IB4) On suppose que u es un auomorphisme de E ; monrer que u adme un polynôme annulaeur P el que P() 0 0 En déduire que u 1 peu s écrire comme un polynôme en u En déduire que OE ( ) P( E) IC - IC1) Monrer que si A P n e A 0, alors il exise un unique polynôme réel que l on noe P A, el que degré ( P A ) < degré ( π A ) e P A ( A) A Si A es la marice nulle, on convien que es le polynôme nul Concours Cenrale-Supélec 003 /7 P A

3 Énoncer le résula correspondan pour u P( E) IC) Déerminer les marices A de P n pour lesquelles P A es un polynôme consan IC3) Déerminer les marices A de P n pour lesquelles P A es du premier degré On rappelle que oue marice carrée s écri comme somme d une marice symérique e d une marice anisymérique IC4) Soien A e B deux marices orhogonalemen semblables Monrer que si A P n alors B P n e P A P B ID - Décrire les élémens A de P e calculer les P A correspondans IE - Soi A A 1 0 avec A 1 P n1, A P n 0 A P A IE1) On suppose que π A1 e π A son premiers enre eux Monrer l exisence de deux polynômes U e V els que : P A1 ( P A1 P A )U π A1 P A + ( P A1 P A )V π A Calculer A m pour m enier posiif quelconque, puis P( A) pour P P A1 ( P A1 P A )Uπ A1 En déduire que A P n1 + n IE) Explicier π A en foncion de π A1 e π A Commen rouver P A connaissan π A1, π A, e le polynôme P défini par : P P A1 ( P A1 P A )Uπ A1? IF - Soi A Vérifier que A P 4 e calculer avec la méhode précédene N E Parie II - Éude de ( ) e N n IIA - Monrer que si u N( E) e P IR[ X ], alors Pu ( ) N( E) IIB - Soien u N( E) e x E Monrer que ux ( ) u ( x) En déduire que u e u on le même noyau Concours Cenrale-Supélec 003 3/7

4 IIC - Soi m un enier, m> 0 On suppose donné un endomorphisme f anisymérique inversible de l espace IR m muni de son produi scalaire canonique IIC1) Comparer les déerminans de f e f En déduire que m es pair IIC) On considère les applicaions n e g définies sur IR m par nx ( ) x e gx ( ) f( x) e l applicaion q : U IR m f( x) \{ 0} a IR définie par qx ( ) Monrer que n e g son de classe C 1 sur IR m e que leurs différenielles en x fixé son les formes linéaires h a ( xh) e h a ( f( x) f( h) ) Monrer que l applicaion q es de classe C 1 sur IR m \{ 0} e déerminer sa différenielle en x, en calculan dq( x) ( h) au moyen de produis scalaires e de normes On noe S { x U x 1} Monrer que l ensemble des valeurs prises par q sur S coïncide avec l ensemble des valeurs prises par q sur U Monrer que la foncion q adme un maximum sur IR m \{ 0} e que ce maximum es aein en un poin x 0 S Monrer que, pour ou h, on a ( f( x 0 ) f( h) ) f( x 0 ) ( x 0 h) En déduire que Π Vec( x 0, f( x 0 )) es un plan sable par f Donner une base orhonormale de Π e exprimer la marice de f Π relaive à cee base IIC3) Monrer qu il exise une base orhonormale de IR m elle que : M B ( f ) τ τ O M 0 b avec τ e pour i i b i 0 i 1,, m b i τ m ---- IID - Soi u L( E) e E 1 E un sous-espace sable par u e u On noe E le supplémenaire orhogonal de E 1 IID1) Monrer que E es sable par u e u IID) Monrer que ( u E1 ) u E1 IID3) Monrer que si, en oure, u N( E), alors u E1 N( E 1 ) e u E N( E ) Jusqu à la fin de la parie II, u désigne un élémen de N( E) x B Concours Cenrale-Supélec 003 4/7

5 IIE - Soien λ IR e x E ; monrer que ux ( ) λx u ( x) λx En déduire que u e u on les mêmes sous-espaces propres e que ceux-ci son en somme direce orhogonale Si λ es une valeur propre de u, on noe E u ( λ) le sous-espace propre associé Soi F le supplémenaire orhogonal du sous-espace : E u ( λ), où la somme pore sur l ensemble des valeurs propres de u λ Monrer que F es sable par u e u En considéran la resricion de u à F, monrer que la dimension de F ne peu êre impaire On noera dimf p IIF - On suppose que p es non nul Soi v N( F) On pose v+ v v v s e a IIF1) Jusifier que le polynôme caracérisique de s es scindéon le noe : k χ s ( X) ( λ i X ) n i i 1 IIF) Monrer que so a ao s e so v vo s Monrer qu il exise une base orhonormale B de F elle que la marice de v dans B soi diagonale par blocs : M B ( v) M M O M 0 0 M k avec, pour i 1,, k, M i de la forme λ i I ni + A i où A i es anisymérique IIF3) On suppose en oure que v n adme aucune valeur propre réelle Monrer que les A i son inversibles IIG - Monrer qu il exise une base orhonormale B de E elle que : M B ( u) D τ 1 O M a avec D marice diagonale, τ i b i i b i a i e b i τ p pour i 1,, p IIH - Donner une caracérisaion des marices A N n III - Préciser la marice obenue dans IIG quand u O( E) Concours Cenrale-Supélec 003 5/7

6 Parie III - Relaion enre IIIA - Soi P IR[ X ] IIIA1) Soi P n e N n M M O M k une marice réelle diagonale par blocs Monrer que P( ) si e seulemen PM ( i ) Mi, pour i 1,, k IIIA) Donner les expressions de P A, χ A e π A pour une marice A a b où b 0 b a Monrer que P( A) A si e seulemen si Pa ( + ib) a ib e Pa ( ib) a+ ib Dans les quesions qui suiven, on fixe A N n D après IIH, A es orhogonalemen semblable à une marice B elle que celle représenée dans IIG IIIA3) Monrer que P( A) A si e seulemen si : P( λ) λ pour oue valeur propre réelle λ de A Pz () z pour oue racine complexe non réelle z de χ A IIIA4) Monrer qu il exise P IC [ X ], de degré minimal, vérifian les condiions ci-dessus (sur P( λ) e Pz ()) e que ce polynôme es, en fai, à coefficiens réels En déduire que N n P n IIIB - Monrer que le polynôme P rouvé dans IIIA4 es, en fai, P A Rerouver, avec la méhode précédene, le polynôme P A de la quesion IF IIIC - Dans cee quesion, on suppose n 3 e on noe C( α 0, α 1, α, n 1 ) M n ( IR) la marice circulane C( α 0, α 1, α, n 1 ) α 0 α 1 α α n 1 α n 1 α 0 α 1 O M M O O O α e J C( 010,,,, 0) α OO α 0 α 1 α 1 α α n 1 α 0 Concours Cenrale-Supélec 003 6/7

7 P n IIIC1) Monrer que J En déduire que oue marice circulane apparien à P n IIIC) À oue marice circulane non nulle A C( α 0, α, n 1 ), on associe les polynômes n 1 PX ( ) α i X i e QX ( ) α 0 + α i X n i i 0 n 1 i 1 o π J Donner l expression de π J Comparer Q e le rese de la division euclidienne de P A P par En déduire les éapes d une méhode de calcul de P A Déailler le calcul pour A C( 110,, ) IIID - Soi PX ( ) a 0 + a 1 X + a X avec a 0 Monrer qu il exise un enier n 3 e une marice A P n elle que P P A si e seulemen si ( a 1 1) 4a 0 a [ 0, 4[ Indicaion : monrer que, si n e A exisen, χ A adme au moins une racine réelle e exacemen deux racines complexes, conjuguées l une de l aure FIN Concours Cenrale-Supélec 003 7/7

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