CHAPITRE 2 : Trigonométrie

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1 CHAPITRE : Trigonométrie 1 Cercle trigonométrique Définition du cercle trigonométrique Définition du cosinus et du sinus d un réel Définition du radian... Mesures d un angle orienté de deux vecteurs Définition d un angle orienté de deux vecteurs non nuls Propriétés des angles orientés... Vecteurs colinéaires... Vecteurs orthogonaux... Relation de Chasles avec les angles orientés.... Mesure principale d un angle orienté... 7 Trigonométrie Cosinus et sinus d angles associés... 7 Angles associés x ; x ; pi+x ; pi-x... 7 Angles associés pi/+x ; pi/-x Equations trigonométriques cos x = cos a et sin x = sin a... 8 Equation cos x = cos a... 8 Equation sin x = sin a Fonctions sinus et cosinus... 9 Parité Périodicité... 9 Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus

2 CHAPITRE : Trigonométrie 1 Cercle trigonométrique 1.1 Définition du cercle trigonométrique Soit (O; i ; j ) un repère orthonormé du plan. Le cercle (C ) de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi comme sens positif le sens contraire des aiguilles d une montre est appelé cercle trigonométrique. x 1 + x (C ) D Le sens positif est le sens direct. L autre sens est le sens négatif ou sens indirect. Soit D la tangente au cercle (C ) au point I et soit K le point de D de coordonnées (1 ; 1) dans le repère (O; i ; j ). Par le procédé de l enroulement de la droite D, qui représente les nombres réels, autour du cercle trigonométrique (C ) : A tout point N de la droite D d abscisse x dans le repère (I; IK ) on associe un point M du cercle (C ) A tout point M de (C ) on associe une infinité de points de la droite D dont les abscisses dans le repère (I; IK ) sont x, x + 1, x +,, x 1, x, Propriété : Soit x un réel et M le point du cercle (C ) associé au réel x. Le point M est associé à tous les réels de la forme x + k, k Z. 1. Définition du cosinus et du sinus d un réel Soit x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé au réel x. On appelle cosinus du réel x l abscisse du point M dans le repère (O; i ; j ). On appelle sinus du réel x l ordonnée du point M dans le repère (O; i ; j ).

3 Propriétés Pour tout réel x, cos (x) [ 1 ; 1] et sin (x) [ 1 ; 1]. Pour tout réel x, cos(x + k ) = cos (x) et sin(x + k ) = sin (x) avec k Z. Pour tout réel x, cos x + sin x = 1 Remarque : Pour tout x R { + k, k Z}, on a : sin x tan x = cos x D où les valeurs remarquables : 1. Définition du radian Soit (C ) le cercle de centre O et de rayon r. L angle AOB qui découpe sur le cercle un arc AB de longueur égale au rayon du cercle a pour mesure 1 radian. x 0 sin x 0 cos x 1 tan x non définie

4 l = r r (C ) Conversion en degrés L angle plat mesure radians et aussi 180. La mesure d un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degré. Ainsi, on obtient le tableau des valeurs remarquables : 180 α en degrés α en radians Exemple : Si α = rad alors α = 180 = 180 = Mesures d un angle orienté de deux vecteurs.1 Définition d un angle orienté de deux vecteurs non nuls Soit u et v deux vecteurs non nuls et D 1 et D les demi-droites d origine O dirigées respectivement par les vecteurs u et v. Soit A et B les points d intersection des demi-droites D 1 et D avec (C ). D D 1 (C ) L angle orienté (u ; v ) est le couple (OA ; OB ). Si a et b sont les réels associées aux points A et B par enroulement de la droite des réels autour du cercle, alors les mesures en radians de l angle orienté (OA ; OB ) sont les réels b a + k, k Z 4

5 Parmi toutes les mesures d un angle orienté, celle qui se trouve dans l intervalle ] ; ] est la mesure principale. Exemples 17, et 5 sont des mesures principales car 17, et 5 se trouvent dans l intervalle] ; ], ou, ce qui revient au même,, 17 et 5 se trouvent dans l intervalle] 1 ; 1] n est pas une mesure principale car00 n est pas dans l intervalle ] ; ] ou ce qui revient au même, 00 ne se trouve pas dans l intervalle] 1 ; 1]. Angles orientés particuliers : (u ; u ) = 0 + k, k Z (u ; u ) = + k, k Z Si λ > 0, alors (u ; λu ) = 0 + k, k Z Si λ < 0, alors (u ; λu ) = + k, k Z 5

6 . Propriétés des angles orientés Vecteurs colinéaires Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si : Cas où u et v sont de même sens (u ; v ) = 0 + k, k Z ou Cas où u et v sont de sens opposés (u ; v ) = + k, k Z Vecteurs orthogonaux Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si : 1 er cas (u ; v ) = + k, k Z ou ème cas (u ; v ) = + k, k Z Relation de Chasles avec les angles orientés Pour tous vecteurs non nuls u, v et w on a : (u ; v ) + (v ; w ) = (u ; w )

7 . Mesure principale d un angle orienté La mesure principale α correspondant à 00 est telle que : α ] ; ] et On cherche k dans Z tel que : 1 < ( 00 + k ) 1 1 < 00 + k k 1 < 1 < 00 + k 0 < k < k 197,8 197,8 D où k = D où la mesure principale α = ( 00 ) α = ( 00 ) α = ( ) α = α = 00 + k, k Z α = ( 00 + k ), k Z Trigonométrie.1 Cosinus et sinus d angles associés Angles associés x ; x ; pi+x ; pi-x Pour tout x cos( x) = cos(x) R, { sin( x) = sin (x) Pour tout x cos( x) = cos (x) R, { sin( x) = sin(x) Pour tout x cos( + x) = cos(x) R, { sin( + x) = sin(x) 7

8 Angles associés pi/+x ; pi/-x Pour tout x R, { cos ( x) = sin(x) sin ( x) = cos (x) Pour tout x R, { cos ( + x) = sin(x) sin ( + x) = cos (x). Equations trigonométriques cos x = cos a et sin x = sin a Equation cos x = cos a Soit x et a des réels. L équation : cos x = cos a a pour solutions x = a + k, k Z et x = a + k, k Z Exemple : Résoudre dans R l équation cos x = 1 Réponse : cos x = 1 On met l équation sous la forme cos x = cos a cos x = cos Solutions : x = + k, k Z et x = + k, k Z 8

9 Equation sin x = sin a Soit x et a des réels. L équation : sin x = sin a a pour solutions x = a + k, k Z et x = a + k, k Z Exemple : Résoudre dans ] ; ] l équation sin x = Réponse : sin x = On met l équation sous la forme sin x = sin a sin x = sin ( ) Solutions : x = + k, k Z et x = ( ) + k, k Z Dans ] ; ] les solutions sont x = et x = + =. Fonctions sinus et cosinus La fonction cosinus associe à tout angle de mesure x en radian le cosinus de l angle, c est-à-dire l abscisse du point mobile M sur le cercle trigonométrique La fonction sinus associe à tout angle de mesure x en radian le sinus de l angle, c est-à-dire l ordonnée du point mobile M sur le cercle trigonométrique Parité. La fonction cosinus est une fonction paire, en effet : Elle est définie sur R qui est symétrique par rapport à 0. cos ( x) = cos (x) pour tout réel x. La fonction sinus est une fonction impaire, en effet : Elle est définie sur R qui est symétrique par rapport à 0. sin ( x) = sin (x) pour tout réel x. Périodicité. La fonction cosinus est périodique de période T =, en effet : Pour tout x R, cos (x + ) = cos (x). La fonction sinus est périodique de période T =, en effet : Pour tout x R, sin (x + ) = sin (x). 9

10 Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus. Courbe représentative de la fonction cosinus Courbe représentative de la fonction sinus 10